9 Integração numérica

Prévia do material em texto

Cálculo Numérico
Integração Numérica
Prof. MSc. Hedler Barreto
1
2
 Em determinadas situações, integrais são 
difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver 
analiticamente.
 Exemplo: o valor de f(x) é conhecido apenas em 
alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não 
se conhece a expressão analítica de f(x), não é 
possível calcular 
 Forma de obtenção de uma aproximação para a 
integral de f(x) num intervalo [a, b]  Métodos 
Numéricos.

b
a
dxxf )(
Integração Numérica
Prof. MSc. Hedler Barreto
3
 Idéia básica da integração 
numérica  substituição da 
função f(x) por um polinômio 
que a aproxime razoavelmente 
no intervalo [a, b].
 Integração numérica de 
uma função f(x) num 
intervalo [a,b]  cálculo da 
área delimitada por essa função, 
recorrendo à interpolação 
polinomial, como, forma de 
obtenção de um polinômio –
pn(x). 
Integração Numérica
Prof. MSc. Hedler Barreto
4
Integração Numérica
Prof. MSc. Hedler Barreto
5
 As fórmulas terão a expressão abaixo: 
 Fórmulas de integração (fórmulas de quadratura): 
 x0 , ... , xn - pontos conhecidos, pertencentes ao intervalo [a, b] 
(nós de integração).
 A0 , ... , An - coeficientes a determinar, independentes da função f (x) 
(pesos). 
,...,n,[a,b],ix
xfAxfAxfAdxxf
i
nn
b
a
10
1100

 ),(...)()()(



n
i
iin
xfAfI
0
)()(
Integração Numérica
Prof. MSc. Hedler Barreto
6
 O uso desta técnica decorre do fato de: 
 por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de 
integrar, contrariamente a um polinômio; 
 conhecer-se o resultado analítico da integral, mas 
seu cálculo é somente aproximado; 
 a única informação sobre f(x) ser um conjunto de 
pares ordenados. 
Integração Numérica
Prof. MSc. Hedler Barreto
7
Métodos de integração numérica mais 
utilizados
 Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas
 Regra dos Trapézios, x0=a e xn=b.
 Regra 1/3 de Simpson
 Fórmulas de Newton-Cotes Abertas
 os xi têm de pertencer ao intervalo aberto de a até b
Integração Numérica
Prof. MSc. Hedler Barreto
8
 Regra dos Trapézios Simples - consiste em 
considerar um polinômio de primeiro grau que 
aproxima uma função f(x), ou seja, n=1. 
 Este polinômio terá a forma y=a0 + a1x e trata-se 
da equação que une dois pontos: a=x0 e b=x1.
Regra dos Trapézios
9
Regra dos Trapézios Simples
Área do trapézio: A=h . (T+t) /2
 h - altura do trapézio
 t - base menor
 T - base maior
De acordo com a figura:
 h= b – a = x1 – x0
 t = f(b) = f(x1)
 T = f(a) = f(x0)
 Logo, 
  
1
0
10
2
x
x
xfxf
h
dxxf )()()(
10
 Intervalo [a, b] relativamente pequeno
 aproximação do valor do integral é aceitável. 
 Intervalo [a, b] de grande amplitude
 aproximação desfasada.
 pode-se subdividi-lo em n sub-intervalos, e em cada um a 
função é aproximada por uma função linear.
 A amplitude dos sub-intervalos será h=(b-a)/n . 
 A integral no intervalo é dado pela soma dos integrais 
definidos pelos sub-intervalos. 
 Regra dos trapézios simples aplicada aos sub-intervalos. 
 Uso da Regra dos Trapézios Composta (Repetida):
soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu 
sub-intervalo.
Regra dos Trapézios Simples
Prof. MSc. Hedler Barreto
11
 Intervalo [a, b] de grande amplitude.
 Soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo 
seu sub-intervalo.
Regra dos Trapézios Composta
Prof. MSc. Hedler Barreto
12
 Fórmula:
 Só os termos f(x0) e f(xn) não se repetem, assim, esta 
fórmula pode ser simplificada em:
   
 )()(... 
)()()()()(
NN
x
x
xfxf
h
xfxf
h
xfxf
h
dxxf
m




1
2110
2
22
0
    
Nx
x
NN xfxfxfxfxf
h
dxxf
0
1210 2
2
)()(...)()()()(
Regra dos Trapézios Composta
Prof. MSc. Hedler Barreto
13
 Regra dos Trapézios Simples - 2 pontos (x0=0.0 e 
x1=4.0) 
I= {f(x0)+f(x1)}*(x1-x0)/2=(1+0.24254)*(4-0)/2 = 2.48508
 Regra dos Trapézios Composta - 3 pontos
(x0=0.0,x1 =2.0,x2 =4.0) 
I= [f(x2) - f(x0)]/2*[f(x0)+2*f(x1)+ f(x2)]= 
I=(2-0)/2 * (1 + 2*0,44722 + 0,24254) = 2.1369 
 Regra dos Trapézios Composta - 9 pontos
I=(0.5/2) * (y0+2y1+2y2+2y3+2y4+2y5+2y6+2y7+y8) 
I=2.0936 
x y=(1+x²)-1/2
0.0 1.00000 
0.5 0.89445
1.0 0.70711
1.5 0.55475
2.0 0.44722
2.5 0.37138
3.0 0.31623
3.5 0.27473
4.0 0.24254
A aproximação para 9 pontos é melhor, dado que o 
valor real é 2.0947.
Exemplo: Estimar o valor de
Regra dos Trapézios


4
0
2121 dxx /)(
Prof. MSc. Hedler Barreto
14
2/12 )1()(  xxf
15
Erro da Regra dos Trapézios simples
E(f)=I(f)-T(f)=I(f)-I(p1)=I(f-p1)
 T(f) - valor da integral obtida pela regra dos 
trapézios. 
 I(f) - valor da integral obtida pela integração de f(x).
Regra dos Trapézios
Prof. MSc. Hedler Barreto
16
 Erro da Regra dos Trapézios simples
E( f ) = I ( f ) - T ( f ) = I ( f ) - I ( p1 ) = I ( f - p1 ) 
 Da fórmula do erro de interpolação temos 
f (x) - p1(x) = f [ a, b, x ] ( x - a ) ( x - b )
 Como ( x - a ) ( x - b ) não muda de sinal no intervalo 
[a, b] pode-se aplicar o Teorema do Valor Médio para 
Integrais e obtém-se:
     
b[ ]a,ξ certo um para 
))((,,,,

  
b
a
b
a
dxbxaxbafdxbxaxxbaf 
Regra dos Trapézios
Prof. MSc. Hedler Barreto
17
Erro da Regra dos Trapézios Simples
 Supondo que f é C2[a, b], obtém-se a fórmula do erro:
Erro da Regra dos Trapézios Composta
 Aplicando o Teorema do Valor Médio à média das 2as derivadas, 
obtém-se: 
b[ ]a, certo um para ),´´()´´(
)(
)( 

  f
h
f
ab
fE
1212
33






 

N
i
ii
N
i
N
f
N
Nh
f
h
fE
1
3
1
3 1
1212
)´´()´´()( 
1212
3
1
3 )´´(
)´´()( i
i
N
i
N
fNh
f
h
fE

  

Regra dos Trapézios
Prof. MSc. Hedler Barreto
18
 Não é possível calcular exatamente ,
visto que não se conhece o ponto . Quando for 
possível, calcula-se um limitante superior para o erro.
 Tem-se: 
 Sendo f´(x) contínua em [a, b] então existe 
 Assim
)´´(
i
f 
12
3 )´´(
)( i
N
fNh
fE


)´´(
],[
xfmáxM
bax

2
12
2
3MNh
E
TR

Regra dos Trapézios
Prof. MSc. Hedler Barreto
19
 Exemplo: Seja ,
calcule uma aproximação para I usando a Regra dos 
Trapézios Simples. Estime o erro cometido.
Regra dos Trapézios

1
0
dxeI x
 
8591411
2
1
101
1
0
0
1
0
,




dxeI
eedxeI
abh
x
x  
1
0
10
2
x
x
xfxf
h
dxxf )()()(
Prof. MSc. Hedler Barreto
20
Estimativa do erro cometido:
Regra dos Trapézios
2265230
12
1
10
12
1
10
3
,
),( ,
)(
][
máx
:Portanto



x
,x
TR
TR
eE
eE 
x
,x
ee
][
máx
10
1


Prof. MSc. Hedler Barreto
21
 Exemplo: Seja ,
calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e 
a Regra dos Trapézios Composta. Estime o erro cometido.
Regra dos Trapézios

1
0
dxeI x
 
7197131
2222
2
10
1
0
908020100
1
0
,
...
, ,,,,
0,1h com lossubinterva 10 em ossubdividid [0,1]





dxeI
eeeeeedxeI
x
x
    
Nx
x
NN
xfxfxfxfxf
h
dxxf
0
1210
2
2
)()(...)()()()(
Prof. MSc. Hedler Barreto
22
Estimativa do erro cometido:
Regra dos Trapézios
002270
12
010
10
12
1010
10
3
,
,
),( ,
),(
][
máx
:Portanto



x
,x
TR
TR
eE
eE 
x
,x
ee
][
máx
10
1


Prof. MSc. Hedler Barreto
Prof. MSc. Hedler Barreto
23
Regra de 1/3 de Simpson
Prof. MSc. Hedler Barreto
24
Regra de 1/3 de Simpson
Prof. MSc. Hedler Barreto
25
Regra de 1/3 de Simpson
Prof. MSc. Hedler Barreto
26
Regra de 1/3 de Simpson
Prof. MSc. Hedler Barreto
27
Regra de 1/3 de Simpson
Prof. MSc. Hedler Barreto
28
Regra de 1/3 de Simpson
Prof. MSc. Hedler Barreto
29
Regra de 1/3 de Simpson
Prof. MSc. Hedler Barreto
30
Regra de 1/3 de Simpson
 Exercício: Seja ,
calcule uma aproximação para I usando 2 subintervalos e a 
Regra de 1/3 de Simpson. 

1
0
dxeI x