LISTA 5 DE Calculo 3

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Maranha˜o - UFMA
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnologia - CCET
Departamento de Matema´tica - DEMAT
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral III Prof. Msc. Alan Kardec
5a LISTA DE EXERCI´CIOS
1.0 Ca´lcule dw/dt de duas maneiras: (1) usando a regra da cadeia e depois expressando tudo em termos de t
e (2) primeiro substituindo e depois derivando.
(A) w = ex
2+y2 , x = cos t, y = sin t
(B) w = xy + yz + zx, x = 3t2, y = et, z = e−t
(C) w =
3xy
x2 − y2 , x = t
2, y = 3t
(D) w = ln (x4 + 2x2y + 3y2), x = t, y = 2t2
2.0 Sendo f uma func¸a˜o (cont´ınua diferencia´vel) qualquer, mostre que w = f(x2−y2) e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o
diferencial parcial
y
∂w
∂x
+ x
∂w
∂y
= 0
[Sugesta˜o: escreva w = f(u) onde u = x2 − y2 e aplique a regra da cadeia com apenas uma varia´vel
intermedia´ria]
3.0 Sendo w = f(x, y), onde x = r cos θ e y = r cos θ, mostre que(
∂w
∂x
)2
+
(
∂w
∂y
)2
=
(
∂w
∂r
)2
+
1
r2
(
∂w
∂θ
)2
4.0 Mostre que o limite lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) na˜o existe.
(A) f(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
(B) f(x, y) =
x4y4
(x2 + y4)3
(C) f(x, y) =
x9y
(x6 + y2)2
(D) f(x, y) =
x2
x2 + y2
(E) f(x, y) =
x4 + 3x2y2 + 2xy3
(x2 + y2)2
(F) f(x, y) =
x2y2
x4 + y4
5.0 Ache a derivada direcional (usando a definic¸a˜o) da func¸a˜o dada na direc¸a˜o e sentido do vetor unitario ~u
dado.
(A) f(x, y) = 2x2 + 5y2, ~u = cos 14pi
~i+ sin 14
~j
(B) g(x, y) = 3x2 − 4y2 ~u = cos 13pi~i+ sin 13~j
(C) h(x, y, z) = 3x2 + y2 − 4z2 ~u = cos 13pi~i+ sin 14~j + cos 23pi~k
6.0 Calcule a derivada direcional de f em P na direc¸a˜o do vetor dado.
(A) f(x, y, z) = xy2 + x2z + yz, P = (1, 1, 2), ~1 + 2~j − ~k
(B) f(x, y, z) = ln (x2 + y2 + z2), P = (0, 0, 1), vetor de P a (2, 2, 0)
(C) f(x, y, z) = x sin y + y sin z + z sinx, P = (1, 0, 0), 2
√
3~i+ 2~j
(D) f(x, y, z) = xyez + yzex, P = (1, 0, 0) vetor de P a (2, 2, 1).
7.0 Ache a direc¸a˜o e o sentido a partir do ponto (1, 3) para a qual os valores de f na˜o mudam, sendo f(x, y) =
e2y tan−1
y
3x
8.0 A temperatura e´ T (x, y) graus em qualquer ponto de uma placa retaˆngular situada no ponto xy e T (x, y) =
3x2 +2xy. A distaˆncia e´ medida em metros. (A) Ache a taxa de variac¸a˜o ma´xima da temperatura no ponto
(3,−6) da placa. (B) Ache a direc¸a˜o e sentido em que a taxa de variac¸a˜o e´ ma´xima em (3,−6).
9.0 O potencial ele´trico e´ V (x, y) volts em qualquer ponto do plano xy e V (x, y) = e−2x cos 2y. A distaˆncia e´
medida em metros. (A) Ache a taxa de variac¸a˜o do potencial no ponto (0, 14pi), na direc¸a˜o do vetor unita´rio
cos 16pi
~i+ sin 16
~j. (B) Ache a direc¸a˜o e sentido e valor da taxa de variac¸a˜o ma´xima de V em (0, 14pi).
10.0 A equac¸a˜o da superf´ıcie de uma montanha e´
z = 1200− 3x2 − 2y2
onde a distaˆncia e´ medida em metros, o eixo x aponta para o leste e o eixo y aponta para o norte. Uma
alpinista esta´ no ponto correspondente a (−10, 5, 850). (A) Qual a direc¸a˜o onde a subida e´ mais ı´ngreme?
(B) Se a alpinista se move na direc¸a˜o leste, ela esta´ subindo ou descendo, e qual a sua taxa? (C) Se a
alpinista se move na direc¸a˜o sudoeste, ela esta´ subindo ou descendo, e qual a sa taxa? (D) Em que direc¸a˜o
ela estara´ sobre uma curva de n´ıvel?
2