SISTEM~1.4 estudo

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3. Sistemas de equações diferenciais 
 
3.1. Sistemas normais de equações diferenciais 
 
 Um sistema de equações diferenciais estabelece uma relação analítica entre certas 
funções desconhecidas )(),.......,(),( 21 xyxyxy n e as suas derivadas. Vamos considerar 
um sistema de equações diferenciais da 1ª ordem da forma geral seguinte: 
 
 












).,.....,,,(
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
);,.....,,,(
);,.....,,,(
21
212
2
211
1
nn
n
n
n
yyyxf
dx
dy
yyyxf
dx
dy
yyyxf
dx
dy
 (1) 
 
 O sistema (1) tem a forma explícita em relação às derivadas nyyy  ,.......,, 21 e por 
esta razão é chamado sistema normal. Na resolução de um sistema normal utiliza-se o 
método de eliminção que consiste em seguintes passos. 
 
1º passo. Derivamos a primeira equação do sistema (1): 
 
dx
dy
y
f
dx
dy
dy
f
dx
dy
y
f
x
f
dx
yd n
n











 12
2
11
1
11
2
1
2
...... . 
 Na equação obtida substituimos as derivadas nyyy  ,.......,, 21 pelas suas respectivas 
expressões nfff ,.......,, 21 tiradas do sistema (1). No resultado obteremos uma equação 
diferencial da 2ª ordem: 
 ),.....,,,( 2122
1
2
nyyyxF
dx
yd
 . 
 Derivando esta equação e efectuando as substituições análogas, obteremos uma 
equação diferencial da 3ª ordem: 
 ),.....,,,( 2133
1
3
nyyyxF
dx
yd
 . 
 E assim continuando, obteremos, finalmente, uma equação diferencial da ordem n : 
 ),.....,,,( 21
1
nnn
n
yyyxF
dx
yd
 . 
 Agora, com base nas equações obtidas formamos um sistema que é equivalente ao 
sistema inicial (1): 
 
 
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











).,.....,,,(
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
);,.....,,,(
);,.....,,,(
21
1
2122
1
2
211
1
nnn
n
n
n
yyyxF
dx
yd
yyyxF
dx
yd
yyyxf
dx
dy
 (2) 
2º passo. Considerando as primeiras )1( n equações do sistema (2), vamos exprimir as 
funções nyyy ,.......,, 32 através de 
)1(
111 ,.......,,,
 nyyyx . No resultado obteremos as 
seguintes igualdades: 
 ),.....,,,( )1(11122
 nyyyxy ; 
 ),.....,,,( )1(11133
 nyyyxy ; 
 :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: (3) 
 ),.....,,,( )1(111
 nnn yyyxy . 
3º passo. Agora, vamos substituir na última equação do sistema (2) as funções 
nyyy ,.......,, 32 pelas expressões n ,.......,, 32 tiradas das igualdades (3). Então, 
obteremos uma equação diferencial de ordem n em relação à função desconhecida 
)(1 xy : 
 ),.....,,,( )1(111
1  n
n
n
yyyx
dx
yd
 . (4) 
 Ao resolver a equação (4), achamos a função ),.....,,,()( 2111 nCCCxxy  . As 
funções )(),.......,(),( 32 xyxyxy n encontraremos, utilizando as igualdades (3). 
 
Exemplo 1. Resolver o sistema 







.342
;
zyx
dx
dz
zyx
dx
dy
 
Resolução. No sistema dado as funções desconhecidas são )(xy e )(xz . Conforme o método de 
eliminação, vamos derivar a primeira equação do sistema: 
dx
dz
dx
dy
dx
yd
 1
2
2
 . Em seguida, na 
equação obtida é preciso substituir as derivadas dxdy e dxzd pelas suas expressões tiradas do 
sistema dado. Então, achamos: 1233
2
2
 zyx
dx
yd
 . Assim, podemos formar um sistema, 
contendo só as derivadas da função desconhecida )(xy e que é equivalente ao sistema dado: 
 








.1233
;
2
2
zyx
dx
yd
zyx
dx
dy
 
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 Agora, da primeira equação do sistema obtido vamos determinar a função )(xz através de yx, e 
y  , isto é: xyyz  . Substituindo z na segunda equação deste sistema, encontramos uma 
equação diferencial em relação a )(xy : 152  xyyy . Aplicando o método de 
coeficientes indeterminados, encontramos a solução desta equação 95)()( 21 
 xexCCxy x 
e, também, achamos 146)22()( 212 
 xexCCCxz x . Desta maneira o sistema dado 
está resolvido. 
 
Exemplo 2. Integrar o sistema 











;44
;
;3
zyx
dt
dz
zyx
dt
dy
zyx
dt
dx
 .1)0(;0)0(;3)0(  zyx 
Resolução. Neste sistema )(),(),( tztytx são funções desconhecidas do argumento t . Inicialmente, 
derivamos a primeira equação do sistema dado: zyxx  3 . Agora, substituindo zyx  ,, 
pelas respectivas expressões tirados do sistema, obtemos: zyxx 6512  . Derivando esta 
última equação e efectuando as substituições análogas, achamos: zyxx 312355  . Agora, 
temos o seguinte sistema que é equivalente ao dado: 
 








.312355
;6512
;3
zyxx
zyxx
zyxx
 
 Ao exprimir zy, das primeiras duas equações deste sistema através de xxx ,, , obtemos as 
seguintes igualdades: xxxy 66  , xxxz 35  . Agora, substituindo zy, na 
última equação do sistema acima, obtemos uma equação diferencial para a função )(tx : 
 010178  xxxx . 
 Ao integrar essa equação, encontramos: 
ttt eCeCeCtx 53
2
21)(  . Das igualdades obtidas 
para zy, , achamos: ttt eCeCeCty 53
2
21 2)(  , 
ttt eCeCeCtz 53
2
21 33)(  . 
Assim, obtivemos a solução geral do sistema dado. Das condições iniciais resulta um sistema algébrico 
que determina as constantes de integração: 1321  CCC . Desta maneira achamos a solução 
particular do sistema diferencial dado que verifica as condições indicadas: 
 
ttt eeetx 52)(  ; ttt eeety 522)(  ; ttt eeetz 52 33)(  . 
 
Exemplo 3. Integrar o sistema 











;
;
;
yx
dt
dz
zx
dt
dy
zy
dt
dx
 .0)0(;1)0(;1)0(  zyx 
 
 
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Resolução. Ao derivar a primeira equação do sistema dado e, em seguida, substituindo zyx  ,, pelas 
respectivas expressões tirados do sistema, obtemos a equação: )(2 zyxx  . É fácil ver que esta 
equação e a primeira equação do sistema inicial tém a mesma forma de dependência de y e z , pois 
contém a mesma expressão )( zy  . Neste caso particular na equação obtida é preciso substituir a soma 
)( zy  por x , em correspondência com a primeira equação do sistema dado. No resultado 
encontramos uma equação linear homogênea para )(tx : 02  xxx , cuja solução geral é: 
tt eCeCtx 221)( 

. A seguir, eliminamos da primeira e da última equações do sistema dado a 
função )(ty e obtemos uma equação diferencial para a função )(tz , a saber, xxzz  , ou 
seja, 
teCzz 223 , cuja solução geral é: 
tt eCeCtz 223)( 

. Agora, é fácil enconcontrar 
)(ty : zxy  , ou seja, tt eCeCCty 2231 )()( 

. Das condições iniciais indicadas 
determinamos as constantes de integração 0,1 321  CCC e achamos a solução particular 
do sistema diferencial dado que satisfaz estas condições: 0,,   zeyex tt . 
 
Integre os sistemas de equações diferenciais dados 
 
156. 







.3
;
zy
dx
dz
yz
dx
dy
 157. 







.
;2
2tx
dt
dy
ey
dt
dx t
 158. 







.2
;cos5
yx
dt
dy
ty
dt
dx
 
159. 







.cos24
;2
xzy
dx
dz
senxzy
dx
dy
 160. 







 .6
;52
2 t
t
eyx
dt
dy
exy
dt
dx
 
161. 







.cos22
;34
tyx
dt
dy
tsenyx
dt
dx162. 







.1)0(;22
;0)0(;364
yeyx
dt
dy
xtyx
dt
dx
t
 
163. 











.32
;3
;2
zyx
dt
dz
zyx
dt
dy
yx
dt
dx
 164. 











.22
;2
;2
zyx
dt
dz
zx
dt
dy
zyx
dt
dx
 
165. 











;
;
;
zyx
dt
dz
zyx
dt
dy
zyx
dt
dx
 .0)0()0(;1)0(  zyx 
 
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Respostas. 
 
156. xexCCy 221 )(
 ; xexCCCz 2212 )(
 . 
157. 2221 
 teteCeCx ttt ; teteCeCy ttt 2)1(21 
 . 
158. ttseneCeCx tt cos22
2
1 
 ; ttseneCeCy tt cos32 2
2
1 
 . 
159. senxxCCy 221  ; xsenxxCCz cos23)12(2 21  . 
160. tttt eeeCeCx 272
4
1
5
1
40
7   ; tttt eeeCeCy 272
4
1
10
3
40
1
2
1   . 
161. ttseneCeCx tt cos23 221  ; ttseneCeCy
tt cos222 221  . 
162. 16810 32  teeex ttt ; 10123820 32  teeey ttt . 
163. tt etsenCtCeCx 332
2
1 )cos(  ;  
tesentCCtCCy 32332 )(cos)(  ; 
  tt esentCCtCCeCz 33232
2
1 )2(cos)2(  . 164. 
tt eCeCx 221  ; 
tt eCetCCy 2213 2)(  ; 
tt eCeCCtCz 22311 2)(  . 
165. ttt eeex 22
2
1
6
1
3
1   ; ttt eeey 22
2
1
6
1
3
1   ; tt eez 2
3
1
3
1
  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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