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1 Cálculo de Reatores 2 –UNAERP - Prof. Murilo D.M. Innocentini UNIVERSIDADE DE RIBEIRÃO PRETO CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA CINÉTICA QUÍMICA APOSTILA 1 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA - REGRA DE SIMPSON APLICADA A REATORES QUÍMICOS f(x) x f(xo) f(x1) f(x2) f(xn-2) f(xn-1) f(xn) xo x1 x2 xnxn-2 xn-1. . . . A1 A2 An-1 AnAn-2A3 n1n21 AAAAáreaIntegral f(x) x f(xo) f(x1) f(x2) f(xn-2) f(xn-1) f(xn) xo x1 x2 xnxn-2 xn-1. . . . A1 A2 An-1 AnAn-2A3 f(x) x f(xo) f(x1) f(x2) f(xn-2) f(xn-1) f(xn) xo x1 x2 xnxn-2 xn-1. . . . A1 A2 An-1 AnAn-2A3 n1n21 AAAAáreaIntegral Prof. Dr. Murilo Daniel de Mello Innocentini Curso de Engenharia Química Universidade de Ribeirão Preto – UNAERP Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/5681181471077426 RIBEIRÃO PRETO - SP AGOSTO - 2015 2 Cálculo de Reatores 2 –UNAERP - Prof. Murilo D.M. Innocentini 1. Introdução Existem diversas situações na Engenharia Química nas quais a resolução de um problema passa pelo cálculo da integral de uma função complexa, cuja resposta algébrica não pode ser obtida facilmente. É comum também o caso em que uma curva é obtida experimentalmente em laboratório, e, embora não se conheça a equação geradora, deseja-se obter a área limitada pela curva e pelo eixo x. Nesses casos, uma das alternativas é a utilização de métodos numéricos para o cálculo da integral. Dentre os métodos para a resolução numérica de uma integral, o método de Simpson tem a vantagem de ser simples e de dar resultados mais precisos do que outros métodos. O princípio do método consiste em dividir o intervalo de x, no qual se quer fazer a integração, em um certo número de intervalos, e, em cada um deles, assimilar a curva real a uma parábola do segundo ou do terceiro grau, da qual serão obtidos os coeficientes. Calcula-se, assim, facilmente a área compreendida entre cada um desses intervalos e o eixo x. A soma das áreas individuais de cada trecho dará a área total (integral) da função desejada. Embora as demonstrações não sejam realizadas aqui, sugere-se a leitura de material didático específico para a compreensão do método (livros de cálculo numérico, Thomas, Cálculo, p. 415; Manual do Engenheiro Globo, volume 1, tomo 2, p.83). 2. Regra Geral de Simpson f(x) x f(xo) f(x1) f(x2) f(xn-2) f(xn-1) f(xn) xo x1 x2 xnxn-2 xn-1. . . . A1 A2 An-1 AnAn-2A3 n1n21 AAAAáreaIntegral f(x) x f(xo) f(x1) f(x2) f(xn-2) f(xn-1) f(xn) xo x1 x2 xnxn-2 xn-1. . . . A1 A2 An-1 AnAn-2A3 f(x) x f(xo) f(x1) f(x2) f(xn-2) f(xn-1) f(xn) xo x1 x2 xnxn-2 xn-1. . . . A1 A2 An-1 AnAn-2A3 n1n21 AAAAáreaIntegral )x(f)x(f4)x(f2)x(f2)x(f4)f(x 3 h dx )x(fÁrea n1n2n21o x x n o sendo: n xx h on ; ihxx oi para i = 1 a n 3 Cálculo de Reatores 2 –UNAERP - Prof. Murilo D.M. Innocentini 3. Regra de Simpson de 3 pontos f(x) x f(xo) f(x1) f(x2) xo x1 x2 A1 A2 21 AAáreaIntegral f(x) x f(xo) f(x1) f(x2) xo x1 x2 A1 A2 21 AAáreaIntegral 21 AAáreaIntegral )x(f)x(f4)f(x 3 h dx )x(fÁrea 21o x x 2 o sendo: 2 xx h o2 ; hxx o1 ; h2xx o2 4. Regra de Simpson de 5 pontos f(x) x f(xo) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) xo x1 x2 x3 x4 A1 A2 A4A3 4321 AAAAáreaIntegral f(x) x f(xo) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) xo x1 x2 x3 x4 A1 A2 A4A3 4321 AAAAáreaIntegral )x(f)x(f4)x(f2)x(f4)f(x 3 h dx )x(fÁrea 4321o x x 4 o sendo: 4 xx h o4 ; hxx o1 ; h2xx o2 ; h3xx o3 ; h4xx o4 4 Cálculo de Reatores 2 –UNAERP - Prof. Murilo D.M. Innocentini 5. Exemplos resolvidos 1) Calcule a integral da função )x(log)x(f 10 para x entre 1 e 2, usando a Regra de Simpson (3 e 5 pontos). Compare com a solução analítica. Resolução: dx )x(logdx )x(f 2 1 10 x x n o - Pela Regra de Simpson de 3 pontos: )x(log)x(log4)(xlog 3 h dx (x)ogl 210110o10 x x 10 n o 2 xx h o2 2 12 h h = 0,5 Logo: h0xx oo 0,1x1 hxx o1 5,01x1 5,1x1 h2xx o2 )5,0(21x2 2x1 Preparando tabela: Ponto x log(x) xo 1,0 0,0000 x1 1,5 0,1761 x2 2,0 0,3010 Logo: )0,2(log)5,1(log4)(1,0log 3 5,0 dx (x)ogl 101010 2x ox 10 3010,0)1761,0(40 3 5,0 dx (x)ogl 2x ox 10 16757,0dx (x)ogl 2 1 10 - Pela Regra de Simpson de 5 pontos: )x(log)x(log4)x(log2)x(log4)(xlog 3 h dx (x)ogl 410310210110o10 x x 10 4 o 5 Cálculo de Reatores 2 –UNAERP - Prof. Murilo D.M. Innocentini 4 xx h o4 4 12 h h = 0,25 Logo: h0xx oo 0,1x1 hxx o1 25,01x1 25,1x1 h2xx o2 )25,0(21x 2 50,1x1 h3xx o3 )25,0(31x3 75,1x1 h4xx o4 )25,0(41x 4 00,2x1 Preparando tabela: Ponto x log(x) xo 1,00 0,0000 x1 1,25 0,0969 x2 1,50 0,1761 x3 1,75 0,2430 x4 2,00 0,3010 Logo: )0,2(log)75,1(log4)5,1(log2)25,1(log4)(1,0log 3 h dx (x)ogl 1010101010 4x ox 10 3010,0)2430,0(4)1761,0(2)0969,0(40 3 25,0 dx (x)ogl 4x ox 10 16775,0dx (x)ogl 2 1 10 Comparando com a solução analítica: x)xln(x)e(logdx (x)ogl 1010 logo: 1)1ln(12-2ln(2))e(logdx (x)ogl 10 2 1 10 16777,0dx (x)ogl 2 1 10 Erro em relação à fórmula de 3 pontos: 16777,0 16757,016777,0 (%)Erro %12,0(%)Erro Erro em relação à fórmula de 5 pontos: 16777,0 16775,016777,0 (%)Erro %009,0(%)Erro 6 Cálculo de Reatores 2 –UNAERP - Prof. Murilo D.M. Innocentini 2) Determine pela regra de Simpson de 5 pontos o valor da integral da função: )1x(x 1 )x(f , para x entre 10 e 2. Compare com a solução analítica. Resolução: 2 10 x x dx )1x(x 1 dx)x(f 4 o - Pela Regra de Simpson de 5 pontos: 1)-(xx 1 1)-(xx 1 4 1)-(xx 1 2 1)-(xx 1 4 1)-(xx 1 3 h dx 1)-x(x 1 44332211oo x x 4 o 4 xx h o4 4 102 h h = - 2,0 Logo: h0xx oo 10x1 hxx o1 210x1 0,8x1 h2xx o2 )0,2(210x 2 0,6x 2 h3xx o3 )0,2(310x3 0,4x3 h4xx o4 )0,2(410x 4 0,2x 4 Preparando tabela: Ponto x )1x(x 1 xo 10,0 0,01111 x1 8,0 0,01786 x2 6,0 0,03333 x3 4,0 0,08333 x4 2,0 0,50000 Logo: 5,0 )08333,0(4 )03333,0(2)01786,0(401111,0 3 2 dx 1)-x(x 12 10 65503,0dx 1)-x(x 12 10 7 Cálculo de Reatores 2 –UNAERP - Prof. Murilo D.M. Innocentini Soluçãoanalítica: 1x x lndx 1)-x(x 1 110 10 ln 12 2 lndx 1)-x(x 12 10 58779,0dx 1)-x(x 12 10 Erro = 11,4% 8 Cálculo de Reatores 2 –UNAERP - Prof. Murilo D.M. Innocentini Lista de exercícios 1) Determine o tempo de residência em um reator de fluxo pistonado (PFR) para as reações químicas e condições operacionais apresentadas abaixo. Sempre que possível, compare com a solução analítica. a) reação: A B, com 3 A3A Ck)r( , k3 = 0.5 L 2.mol-2min-1, CAo = 2 M e xA = 60%. b) reação: A + B C, com BA2A CCk)r( , com k2 = 1.0 L 2.mol-1min-1, CAo = 1 M, CBo = 3 M e xA = 70%. c) reação: A + 2B C, com 2 BA3A CCk)r( , com k3 = 0.1 L 2.mol-2min-1, CAo = 2 M, CBo = 5M e xB = 50%. d) reação: A + B C + D, com DCiBAdA CCkCCk)r( , com kd = 0.26 L.mol -1min-1, ki =0.13 L.mol -1min-1, CAo = 1 M, CBo = 1 M, CCo = CDo= 0 e xA = 40%. 2) Considere a reação irreversível elementar em fase líquida 2A + B C, com constante de velocidade de 0,08 L2.mol-2.min-1. Dimensione o volume de um reator de fluxo pistonado para produzir 1000 L/min do produto C em concentração de 2 M. Considere que as concentrações dos reagentes A e B na alimentação sejam respectivamente de 5 M e 3 M. Utilize o método de Simpson de 5 pontos. 3) Uma enzima catalisa a fermentação do reagente A no produto R conforme a reação abaixo: A R A A A C 0,5 1 C 0,1 )-r( minlitro mol (a) Encontre o volume necessário do reator de fluxo pistonado para converter 95% do reagente, considerando uma corrente de alimentação de 25 L/min em fase líquida contendo enzima e o reagente A em concentração de 2 mol/L. 4) Um reator de fluxo pistonado (2 m3) processa uma alimentação aquosa (100 L/min), contendo o reagente A (CAo = 0,1 M). A reação é reversível e representada por: A R para a qual: C 0,01 - C 0,04 )-r( RAA minlitro mol Qual a conversão na saída do reator? 5) Uma reação reversível de ordem 3, tipo A + 3B 3C + D tem sua equação de velocidade representada a 45ºC por: (-rA) = kdCA 2CB – kiCCCD2, com kd = 0.3 L2.mol-2.min-1 e ki = 0.05 L2.mol-2.min-1. Qual deverá ser o tempo de residência em um reator PFR, alimentado com reagentes A e B puros, em proporção estequiométrica, CAo = 1 M e CBo = 3 M, para que a conversão do reagente A atinja 45%? Enzima
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