Questão resolvida - Calcule a altura relativa ao lado AB do triangulo cujos vértices são A(2,-5) B(6,-2) C(5,-1) (Obs_ tem que ser por projeção) - Álgebra Linear I - CEFET_RJ

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• Calcule a altura relativa ao lado AB do triangulo cujos vértices são A 2,-5 , B 6,-2( ) ( )
. (Obs: tem que ser por projeção)C 5,-1( )
 
Resolução:
 
Um esboço do triângulo que desejamos calcular a altura em relação ao lado AB é o seguinte;
 
 
Das relações vetorias, temos que a altura h é dada pela expressão;
 
h = | - |AC AH
 
O vetor é a projeção do vetor sobre o vetor , dado por;AH AC AB
 
= Proj = ⋅AH
AB
AC
⋅
⋅
AC AB
AB AB
AB
 
 
A 2,-5( ) B 6,-2( )
C 5,-1( )
h
H
(1)
(2)
Vamos, usando as coordenadas dos pontos, encontrar os vetores e ;AB AC
 
= B-A = 6,-2 - 2,-5 = 6- 2,-2- -5 = 4,-2 + 5 = 4, 3AB ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )
 
= C-A = 5,-1 - 2,-5 = 5- 2,-1- -5 = 3,-1 + 5 = 3, 4AC ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )
 
Agora, podemos encontrar o vetor ;AH
 
= ⋅ 4, 3 = ⋅ 4, 3 = ⋅ 4, 3 = 4, 3AH
4, 3 ⋅ 3, 4
4, 3 ⋅ 4, 3
( ) ( )
( ) ( )
( )
4 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4
4 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3
( )
12 + 12
16 + 9
( ) →AH
24
25
( )
 
Para facilitar o calculo, vamos reescrever o vetor da seguinte forma;AC
 
= 3, 4 = 3, 4AC ( )
25
25
( )
Com isso, usando a expressão 1, a altura h do triângulo é dada por;
 
h = | - | = h = | 3, 4 - 4, 3 | = | 3 ⋅ 25, 4 ⋅ 25 - 4 ⋅ 24, 3 ⋅ 24 |AC AH
25
25
( )
24
25
( )
1
25
( )
1
25
( )
 
h = | 3 ⋅ 25- 4 ⋅ 24, 4 ⋅ 25- 3 ⋅ 24 | = | 75- 96, 100- 72 | = | -21, 28 |
1
25
( )
1
25
( )
1
25
( )
 
Das propriedades de módulo de vetores, temos que;
 
h = | -21, 28 | = | -21, 28 |
1
25
( )
1
25
( )
Resolvendo o módelo, fica;
 
h = = = = ⋅ 35 =
1
25
-21 + 28( )2 ( )2
1
25
441 + 784
1
25
1225
1
25
35
25
 
 
h = 1, 4 u. c.
 
 
(Resposta )