Apostila 1 - regra de simpson - 2015

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1 
Cálculo de Reatores 2 –UNAERP - Prof. Murilo D.M. Innocentini 
 
UNIVERSIDADE DE RIBEIRÃO PRETO 
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
CINÉTICA QUÍMICA 
 
APOSTILA 1 
 
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA - REGRA DE SIMPSON 
APLICADA A REATORES QUÍMICOS 
 
 
f(x)
x
f(xo)
f(x1)
f(x2)
f(xn-2)
f(xn-1) f(xn)
xo x1 x2 xnxn-2 xn-1. . . .
A1 A2 An-1 AnAn-2A3
n1n21 AAAAáreaIntegral  
f(x)
x
f(xo)
f(x1)
f(x2)
f(xn-2)
f(xn-1) f(xn)
xo x1 x2 xnxn-2 xn-1. . . .
A1 A2 An-1 AnAn-2A3
f(x)
x
f(xo)
f(x1)
f(x2)
f(xn-2)
f(xn-1) f(xn)
xo x1 x2 xnxn-2 xn-1. . . .
A1 A2 An-1 AnAn-2A3
n1n21 AAAAáreaIntegral  
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Murilo Daniel de Mello Innocentini 
Curso de Engenharia Química 
Universidade de Ribeirão Preto – UNAERP 
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/5681181471077426 
 
 
 
 
RIBEIRÃO PRETO - SP 
AGOSTO - 2015 
 
 
 2 
Cálculo de Reatores 2 –UNAERP - Prof. Murilo D.M. Innocentini 
1. Introdução 
 
 Existem diversas situações na Engenharia Química nas quais a resolução de um 
problema passa pelo cálculo da integral de uma função complexa, cuja resposta algébrica não 
pode ser obtida facilmente. É comum também o caso em que uma curva é obtida 
experimentalmente em laboratório, e, embora não se conheça a equação geradora, deseja-se 
obter a área limitada pela curva e pelo eixo x. Nesses casos, uma das alternativas é a 
utilização de métodos numéricos para o cálculo da integral. 
 Dentre os métodos para a resolução numérica de uma integral, o método de Simpson 
tem a vantagem de ser simples e de dar resultados mais precisos do que outros métodos. O 
princípio do método consiste em dividir o intervalo de x, no qual se quer fazer a integração, 
em um certo número de intervalos, e, em cada um deles, assimilar a curva real a uma parábola 
do segundo ou do terceiro grau, da qual serão obtidos os coeficientes. Calcula-se, assim, 
facilmente a área compreendida entre cada um desses intervalos e o eixo x. A soma das áreas 
individuais de cada trecho dará a área total (integral) da função desejada. Embora as 
demonstrações não sejam realizadas aqui, sugere-se a leitura de material didático específico 
para a compreensão do método (livros de cálculo numérico, Thomas, Cálculo, p. 415; Manual 
do Engenheiro Globo, volume 1, tomo 2, p.83). 
 
2. Regra Geral de Simpson 
 
 
f(x)
x
f(xo)
f(x1)
f(x2)
f(xn-2)
f(xn-1) f(xn)
xo x1 x2 xnxn-2 xn-1. . . .
A1 A2 An-1 AnAn-2A3
n1n21 AAAAáreaIntegral  
f(x)
x
f(xo)
f(x1)
f(x2)
f(xn-2)
f(xn-1) f(xn)
xo x1 x2 xnxn-2 xn-1. . . .
A1 A2 An-1 AnAn-2A3
f(x)
x
f(xo)
f(x1)
f(x2)
f(xn-2)
f(xn-1) f(xn)
xo x1 x2 xnxn-2 xn-1. . . .
A1 A2 An-1 AnAn-2A3
n1n21 AAAAáreaIntegral  
 
 
 
 )x(f)x(f4)x(f2)x(f2)x(f4)f(x
3
h
dx )x(fÁrea n1n2n21o
x
x
n
o
 
 
 
sendo: 
n
xx
h on


 ; 
ihxx oi 
 para i = 1 a n 
 
 3 
Cálculo de Reatores 2 –UNAERP - Prof. Murilo D.M. Innocentini 
3. Regra de Simpson de 3 pontos 
 
f(x)
x
f(xo)
f(x1)
f(x2)
xo x1 x2
A1 A2
21 AAáreaIntegral 
f(x)
x
f(xo)
f(x1)
f(x2)
xo x1 x2
A1 A2
21 AAáreaIntegral  21 AAáreaIntegral 
 
 
 
 )x(f)x(f4)f(x
3
h
dx )x(fÁrea 21o
x
x
2
o
 
 
 
sendo: 
2
xx
h o2


;
hxx o1 
; 
h2xx o2 
 
 
4. Regra de Simpson de 5 pontos 
 
f(x)
x
f(xo)
f(x1)
f(x2)
f(x3)
f(x4)
xo x1 x2 x3 x4
A1 A2 A4A3
4321 AAAAáreaIntegral 
f(x)
x
f(xo)
f(x1)
f(x2)
f(x3)
f(x4)
xo x1 x2 x3 x4
A1 A2 A4A3
4321 AAAAáreaIntegral 
 
 
 )x(f)x(f4)x(f2)x(f4)f(x
3
h
dx )x(fÁrea 4321o
x
x
4
o
 
 
 
sendo: 
4
xx
h o4


 ; 
hxx o1 
; 
h2xx o2 
; 
h3xx o3 
; 
h4xx o4 
 
 
 4 
Cálculo de Reatores 2 –UNAERP - Prof. Murilo D.M. Innocentini 
5. Exemplos resolvidos 
 
1) Calcule a integral da função 
)x(log)x(f 10
 para x entre 1 e 2, usando a Regra de 
Simpson (3 e 5 pontos). Compare com a solução analítica. 
 
Resolução: 
 
dx )x(logdx )x(f
2
1
10
x
x
n
o
 
 
 
- Pela Regra de Simpson de 3 pontos: 
 
 )x(log)x(log4)(xlog
3
h
dx (x)ogl 210110o10
x
x
10
n
o

 
 
2
xx
h o2


 
2
12
h


 h = 0,5 
 
Logo: 
 
h0xx oo 
 
0,1x1 
 
hxx o1 
 
5,01x1 
 
5,1x1 
 
h2xx o2  )5,0(21x2 
 
2x1 
 
 
Preparando tabela: 
 
Ponto x log(x) 
xo 1,0 0,0000 
x1 1,5 0,1761 
x2 2,0 0,3010 
 
Logo: 
 
 )0,2(log)5,1(log4)(1,0log
3
5,0
dx (x)ogl 101010
2x
ox
10 
 
 
 3010,0)1761,0(40
3
5,0
dx (x)ogl
2x
ox
10 
 
16757,0dx (x)ogl
2
1
10 
 
 
- Pela Regra de Simpson de 5 pontos: 
 
 )x(log)x(log4)x(log2)x(log4)(xlog
3
h
dx (x)ogl 410310210110o10
x
x
10
4
o

 
 
 
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Cálculo de Reatores 2 –UNAERP - Prof. Murilo D.M. Innocentini 
4
xx
h o4


 
4
12
h


 h = 0,25 
 
Logo: 
h0xx oo 
 
0,1x1 
 
hxx o1 
 
25,01x1 
 
25,1x1 
 
h2xx o2  )25,0(21x 2 
 
50,1x1 
 
h3xx o3 
 
)25,0(31x3 
 
75,1x1 
 
h4xx o4  )25,0(41x 4 
 
00,2x1 
 
 
Preparando tabela: 
 
Ponto x log(x) 
xo 1,00 0,0000 
x1 1,25 0,0969 
x2 1,50 0,1761 
x3 1,75 0,2430 
x4 2,00 0,3010 
 
Logo:  
 )0,2(log)75,1(log4)5,1(log2)25,1(log4)(1,0log
3
h
dx (x)ogl 1010101010
4x
ox
10 
 
 
 3010,0)2430,0(4)1761,0(2)0969,0(40
3
25,0
dx (x)ogl
4x
ox
10 
 
 
16775,0dx (x)ogl
2
1
10 
 
 
 
Comparando com a solução analítica: 
 x)xln(x)e(logdx (x)ogl 1010 
 logo: 
    1)1ln(12-2ln(2))e(logdx (x)ogl 10
2
1
10 
 
 
16777,0dx (x)ogl
2
1
10 
 
 
Erro em relação à fórmula de 3 pontos: 
16777,0
16757,016777,0
(%)Erro


 
%12,0(%)Erro 
 
 
Erro em relação à fórmula de 5 pontos: 
16777,0
16775,016777,0
(%)Erro


 
%009,0(%)Erro 
 
 
 
 
 
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Cálculo de Reatores 2 –UNAERP - Prof. Murilo D.M. Innocentini 
2) Determine pela regra de Simpson de 5 pontos o valor da integral da função: 
)1x(x
1
)x(f


, para x entre 10 e 2. Compare com a solução analítica. 
 
Resolução: 
 
 
2
10
x
x
dx
)1x(x
1
dx)x(f
4
o
 
 
- Pela Regra de Simpson de 5 pontos: 
 






 1)-(xx
1
 
1)-(xx
1
4 
1)-(xx
1
2 
1)-(xx
1
4 
1)-(xx
1
3
h
dx 
1)-x(x
1
44332211oo
x
x
4
o
 
4
xx
h o4


 
4
102
h


 h = - 2,0 
 
Logo: 
 
h0xx oo 
 
10x1 
 
hxx o1 
 
210x1 
 
0,8x1 
 
h2xx o2  )0,2(210x 2 
 
0,6x 2 
 
h3xx o3 
 
)0,2(310x3 
 
0,4x3 
 
h4xx o4  )0,2(410x 4 
 
0,2x 4 
 
 
Preparando tabela: 
 
Ponto x )1x(x
1

 
xo 10,0 0,01111 
x1 8,0 0,01786 
x2 6,0 0,03333 
x3 4,0 0,08333 
x4 2,0 0,50000 
 
Logo: 
 
  5,0 )08333,0(4 )03333,0(2)01786,0(401111,0
3
2
dx 
1)-x(x
12
10



 
 
 
65503,0dx 
1)-x(x
12
10

 
 
 
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Cálculo de Reatores 2 –UNAERP - Prof. Murilo D.M. Innocentini 
Soluçãoanalítica: 
 







 1x
x
lndx 
1)-x(x
1
 














 110
10
ln
12
2
lndx 
1)-x(x
12
10
 
 
 
58779,0dx 
1)-x(x
12
10

  Erro = 11,4% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo de Reatores 2 –UNAERP - Prof. Murilo D.M. Innocentini 
 
Lista de exercícios 
 
1) Determine o tempo de residência em um reator de fluxo pistonado (PFR) para as reações 
químicas e condições operacionais apresentadas abaixo. Sempre que possível, compare com a 
solução analítica. 
 
a) reação: A  B, com
3
A3A Ck)r( 
, k3 = 0.5 L
2.mol-2min-1, CAo = 2 M e xA = 60%. 
 
b) reação: A + B  C, com 
BA2A CCk)r( 
, com k2 = 1.0 L
2.mol-1min-1, CAo = 1 M, CBo = 
3 M e xA = 70%. 
 
c) reação: A + 2B  C, com 
2
BA3A CCk)r( 
, com k3 = 0.1 L
2.mol-2min-1, CAo = 2 M, CBo 
= 5M e xB = 50%. 
 
d) reação: A + B  C + D, com 
DCiBAdA CCkCCk)r( 
, com kd = 0.26 L.mol
-1min-1, 
 ki =0.13 L.mol
-1min-1, CAo = 1 M, CBo = 1 M, CCo = CDo= 0 e xA = 40%. 
 
2) Considere a reação irreversível elementar em fase líquida 2A + B  C, com constante de 
velocidade de 0,08 L2.mol-2.min-1. Dimensione o volume de um reator de fluxo pistonado para 
produzir 1000 L/min do produto C em concentração de 2 M. Considere que as concentrações 
dos reagentes A e B na alimentação sejam respectivamente de 5 M e 3 M. Utilize o método de 
Simpson de 5 pontos. 
 
3) Uma enzima catalisa a fermentação do reagente A no produto R conforme a reação abaixo: 
A R 
A
A
A
C 0,5 1
C 0,1
 )-r(


 
minlitro
mol
 

 
(a) Encontre o volume necessário do reator de fluxo pistonado para converter 95% do 
reagente, considerando uma corrente de alimentação de 25 L/min em fase líquida contendo 
enzima e o reagente A em concentração de 2 mol/L. 
 
4) Um reator de fluxo pistonado (2 m3) processa uma alimentação aquosa (100 L/min), 
contendo o reagente A (CAo = 0,1 M). A reação é reversível e representada por: 
 A  R para a qual: 
 C 0,01 - C 0,04 )-r( RAA 
 
minlitro
mol
 

 
Qual a conversão na saída do reator? 
 
5) Uma reação reversível de ordem 3, tipo A + 3B  3C + D tem sua equação de velocidade 
representada a 45ºC por: (-rA) = kdCA
2CB – kiCCCD2, com kd = 0.3 L2.mol-2.min-1 e ki = 0.05 
L2.mol-2.min-1. Qual deverá ser o tempo de residência em um reator PFR, alimentado com 
reagentes A e B puros, em proporção estequiométrica, CAo = 1 M e CBo = 3 M, para que a 
conversão do reagente A atinja 45%? 
 
 Enzima