PROVA 3 (2021)

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universidade federal rural do semiárido FUNÇ~OES DE n−VARIÁVEIS - AVALIAÇ~AO 3/3 - 27/10/2021
universidade federal rural do semiárido
centro de ciências exatas e naturais
Prof. Alexsandro Belém Fone: +55 85 998574716
Departamento de Matemática alexsandro.belem@ufersa.edu.br
Universidade Federal Rural do Semiárido
3rd VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM
FUNÇÕES DE n−VARIÁVEIS – 2021.1
ALUNO: TURMA:
Problema Escores Esc obtidos
A 5
B 5
C 5
D 5+5
E 10
F 10
G 5
H 5+5
I 10
J 5+5
K 10
L 10
M 20
TOTAL 120
1
universidade federal rural do semiárido FUNÇ~OES DE n−VARIÁVEIS - AVALIAÇ~AO 3/3 - 27/10/2021
Importante:
1. Apresente suas soluções de forma clara e bem organizada.
2. Argumentos devem ser cuidadosamente justificados para serem eleǵıveis à pontuação.
3. Respostas sem a devida justificativa não serão consideradas.
4. Respostas enviadas fora do horário permitido pelo sistema não serão aceitas em qualquer hipótese.
5. Respostas que não sejam enviadas em papel A4 branco não serão aceitas em qualquer hipótese.
6. Avaliação individual. Cópias não serão aceitas em qualquer hipótese.
A. Enuncie o Teorema de Fubini.
B. Enuncie e demonstre o Teorema da Divergência no plano.
C. Enuncie o Teorema de da Mudança de Variáveis na integral dupla.
D. 1. Enuncie o Teorema de Green para compactos.
2. Demosntre o teorema anterior no caso em que o compacto em questão é um retângulo e γ é a sua
fronteira.
E. Calcule ∫ ∫ ∫
B
√
x2 + y2 + z2 dx dy dz,
onde B = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 ≤ z ≤
√
x2 + y2}.
F. Calcule o volume do sólido B dado por x2 + y2 − 2x ≤ 0, 0 ≤ z ≤ x+ y, x ≥ 0 e y ≥ 0.
G. Calcule a área da região compreendida entre os gráficos das funções y = x e y = −x2 + x + 1, com
−1 ≤ x ≤ 1, utilizando a integral dupla.
H. 1. Seja ~F : Ω ⊂ R3 → R3 um campo de forças definido no aberto Ω do R3 e suponha que uma particula
descreva um movimento em Ω com função de posição γ : [a, b] → Ω. Defina o trabalho realizado por
~F de ao longo de γ no intervalo [a, b].
2. Uma part́ıcula move-se no plano de modo que no instante t sua posição é dada por γ(t) = (t, t2).
Calcule o trabalho realizado pelo campo ~F (x, y) = (x+y, x−y) no deslocamento da part́ıcula de γ(0)
até γ(1).
I. Calcule
∮
γ
(x4−y3) dx+(x3 +y5) dy, onde γ é dada por γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π], orientada no sentido
anti-horário.
J. 1. Seja γ : [a, b]→ R2 um caminho regular e injetivo em (a, b) e seja ~F um campo vetorial cont́ınuo num
aberto que contém a imagem de γ. Defina o fluxo de ~F ao longo de γ na direção de ~n.
2. Seja ~F (x, y) = y3 j. Calcule o fluxo de ~F ao longo da fronteira γ do retângulo 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2,
sendo ~n a normal unitária que aponta para fora do retângulo.
K. Prove, usando integrais triplas, que o volume de uma esfera de raio r é
4
3
πr3.
2
3
Lembrando que se u : Ω ⊂ Rn → R é uma função de classe C2 (pelo menos) num aberto Ω ⊂ Rn definimos o
Laplaciano de u por
∆u =
n∑
i=1
∂2u
∂x2i
=
∂2u
∂x21
+ · · ·+ ∂
2u
∂x2n
.
L. Seja ν : Ω ⊂ R2 → R de classe C2 no aberto Ω e sejam γ : [a, b]→ Ω uma curva regular, fechada, simples,
orientada no sentido anti-horário, fronteora de um conjunto compacto K, com interiior não vazio e contido
em Ω. Prove que se ∆u = 0 no interior de K e ν(γ(t) = 0 em [a, b], então ν(x, y) = O para todo (x, y) ∈ K.
Suponha, ainda, que K seja um ćırculo.
M. Sejam γ e K como no exerćıcio anteior. Seja F (x, y) uma função a valores reais definida e continua no
interior de K e seja f(x) uma função a valores reais definida e cont́ınua em [a, b]. Considere o problema
com condição de fronteira {
∆u = F, no interior de K
u(γ(t)) = f(t), em [a, b].
(1)
Prove que se u1 e u2 são funções a valores reais, de classe C
2 num aberto contendo K, satisfazendo (1)
então u1 = u2 em K.
A equação
∆u = 0, (2)
no problema L é chamada equação de Laplace. Embora a equação (2) tenha aparecido pela primeira vez em um
artigo de Leonard Euler sobre hidrodinâmica em 1752, a equação ficou com o nome de Laplace em honra a Pierre-
Simon Laplace (1749-1827) que, a partir de 1782, estudou extensivamente suas soluções enquanto investigava
a atração gravitacional entre corpos no espaço. A equação de Laplace aparece em muitos problemas da F́ısica
Matemática: por exemplo, no estudo de campos eletrostáticos, a função potencial elétrico em um meio dielétrico
sem cargas elétricas satisfaz a equação de Laplace; a energia potencial de uma part́ıcula sobre a qual agem apenas
forças gravitacionais também satisfaz a equação de Laplace (e por isso a equação é chamada algumas vezes de
equação do potencial); a temperatura estado estacionário é também solução da equação de Laplace.
Uma função u : Ω ⊂ Rn → R de classe C2 que satisfaz ∆u = 0 é chamada função harmônica.
Um problema do tipo  u ∈ C
2(Ω) ∪ C(Ω)
∆u = 0 em Ω
u|∂Ω = f ∈ C(∂Ω)
onde, Ω ⊂ R3 é um domı́nio regular (i.e., aberto, conexo, limitado com fronteira de classe C2) é chamado
problema de Dirichlet clássico.
Boa prova!!!
“Se avexe n~ao
Amanh~a pode acontecer tudo, inclusive nada!”.
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