Matrizes: Definição, Operações e Propriedades

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5/26/2022
MATRIZES
Sumário:
2
• Definição
• Representação
• Matriz transposta
• Igualdade
• Adição
• Subtração
• Multiplicação por 
um número real
• :
Definição
3
Sejam m e n números naturais não nulos.
Uma matriz do tipo m x n é uma tabela de m . n números
dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas
verticais).
Representamos usualmente uma matriz colocando seus
elementos entre parênteses ou entre colchetes.
Exemplos:
6 2
3 −1
20 4
19 86
31 10
19 89
1 0 0
0 1 0
0 0 1
As linhas são numeradas de cima para baixo, e as 
colunas, da esquerda para a direita.
4
Acompanhe o exemplo.
5
Seja a matriz A = 
1 2 3
4 5 6
7 8 9 3𝑥3
O elemento que está na linha 1, coluna 1 é 𝑎11 = 1.
O elemento que está na linha 1, coluna 2 é 𝑎12 = 2.
O elemento que está na linha 1, coluna 3 é 𝑎13 = 3.
O elemento que está na linha 2, coluna 1 é 𝑎21 = 4.
O elemento que está na linha 2, coluna 2 é 𝑎22 = 5.
O elemento que está na linha 2, coluna 3 é 𝑎23 = 6.
O elemento que está na linha 3, coluna 1 é 𝑎31 = 7.
O elemento que está na linha 3, coluna 2 é 𝑎32 = 8.
O elemento que está na linha 3, coluna 3 é 𝑎33 = 9.
6
Matriz linha:
A = [𝟐 𝟎 𝟒]
Matriz coluna:
E = 𝟐
𝟐
𝟗
Matriz nula:
𝐵 =
0 0
0 0
Matriz quadrada:
C = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
𝐷 =
1 0
0 1
Matriz transposta
7
Dada uma matriz A = (𝑎𝑗𝑖)𝑛×𝑚, chama-se matriz transposta de A
a matriz:
𝐴𝑡 = (𝑎′𝑗𝑖)𝑛×𝑚
Exemplo: A matriz transposta de B =
20 19
4 86
é 𝐵𝑡 =
20 4
19 86
Ou seja, inverte-se colunas com linhas.
Adição de matrizes
8
A matriz soma C = A + B é do mesmo tipo das matrizes A e B e
é tal que cada um de seus elementos é a soma de elementos
correspondentes de A e B, como podemos observar a seguir:
A =
2
−1
0
5
3 2
𝑒 𝐵 =
1
3
2
−2
−4 3
2
−1
0
5
3 2
+ 
1
3
2
−2
−4 3
=
3
2
2
3
−1 5
Subtração de matrizes
9
A matriz diferença C = A - B é do mesmo tipo das matrizes A
e B e é tal que cada um de seus elementos é a soma dos
elementos de A com os opostos dos elementos de B.
Para calcular a matriz diferença, devemos obter a matriz
oposta de B, ou seja, trocar o sinal de cada um de seus
elementos, como podemos observar a seguir: A – B = A + (-B)
A =
4
3
1
−2
0 3
𝑒 𝐵 =
3
0
−1
−5
4 −1
4
3
1
−2
0 3
+
−3
0
1
5
−4 1
=
1
3
2
3
−4 4
Multiplicação por um número real
10
Seja a matriz A = (𝑎𝑗𝑖)𝑛×𝑚 e k um número real. O produto de
k pela matriz A (indica-se: k ∙ A) é a matriz B = (𝑏𝑗𝑖)𝑛×𝑚, em
que 𝑏𝑗𝑖 = 𝑘 ∙ 𝑎𝑗𝑖 .
Isso significa que B é obtido de A multiplicando-se por k
cada um dos elementos de A. Observe:
Se A =
4
3
1
−2
0 3
, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 2𝐴 =
8
6
2
−4
0 6
Se B =
−1
10
1
−2
2 4
, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝐵
2
=
−
1
2
5
1
−1
1 2
Quem muito ganha pouco conquista.