928887_Lista de exercícios e Questões de provas anteriores

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Roney Rachide Nunes
Lista de exercícios
e
Questões de provas anteriores
PUC-MG
2015.2
Exercícios Sugeridos
[1] BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno.
9. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2010. xiv, 607 p. ISBN 978521617563 
Página 19
Questões 1-13 e 14-20
Página 29
Questões 1-20
Página 36
Questões 1-20; 31-37
Página 46
Questões 1,2,4,16
Página 59
Questões 27-30
Página 67
Questões 1,4,5,7
Página 76
Questões 1-16; 19;21;22;25-28
Página 110
Questões 1-4; 12-15; 17-18; 23
Página 119
Questões 1-4; 13-14; 24-26
Página 125
Questões 1-2; 7-10; 17-20; 26a, 35-40;
Página 132
Questões 1-5; 11-13; 23-27; 41-43
Página 243
Questões 5, 12,
Página 251
Questões 1-16; 21-24;
Página 257
Questões 1,2,7,8 (e esboçar), 13-24; 34-36;
Página 263
Questões 1-11
Página 268
Questões 1-5
Página 274
Questões 4-11; 15; 17; 22a; 23-25(a)
Página 309
Questões 1-4[a-inclusive limites]; 11;12;15;17
Página 318
Questões 1-4[a]; 7;9;10
Página 333
Questões 1-6; 9-11
1
Questões de Avaliações Anteriores
2012.1 - Engenharia Metalúrgica
1. Resolva a EDO abaixo e diga qual o maior intervalo de validade da solução do PVI:
{
te−2ty′ − e−2ty = 2t2
y(1) = 127
2. Um tanque contém inicialmente 100 litros de leite e 2 quilos de açúcar. Então uma mistura de leite e açúcar na
concentração de 20 gramas de açúcar por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 20 litros por minuto.
Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa. Encontre a função Q(t)
(escreva a solução na forma explicita) que descreve a quantidade de açúcar no tanque como função do tempo.
[ATENÇÃO PARA AS UNIDADES DE MEDIDA].
3. Resolva a EDO y′ =
(x+ 1)cotg (x2 + 2x)
y ln y
.
4. Resolva o PVI abaixo
{
y′′ + 12y′ + 11y = 0
y(0) = 1, y′(0) = 3
5. Determine a solução geral da EDO
t2y′′ + 2ty′ + 3y = 0.
6. Resolva a edo
(4x+ y)y′ − (x− 4y + 1) = 1.
7. Considere a EDO
(x9) + (x2 + y2)y′ = 0
.
Verifique se a EDO acima é exata ou não.
Caso seja exata, apresente a solução geral da EDO na forma explicita.
Se não for exata, verifique se é possível encontrar um fator integrante que dependa de uma única variável. Se
sim, determinte o fator integrante. Se não, justifique.
8. Resolva a EDO abaixo e diga qual o maior intervalo de validade da solução do PVI:
{
te−3ty′ − e−3ty = 4t2
y(1) = 117
9. Um tanque contém inicialmente 200 litros de leite e 1 quilos de sal. Então uma mistura de leite e sal na
concentração de 30 gramas de sal por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 40 litros por minuto.
2
Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa. Encontre a função Q(t)
(escreva a solução na forma explicita) que descreve a quantidade de sal no tanque como função do tempo.
[ATENÇÃO PARA AS UNIDADES DE MEDIDA].
10. Resolva a EDO y′ =
(x+ 1) sec2(x2 + 2x)
y ln y
.
11. Resolva o PVI abaixo
{
y′′ − 12y′ + 11y = 0
y(0) = 2, y′(0) = −3
12. Determine a solução geral da EDO
t2y′′ + 3ty′ + 7y = 0.
13. Resolva a edo
(4x+ 2y)y′ − (9x− 4y + 8) = 2.
14. Considere a EDO
(x5) + (x2 + y2)y′ = 0
.
Verifique se a EDO acima é exata ou não.
Caso seja exata, apresente a solução geral da EDO na forma explicita.
Se não for exata, verifique se é possível encontrar um fator integrante que dependa de uma única variável. Se
sim, determinte o fator integrante. Se não, justifique.
15. Resolva a EDO abaixo e diga qual o maior intervalo de validade da solução do PVI:
{
te2ty′ − e2ty = −2t2
y(1) = 107
16. Um tanque contém inicialmente 400 litros de leite e 3 quilos de farinha. Então uma mistura de leite e farinha na
concentração de 10 gramas de farinha por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 30 litros por minuto.
Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa. Encontre a função Q(t)
(escreva a solução na forma explicita) que descreve a quantidade de farinha no tanque como função do tempo.
[ATENÇÃO PARA AS UNIDADES DE MEDIDA].
17. Resolva a EDO y′ =
(x+ 1)tg (x2 + 2x)
y ln y
.
18. Resolva o PVI abaixo
{
y′′ + 10y′ + 16y = 0
y(0) = −1, y′(0) = 2
19. Determine a solução geral da EDO
t2y′′ + 4ty′ + 9y = 0.
20. Resolva a edo
(4x+ 4y)y′ − (6x− 4y + 2) = 4.
21. Considere a EDO
(x7) + (x2 + y2)y′ = 0
3 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
.
Verifique se a EDO acima é exata ou não.
Caso seja exata, apresente a solução geral da EDO na forma explicita.
Se não for exata, verifique se é possível encontrar um fator integrante que dependa de uma única variável. Se
sim, determinte o fator integrante. Se não, justifique.
22. Resolva a EDO abaixo e diga qual o maior intervalo de validade da solução do PVI:
{
te3ty′ − e3ty = 5t2
y(1) = 137
23. Um tanque contém inicialmente 300 litros de água e 4 quilos de açúcar. Então uma mistura de leite e açúcar na
concentração de 50 gramas de açúcar por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 10 litros por minuto.
Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa. Encontre a função Q(t)
(escreva a solução na forma explicita) que descreve a quantidade de açúcar no tanque como função do tempo.
[ATENÇÃO PARA AS UNIDADES DE MEDIDA].
24. Resolva a EDO y′ =
(x+ 1)cosec 2(x2 + 2x)
y ln y
.
25. Resolva o PVI abaixo
{
y′′ + 10y′ + 9y = 0
y(0) = −2, y′(0) = −2
26. Determine a solução geral da EDO
t2y′′ + 2ty′ + 8y = 0.
27. Resolva a edo
(4x+ 3y)y′ − (8x− 4y − 10) = 3.
28. Considere a EDO
(x6) + (x2 + y2)y′ = 0
.
Verifique se a EDO acima é exata ou não.
Caso seja exata, apresente a solução geral da EDO na forma explicita.
Se não for exata, verifique se é possível encontrar um fator integrante que dependa de uma única variável. Se
sim, determinte o fator integrante. Se não, justifique.
29. Resolva o sistema

x′ = 5x
y′ = 3x+ 4y + 4z
z′ = x− 4y + 4z
com x(0) = 2, y(0) =1 e z(0) = -1.
30. Resolva o sistema
{
x′ = −2x+ y
y′ = −x− 4y , x(0) = 5, y(0) = 4
4 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
31. Determine a solução geral de APENAS TRÊS DENTRE AS edos abaixo:
a) y′′ + 4y = 5sen(3t)
b) y′′ + 4y′ = t2 + 2t
c) y′′ + 4y′ + 3y = 5e−t
d) y′′ = t2 + 2t
32. Determine a solução do pvi
y′′ + 4y = sec(2t), y(0) = 4
33. Resolva o sistema

x′ = 2x
y′ = 3x+ 3y + 3z
z′ = 4x− 3y + 3z
com x(0) = 3, y(0) =1 e z(0) = -2.
34. Resolva o sistema
{
x′ = −2x+ y
y′ = −x− 4y , x(0) = 2, y(0) = 3
35. Determine a solução geral de APENAS TRÊS DENTRE AS edos abaixo:
a) y′′ + 9y = 5sen(4t)
b) y′′ + 5y′ = t2 + 6t
c) y′′ − 4y′ + 3y = 5et
d) y′′ = t2 + et
36. Determine a solução do pvi
y′′ + 9y = cossec(3t), y(pi/2) = 4
37. Resolva o sistema

x′ = 9x
y′ = 6x+ 4y + 4z
z′ = −3x− 4y + 4z
com x(0) = 2, y(0) =1 e z(0) = -1.
38. Resolva o sistema
{
x′ = −2x+ y
y′ = −x− 4y , x(0) = −5, y(0) = −4
39. Determine a solução geral de APENAS TRÊS DENTRE AS edos abaixo:
a) y′′ + 4y′ = 5sen(3t)
5 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
b) y′′ + 4y = t2 + 2t
c) y′′ + 4y′ + 4y = 5e−2t
d) y′′ = t2 + sen(t)
40. Determine a solução do pvi
y′′ + 4y = cossec(2t), y(pi/2) = 4
41. Resolva a EDO (1 + x)y′ + y = sen(3x), satisfazendo a condição y(0) = 1.
42. Resolva a EDO 2y′′ + 8y = sec(2x).
43. Resolva o sistema
{
x′ = 2x− 3y
y′ = 12x+ 2y
satisfazendo x(pi) = 3 e y(pi) = 3.
44. Resolva a EDO
(3x2cosy + eyy2 + seny) + (−x3seny + xeyy2 + 2xyey + cosy)y′ = pi
45. Resolva a EDO y′′ + 16y = 7e2t + sen(4t), y(1) = 0, y′(0) = 2
6 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2012.1 - EngenhariaMecânica
1. Resolva a EDO abaixo.
(ex + 1)y′ − e2xy + exy = 0
2. Um tanque contém inicialmente 100 litros de água e 2 quilos de açúcar. Então uma mistura de água e açúcar na
concentração de 30 gramas de açúcar por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 20 litros por minuto.
Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa. Encontre a função Q(t)
(escreva a solução na forma explicita) que descreve a quantidade de açúcar no tanque como função do tempo.
3. (Valor: 6 pontos) Resolva o PVI
{
y′′ + 2y′ + y = e3x
y(0) = 1, y′(0) = −2.
4. Verifique se a EDO abaixo é exata ou não. Se não, determine (caso possível) um fator integrante que a transforme
em uma edo exata. [Dica: reescreva a EDO em uma forma conveniente].
y′ = − 3x
2y + y2
2x3 + 3xy
.
5. (Valor: 6 pontos) Determine a solução geral da EDO
y′′ + 9y = sec(3t).
6. Determine a solução geral da edo (x − 1)y′′ − xy′ + y = 0 sabendo que y1 = ex é solução da edo. Em seguida,
utilize o wronskiano para comprovar que a solução dada é de fato a solução geral.
7. Calcule, de duas formas distintas, a transformada de Laplace inversa da função F (s) =
7
s2(s2 + 5)
.
8. Resolva o PVI
y′′ + 2y′ + 4y = u7(t) + sen (2t) + e9t + 5, y(0) = 3; y′(0) = 2
Não é necessário determinar as constantes.
9. Resolva o sistema

x′ = 5x
y′ = 3x+ 4y + 4z
z′ = x− 4y + 4z
com x(0) = 2; y(0) = 1; z(0) = −1.
10. Resolva o PVI
y′′ + 4y′ + 4y = g(t), y(0) = 1; y′(0) = 3
11. Calcule a transformada de Laplace da função f(t) = u3(t) cos(t).
12. Resolva a EDO (cosx)y′ + (senx)y = (cosx)2, satisfazendo a condição y(0) = 1.
13. (Valor: 8 pontos) Resolva a EDO 2y′′ + 8y = cotg(2x).
Estudamos em aula 3 maneiras diferentes de resolver uma EDO não homogênea de segunda ordem. Justifique
porque eliminou os dois outros métodos e optou pelo utilizado.
7 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
14. (Valor: 8 pontos) Determine para quais valores de α a matriz associada ao sistema
{
x′ = αx− 3y
y′ = 12x+ 2y
possui
único autovalor. Em seguida, encontre a solução geral do sistema para o(s) valor(es) de α encontrado(s) e a
solução para o PVI x(0) = 1, y(0) = 2.
15. Resolva o PVI
y′′ + 9y = u2pi(t) + e3tsen(t) + 1, y(0) = 3, y′(0) = 1
16. Resolva a EDO y′′ + 8y′ + 16y = e2t, y(1) = 0, y′(0) = 2
8 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2012.2 - Engenharia Mecânica
1. Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com uma
concentração de e−t gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto, enquanto que
a solucão bem misturada sai à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde
t é contado a partir do início do processo. O que acontece com o volume de água no tanque, quando t → ∞?
(Note que a concentração de entrada não é constante, o que não altera a resolução do problema)
2. Determine a solução geral do pvi y′′ + 25y′ = sen(3t)− 5, y(0) = 1, y′(0) = 0.
3. Determine a solução geral da edo 2y′′ + 14y = tg (
√
7t)
4. Resolva a edo y′x3 + exy′ = 3x2y + exy, y(0) = 3
5. Determine a solução geral da edo t2y′′ − 4ty′ + 6y = 0, se y1 = t2 é uma solução desta edo.
6. Determine a solução geral do PVI (Não é necessário determinar as constantes. Apresente todos os cálculos
utilizados.)
y′′ + 6y′ + 13y = u3(t) + 2, y(0) = 1, y′(0) = 0
.
7. Determine a solução do sistema

x′ = 4x
y′ = 2x+ 2y + 2z
z′ = 2x− 2y + 2z
,
x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = −1.
8. Utilize convolução para determinar a transformada de Laplace inversa de F (s) =
3s
s2(s2 + 4)
. Apresente todos
os cálculos utilizados. Ao final da questão, quais fórmulas (apenas os números) utilizadas na questão.
9. Calcule a transformada de Laplace da função f(t) =
{
2, 0 ≤ t < 4
t2, t ≥ 4 Apresente todos os cálculos utilizados.
Ao final da questão, quais fórmulas (apenas os números) utilizadas na questão.
10. Resolva o PVI abaixo. Apresente todos os cálculos utilizados. Ao final da questão, quais fórmulas (apenas os
números) utilizadas na questão.
y′′ + 4y′ + 4y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 1
11. Determine a solução geral do PVI (Não é necessário determinar as constantes. Apresente todos os cálculos
utilizados.)
y′′ + 4y′ + 13y = u4(t) + 3, y(0) = 1, y′(0) = 0
.
12. Determine a solução do sistema

x′ = 4x
y′ = 2x− 2y + 2z
z′ = 2x− 2y − 2z
,
x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = −1.
13. Utilize convolução para determinar a transformada de Laplace inversa de F (s) =
5s
s2(s2 + 16)
. Apresente todos
os cálculos utilizados. Ao final da questão, indique quais fórmulas (apenas os números) utilizadas na questão.
9 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
14. Calcule a transformada de Laplace da função f(t) =
{
2, 0 ≤ t < 4
t2 − 1, t ≥ 4 Apresente todos os cálculos utiliza-
dos. Ao final da questão, quais fórmulas (apenas os números) utilizadas na questão.
15. Resolva o PVI abaixo. Apresente todos os cálculos utilizados. Ao final da questão, quais fórmulas (apenas os
números) utilizadas na questão.
y′′ + 6y′ + 9y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 1
16. Determine a solução geral do PVI (Não é necessário determinar as constantes. Apresente todos os cálculos
utilizados.)
y′′ − 6y′ + 13y = u2(t) + 3, y(0) = −1, y′(0) = 0
.
17. Determine a solução do sistema

x′ = 6x
y′ = 3x+ 3y + 3z
z′ = 3x− 3y + 3z
,
x(0) = −1, y(0) = 1, z(0) = −1.
18. Utilize convolução para determinar a transformada de Laplace inversa de F (s) =
6s
s2(s2 + 81)
. Apresente todos
os cálculos utilizados. Ao final da questão, indique quais fórmulas (apenas os números) utilizadas na questão.
19. Calcule a transformada de Laplace da função f(t) =
{
t2, 0 ≤ t < 6
0, t ≥ 6 Apresente todos os cálculos utilizados.
Ao final da questão, quais fórmulas (apenas os números) utilizadas na questão.
20. Resolva o PVI abaixo. Apresente todos os cálculos utilizados. Ao final da questão, quais fórmulas (apenas os
números) utilizadas na questão.
y′′ − 4y′ + 4y = 0, y(0) = −2, y′(0) = 1
21. Determine a solução geral do PVI (Não é necessário determinar as constantes. Apresente todos os cálculos
utilizados.)
y′′ − 4y′ + 13y = u2(t) + 4, y(0) = 1, y′(0) = 0
.
22. Determine a solução do sistema

x′ = 4x
y′ = 2x− 4y + 4z
z′ = 2x− 4y − 4z
,
x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 1.
23. Utilize convolução para determinar a transformada de Laplace inversa de F (s) =
−5s
s2(s2 + 49)
. Apresente todos
os cálculos utilizados. Ao final da questão, indique quais fórmulas (apenas os números) utilizadas na questão.
24. Calcule a transformada de Laplace da função f(t) =
{
t2 − 1, 0 ≤ t < 4
2, t ≥ 4 Apresente todos os cálculos utiliza-
dos. Ao final da questão, indique quais fórmulas (apenas os números) utilizadas na questão.
10 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
25. Resolva o PVI abaixo. Apresente todos os cálculos utilizados. Ao final da questão, quais fórmulas (apenas os
números) utilizadas na questão.
y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = −2, y′(0) = −1
26. Determine a solução geral do PVI
y′′ + 6y′ + 9y = e3t − e−3t, y(1) = 0, y′(0) = 2.
Não é necessário determinar o valor de c1 e c2: basta apresentar o sistema que terá c1 e c2 como solução.
Você resolveu esta questão utilizando transformada de Laplace? Se sim, por quê? Se não, você poderia ter
resolvido esta questão utilizando Laplace?
27. Determine a solução geral do PVI
y′′ + 6y′ + 9y = e3tcos(t)− u4(t)− t, y(0) = y′(0) = 0
Se utilizar transformada de Laplace e optar por frações parciais para calcular a transformada inversa, não é
necessário determinar as constantes. Se utilizar transformada de Laplace e optar por convolução para calcular a
transormada inversa, calcule todas as integrais.
Você resolveu esta questão utilizandoa matéria da primeira prova? Se sim, justifique porque escolheu este
método. Se não, indique na edo qual o termo motivou a escolha de Transformada de Laplace para resolver o
problema.
28. Determine a solução geral da edo 2
(
xy3 − 1
x3
)
+
(
3x2y2 − e2y
)
y′ = 0.
29. Determine para quais valores de r a função y =
r
t2 + 1
é solução da edo y′ − 2ty2 = 0.
30. Um tanque contém 200 litros de uma solução de leite e açúcar a uma concentração de 2 grama por litro. Uma
solução com uma concentração de e2t gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 2 litros por
minuto, enquanto que a solucão bem misturada sai à mesma taxa. Determine a quantidade de açúcar no tanque
em cada instante t, onde t é contado a partir do início do processo. O que acontece com o volume da solução no
tanque, quando t→∞? E com a concentração de açúcar no tanque, quando t→∞?
Você poderia resolver esta questão utilizando transformada de Laplace? Por quê?
31. Resolva o sistema abaixo, sujeito à restrição x(0) = −1, y(0) = 3, z(0) = 3.
x′ = 2x+ y + z
y′ = y + z
z′ = y + z
32. Calcule a transformada de Laplace da função f(t) = u3(t)e
2t + sen (2t) + t− 1
33. Calcule a transformada de Laplace inversa da função f(t) =
s
s2 + 6s+ 15
11 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2013.1 - Engenharia Mecânica
1. Resolva o PVI y′′ + 6y′ + 9y = e−3t − t, y(0) = 2, y′(0) = 3.
2. (8pontos) Resolva o PVI y′′ − 4y′ + 4y = e2t + t, y(0) = 2, y′(0) = 3.
3. Determine a solução geral da EDO 2xy − 2ysenx− sen y + 4 + (x2 + 2 cosx− x cos y + 5)y′ = 7.
4. Determine a solução geral da EDO 2xy − 2y cosx− cos y + 4 + (x2 − 2senx+ xsen y + 5)y′ = 2.
5. Determine a solução geral da edo
4y′′ + 36y = 4tg (3t)
6. Determine a solução geral da edo
4y′′ + 36y = 4cotg (3t)
7. Um tanque contém inicialmente 100 litros de água e 2 quilos de açúcar. Então uma mistura de água e açúcar na
concentração de 30 gramas de açúcar por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 20 litros por minuto.
Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa. Encontre a função Q(t)
(escreva a solução na forma explicita) que descreve a quantidade de açúcar no tanque como função do tempo.
8. Verifique se a função y = t é uma solução da edo t2y′′ + ty′ − y = 0 e determine uma segunda solução para esta
edo SEM UTILIZAR A EQUAÇÃO DE EULER! (Redução de Ordem / Determinar uma segunda solução)
9. Calcule a transformada de Laplace da função
f(t) =

2pi, 0 ≤ t ≤ 4
t, 4 ≤ t < 6pi
cos(t), t ≥ 6pi
10. Resolva o PVI
y′′ + 2y′ + 1 = u2(t) + 1, y(0) = 0, y′(0) = 3
11. É possível calcular a transformada de Laplace inversa da função F (s) =
s
s2 − 1 por convolução? Se sim, calcule
f(t) (basta apresentar a integral - não é necessário resolvê-la. Se não, por quê?
12. Calcule de duas maneiras distintas a transformada de Laplace inversa da função
F (s) =
1
s2 + s− 2 .
13. Determine a solução geral do sistema
f(t) =
{
x′ = x− y
y′ = x+ 3y
14. Resolva o PVI
y′′ + 6y′ + 25y = cos(3t) + t2 + 1, y(0) = 0, y′(0) = 1
Caso utilize frações parciais, não é necessário determinar o valor das constrantes.
15. Encontre a solução geral geral da equação
y′′ − 2y′ + αy = 0
para
a) α > 1
12 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
b) α = 1
c) α < 1.
16. Resolva o PVI
y′′ + 2y′ + 5y = 2cos(2t) + 1, y(1) = 2, y′(1) = 3.
Obs.: Apresente a solução geral da edo, e em seguida um sistema que tenha como solução as constantes c1 e c2.
(não é necessário determinar o valor de c1 e c2).
17. Um tanque contém 20kg de sal dissolvido em 5000 litros de água. Água salgada que contém 0,03kg de sal por
litro entra no tanque a uma taxa de 25 litros por minuto. A solução é misturada e sai do tanque à mesma taxa.
a) Determine a equação que descreve a quantidade de sal no tanque em função do tempo.
b) Qual a quantidade de sal no tanque depois de 30 minutos?
c) Qual a concentração de sal no tanque após 30 minutos?
dQ
dt
= TECE − TS Q
V0 + (TE − TS)t
18. Determine x(t) sendo dado
a)X(s) = 3s
2+8s+2
(s+2)(s2+2s+1)
b)X(s) = 2s+3s3+4s+5
c)X(s) = e
−3s−e−10s
s(s2+s+1)
19. Resolva a equação integral ∫ t
0
(t− ξ)f(ξ)dξ + t = f(t).
20. Resolva o PVI
y′′ + 4y′ + 4y = u3(t) · t, y(0) = 0, y′(0) = 1.
13 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2013.2 - Engenharia Mecânica
1. Resolva o PVI y′′ + 2y′ + y = 0, y(0) = 5, y′(0) = −7.
2. Determine se a equação abaixo é exata. Se for, encontre a solução dessa equação utilizando o método para
equações exatas:
(2x− 1) + (2y + 4)y′ = 0
3. Determine uma forma adequada para a solução particular yp(t) da equação abaixo para se usar o método dos
coeficientes indeterminados (não é necessário resolver a equação)
y′′ + 4y = cos(2t)
4. Um tanque contém, inicialmente, 100 litros de uma mistura de água e sal a uma concentração de 1g/L. O tanque
é, então, lavado com água pura entrando a uma taxa de 10 litros por minuto e com a solução bem misturada
saindo à mesma taxa. Encontre uma fórmula para a quantidade de sal no tanque em qualquer instante de tempo
t.
5. Determine a solução geral da edo
4y′′ + 4y + 20 = 8t+ 6tg (t).
6. Determine a solução geral da edo (x− 1)y′′− xy′+ y = 0, x > 1, sabendo que y = ex é solução desta edo. Para
tal, determine a partir da solução dada uma segunda solução para a edo.
7. Verifique que a edo ex
3
+ sen (y) +
x
3
cos(y)y′ = 0 não é exata e encontre um fator integrante que transforme a
mesma em exata.
8. Resolva o pvi xy′ = y + xey/x, y(1) = 0.
9. Determine a transformada inversa da função F (s) =
s− 1
s2 + 6s+ 9
.
10. Determine a transformada da função f definida por:
f(t) =
{
t, 0 ≤ t < 3;
t+sent, t ≥ 3.
11. Resolva o P.V.I. abaixo utilizando transformada de Laplace (determine o valor das constantes):
y′′ + y = sen(3t); y(0) = 0, y′(0) = 0.
12. Encontre a solução geral do sistema abaixo:
X ′ =
(
−3 √2√
2 −2
)
.X
13. Determine (utilizando convolução) a transformada inversa da função:
F (s) =
3
s2 + 6s− 7
14. Resolva o PVI y′ = u2(t)(t− 1), y(0) = 1 utilizando transformada de Laplace.
15. Determine a transformada de Laplace da função f(t) = cos2(3t).
14 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
16. Determine para qual valor de b a edo abaixo é exata.
(xy2 + bx2y) + (x+ y)x2y′ = 0
.
Determine os valores de r para os quais a função y(t) =
r
t2 − 3 é solução da edo y
′ + ty2 = 0.
17. Resolva a edo y′ = y − e3xy4.
18. Determine a solução do pvi y′′ + y = sen (t) + e2t, y(0) = 0, y′(0) = 0
19. Escreva a uma fórmula para a solução particular das seguintes equações:
(a) y′′ + 3y′ − 4y = et
(b) y′′ + 3y′ − 4y = t3 + 2t
(c) y′′ + 3y′ − 4y = sen (3t)
20. Resolva o PVI y′ =
x2 − 1
y2 − 1 , y(−1) = 1.
21. Resolva o PVI y′′ + 3y′ = u4(t)t3, y(0) = y′(0) = 0. Caso utilize frações parciais, não é necessário determinar o
valor das constantes.
22. Resolva o PVI y′′ + 4y = te−t, y(0) = 1, y′(0) = 0
23. Resolvao PVI y′ + 1t y = ln(t), y(1) = 0
24. Resolva o PVI y′′ + 4y′ + 4y = t+ 1, y(0) = y′(0) = 0
15 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2014.1 - Engenharia Elétrica
1. Escreva uma equação diferencial que tenha solução geral y = c1e
5x cos(−4x) − c2e5xsen (4x). A edo obtida é
homogênea ou não homogênea?
2. Determine para quais valores de r para os quais a função y(t) =
r
t2 + 2
é solução da edo y′ − ty2 = 0.
3. Resolva o PVI y′′ − 8y′ + 16y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 3.
4. Determine a solução geral da edo 2y′′ + 32y = t2 + sec(4t)− 1 + 2t.
5. Determine a solução geral da edo 3y′′ + 27y = 6sen(t) + tg (3t) + 3 cos(t).
6. Um tanque contém inicialmente 100 litros de uma solução de água e açúcar, com concentração de 2g/l. Então
água pura é bombeadapara o tanque a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente a solução (bem
misturada) é retirada do tanque à taxa de 9 litros por minuto. Determine a quantidade de açúcar no interior
do tanque no momento em que o volume é metade do volume inicial. (não é necessário efetuar as simplificações:
determine a função Q(t) e substitua t pelo valor apropriado)
7. Determine a solução geral da edo
dy
dx
=
−4y + sen (5x)
4x+ cos(4y)
.
8. Resolva o PVI x2y′ − 5xy = 4x9 lnx, y(e) = 0.
9. Resolva a edo xy′ = y + 3x cos
(
y
x
)
.
10. Se y = t é solução da edo t2y′′ + 3ty′ − 3y = 0, determine uma segunda solução desta edo pelo processo de
REDUÇÃO DE ORDEM. (Não resolva por Equação de Euler). Em seguida, resolva o pvi t2y′′ + 3ty′ − 3y = 0,
y(1) = 1, y′(1) = 2.
11. Calcule a transformada de Laplace da função
f(t) =
{
t+ 3, 0 ≤ t ≤ 1
cos(2t), 1 < t <∞
12. Determine a solução geral do PVI y′′ + 2y′ + y = t4et + 2et − cos(t) + g(t)
y(0) = 1, y′(0) = 1.
13. Determine a solução do sistema
{
x′ = 3x+ 2y
y′ = −4x+ 7y
x(0) = 1, y(0) = 2
14. Calcule a transformada de Laplace inversa da função
F (s) =
25 + 13e−s + e−5s
s3 + 7s
15. Calcule de duas maneiras distintas (frações parciais e convolução) a transformada de Laplace inversa da função
F (s) =
1
s3 + 2s2 + s
16 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
16. Calcule a transformada de Laplace da função
f(t) =
{
t+ 5, 0 ≤ t ≤ 1
cos(4t), 1 < t <∞
17. Determine a solução geral do PVI y′′ + 4y′ + 4y = t4e−2t + 2e−2t − cos(t) + g(t)
y(0) = 1, y′(0) = 1.
18. Determine a solução do sistema
{
x′ = 7x+ 4y
y′ = −2x+ 3y
x(0) = 1, y(0) = 2
19. Calcule a transformada de Laplace inversa da função
F (s) =
12 + 3e−2s + e−s
s3 + 11s
20. Calcule de duas maneiras distintas (frações parciais e convolução) a transformada de Laplace inversa da função
F (s) =
1
s3 − 2s2 + s
21. Determine a solução do PVI y′′ + 4y = sen(2t) + tg(2t) + 1, y(0) = 1, y′(0) = 0
22. Resolva o PVI y′′ + 4y′ + 4y = sen2(3t) + u3(t)− pi + g(t) + e−2tt16 + e−2t, y(0) = 2, y′(0) = 5
23. Resolva a edo y′ =
y2 + xy − 9x2
x2
.
24. Verifique que y1 = x é uma solução da edo (1−x)y′′+xy′− y = 0. Em seguida, determine a solução geral desta
edo.
25. Determine a função y = f(x), tal que f(1) = 1, que satisfaz a seguinte propriedade: o coeficiente angular da reta
tangente no ponto de abscissa x é igual ao produto das coordenadas do ponto de tangência.
26. Determine a solução do sistema
{
x′ = 2x+ 4y
y′ = 4x+ 2y
x(0) = 1, y(0) = 2
Em seguida, calcule lim
t→infty
x(t) e lim
t→infty
y(t)
27. Calcule a transformada de Laplace inversa da função F (s) =
2 + 3e−4s + 5e−6s
3s3 + 36s
28. Calcule a transformada de Laplace da função
f(t) =

5, 0 ≤ t ≤ 1
4, 1 < t < 4
0, 4 ≤ t <∞
17 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2015.2 - Matemática e Física
1. Determine todas as soluções constantes da edo (2xey + 6y + x ln(x))y′ + (x2 − 2x)(y5 − y) = 0.
2. A lei de resfriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto varia a uma razão proporcional à diferença
entre sua temperatura e a temperatura ambiente. Suponha que a temperatura de uma xícara de café obedece
a lei de resfriamento de Newton. Se o café está a uma temperatura de 90ºC quando é colocado na xícara e 1
minuto depois esfriou e está a 80ºC, em uma cozinha à temperatura de 30ºC, determine quando a temperatura
do café terá caido pela metade. Para isso, (1) escreva a equação diferencial que modele o problema; (2) resolva
a equação diferencial; (3) utilize os dados do problema para determinar a temperatura do café em um instante
t; e (4) responda à pergunta do problema.
3. Verifique se existe algum valor real de b para o qual a edo (bx2y−xy2) = (x+y)x2y′ é exata. Em caso afirmativo,
(1) resolva a edo para o valor de b obtido; (2) determine a solução do pvi (bx2y−xy2) = (x+ y)x2y′, y(1) = −2;
(3) Determine (se possível) a solução explicita do PVI.
4. Considere a edo y + (2x− yey)y′ = 5x− y′.
(a) A edo é linear? Se sim, determine sua solução.
(b) A edo é separável? Se sim, determine sua solução.
(c) A edo é exata? Se sim, determine sua solução.
(d) A edo é homogênea? Se sim, determine sua solução.
(e) A edo é de Bernoulli? Se sim, determine sua solução.
(f) Existe um fator integrante µ(x) que transforme a edo em uma edo exata? Se sim, determine o fator integrante;
(g) Existe um fator integrante µ(y) que transforme a edo em uma edo exata? Se sim, determine o fator integrante;
5. Resolva o pvi y′ = 3− 6x+ y − 2xy, y(1) = 3.
6. Resolva a edo y′ =
x+ y
x− y .
7. Verifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
(a) Se r1, r2 são soluções inteiras da equação ar
2 + br + c = 0 e r1 + r2 é ímpar, então a solução geral da edo
ay′′ + by′ + cy = 0 é y = c1er1x + c2er2x, c1, c2 constantes reais.
(b) Toda edo de segunda ordem possui pelo menos uma solução.
(c) Se y1 e y2 são soluções da edo ay
′′ + by′ + cy = 0, então a solução geral desta edo é y = c1y1 + c2y2, c1, c2
constantes reais.
8. Resolva as edo's abaixo.
(a) y′′ + y = 0
(b) y′′ + y + 5 = 0
(c) y′′ + y = e2t
(d) y′′ + y = sen (2t)
(e) 4y′′ + 4y = sec(t)
(f) y′′ + y = sen (2t) + sec(t) + e2t − 5.
9. (a) Determine qual dentre as funções z1(x) = x
2
, z2(x) = x
3
e z3(x) = e
−x
são soluções da equação
(x+ 3)y′′ + (x+ 2)y′ − y = 0.
18 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
(b) Determine a solução geral da edo (x+ 3)y′′ + (x+ 2)y′ − y = 0. Caso tenha encontrado uma única solução
no item anterior, você deve determinar uma primeira solução para a edo.
(c) Determine a solução do PVI
(x+ 3)y′′ + (x+ 2)y′ − y = 0, y(1) = 1, y′(1) = 3
.
10. Resolva o PVI
2x2y′′ − xy′ − 9y = x7
y(1) = 0; y′(1) = 1
11. Determine a solução do pvi
y′′ + 2y′ + y = t5e−t + t2e−t, y(0) = 0; y′(0) = 5
12. Determine a transformada de Laplace inversa da função
F (s) =
5
s2 + 4s+ 3
(a) Utilizando frações parciais
(b) Utilizando convolução.
13. Determine a solução do PVI
y′′ + 4y′ + 20y = u2(t) + 3, y(0) = 0; y′(0) = 4
Caso utilize frações parciais no processo, não é necessário determinar as constantes. Caso utilize convolução,
calcule todas as integrais necessárias.
14. Resolva a equação integral
y′ + 6 =
∫ t
0
y(u)du, y(0) = 4
15. Calcule a transformada de Laplace de
f(t) = u3(t)e
5tcos(2t)
.
16. Determine a solução do pvi
y′′ + 4y′ + 4y = t2 + e−2t + et
y(0) = 4, y′(1) = 2
17. Determine a solução do pvi
y′′ + 4y′ + 4y = u3(t)− cos(t)
y(0) = 0, y′(0) = 4
18. Resolva as edo's abaixo.
(a) xy′ = y + xey/x.
19 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
(b) 3x2y2 + 6y + ex cos(y) + (2x3y + 6x− exsen (y))y′ = 2− 3y.
19. Um tanque contém inicialmente 100 litros uma solução de água e sal, contendo 400 g de sal. Uma mistura de
água e sal na concentração de 10 gramas de sal por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 20 litros por
minuto. Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa. Encontre a função
Q(t) (escreva a solução na forma explicita) que descreve a quantidade de sal no tanque como função do tempo).
Em seguida, determine após quanto tempo a concentração da solução no tanque será metade da concentração
inicial.
20. Determine a solução do PVI x2y′′ + 4xy′ = 8x6, y(1) = 2, y′(1) = 3.
21. Determine a transformada de Laplace inversa da função F (s) =
s
(s2 + 16)2
utilizando convolução.
22. Determine as funções x(t) e y(t) tais que
x(0) = 3, y(0) = 4
x′(t) = 2x(t) + 2y(t) + et
y′(t) = 2x(t) + 2y(t)− 4
23. Determine as funções x(t), y(t) e z(t) tais que
x(0) = 3, y(0) = 2, z(0) = −2
x′(t) = y′(t) = z′(t) = 3x(t) + 3y(t) + 3z(t)
24. Determine todas as soluções do sistema
x′(t) =3x(t) + 4y(t)
y′(t) = −4x(t) + 3y(t)
25. Determine a solução da edo 3y′′ + 3y = t2 + et + tg (t).
26. Determine a solução do pvi
y′′ + 4y′ + 4y = u3(t)
y(0) = 1, y′(0) = 4
27. Determine qual dentre as funções z1(x) = x
2
E z2(x) = e
−x
é solução da equação
(x+ 3)y′′ + (x+ 2)y′ − y = 0.
Em seguida, determine a solução geral da edo (x + 3)y′′ + (x + 2)y′ − y = 0., utilizando a solução obtida para
determinar uma segunda solução.
28. Determine a solução da edo y′′ + y = upi(t)sen (t), y(0) = 3, y′(0) = 5.
20 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes