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Nu´meros Complexos
1. Prove as propriedades relacionadas as opera¸c˜oes de soma e do produto definidas no corpo dos nu´meros complexos.
2. Mostre que se (x, y) /= (0, 0) ent˜ao o inverso multiplicativo de (x, y) ´e u´nico.
3. Reduza `a forma x + yi
a) (5 − 2i)2 − 6i
b) −i(−1 + i) + 3
c) (2 − 4i)(3 − i)√	√	√	√
d) ( (3) −	(2)i)( (2) −	(3)i)
e) 5 − 2i−
3	8i√
 
f) (3 −	(5)i)2
(1 − i)2
g) z − zi
z − zi
4. Fa¸ca um esbo¸co e identifique os seguintes conjuntos:
a) |z| = |z − 2|
b) |z| = |z + i|
c) a|z| = |z − 1|, a ∈ R, a /= ( 01
d) Re(z) = Im(z − i)
e) Im(z − 1) = |z + 1|
f) |z| = |z − 2 + i|
5. Mostre que ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|.
6. Deduza a desigualdade |z1 + z2 + z3| ≤ |z1| + |z2| + |z3|.
7. Mostre que, se z2
z3, ent˜ao
.	. 		 	
z1	. ≤	|z1|	..
8. Resolva as equa¸c˜oes:
a) z − z = 1
. z2 + z3 .	||z2| − |z3||
b) z + zi = 2 + i
c) z + 2z = 1 − i
9. Encontre todas as solu¸c˜oes das equa¸c˜oes:
a) z2 = −i + √3
b) z9 = −1
c) z3 = 1
d) z7 = −1 − i
10. Seja P (x) = ax2 + bx + c um polinˆomio de grau 2 com coeficientes reais e suponha que ∆ = b2 − 4ac < 0. Entao, as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao P (x) = 0 s˜ao nu´meros complexos com parte imagin´aria n˜ao nula. Se z1 e z2 s˜ao essas solu¸c˜oes, mostre que z2 = z1. Mais geralmente, se
P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0
´e um polinˆomio de grau n > 0 arbitr´ario, com coeficientes reais, e se z0 ∈ C ´e tal que P (z0) = 0, ent˜ao tem-se que P (z0 = 0.
11. Considere a equa¸c˜ao az2 + bz + c = 0, onde a, b, c ∈ C. Deduza uma express˜ao para as suas ra´ızes.
12. Deduza a f´ormula
1 + + 2 +	+ n−1 = zn − 1	= 1
z	z	· · ·	z
, z	.
z −1
13. Use o exerc´ıcio anterior para mostrar que, se ω =/	1 satisfaz a equa¸c˜ao ωn = 1, ent˜ao
1 + ω + ω2 + · · · + ωn−1 = 0.
14. Utilizando a f´ormula de De Moivre, deduza
a) cos(2θ) = cos2(θ) − sin2(θ)
b) sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ)
c) cos(3θ) = cos3(θ) − 3 cos(θ) sin2(θ)
d) sin(3θ) = 3 cos2(θ) sin(θ) − sin3(θ)
15. Use a f´ormula de De Moivre para deduzir express˜oes para sin(4θ) e para cos(4θ).
16. Calcule (2 + i)(3 + i) e deduza a igualdade
π	1	1
4 = arctan 2 + arctan 3 .
17. Calcule (5 − i)4(1 + i) e deduza a igualdade
π = 4 arctan 1 − arctan 1 .4
5
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