N2 CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL

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Uma função,  definida por várias sentenças pode ser derivada, respeitando-se a limitação do
domínio para cada sentença e atendendo a condição para que a derivada de uma função exista num 
ponto  : as derivadas laterais a direita,  , e a derivada lateral à esquerda,  , existem e 
são iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda função contínua num ponto é derivável, no entanto, foi 
comprovado por teorema que toda função derivável num ponto é contínua. Considere a função f(x) a 
seguir, definida por várias sentenças:
FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s).
 
I.  (  ) A função    é derivável em  .
II. (  ) A derivada de  existe, pois as derivadas laterais são:  .
III. (  ) A função   não é derivável em  porque   não é contínua em  .
IV. (  ) A função   é derivável em  , porque   é contínua em  .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Para determinarmos o seno de um ângulo qualquer, devemos inicialmente localizá-lo no círculo 
trigonométrico, e quando este ângulo não está localizado no primeiro quadrante, devemos fazer o seu 
rebatimento ao primeiro quadrante. Assim, encontramos o seno do ângulo no primeiro quadrante, em 
valor absoluto e associamos o sinal que o seno assume no quadrante de origem. Nesse contexto, 
determine:
 O seno de 450º, somado com o seno de 1620º, somado com o  e somado com . O 
valor encontrado é igual a:
Para determinarmos o seno de um ângulo qualquer, devemos inicialmente localizá-lo no círculo 
trigonométrico, e quando este ângulo não está localizado no primeiro quadrante, devemos fazer o seu 
rebatimento ao primeiro quadrante. Assim, encontramos o seno do ângulo no primeiro quadrante, em 
valor absoluto e associamos o sinal que o seno assume no quadrante de origem. Nesse contexto, 
determine:
 O seno de 450º, somado com o seno de 1620º, somado com o  e somado com . O 
valor encontrado é igual a:
Para derivar funções, é necessário saber como derivar as funções elementares, que são tabeladas, e  
também as regras operatórias: soma, produto e quociente. Para derivar a função  , é 
necessário conhecer a derivada da função exponencial, logarítmica e a regra do quociente. Nesse 
sentido, assinale a alternativa que determine o valor de 
Para resolver limites que apresentam indeterminação do tipo 0/0, recomenda-se a utilização da regra 
de L’Hospital, que facilita bastante os cálculos. Para tanto, basta derivar o numerador e denominador 
separadamente, e aplicar a tendência do limite para verificar se resolveu a indeterminação para obter 
um valor real.
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido ao calcular  .
O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de um código com 4 
dígitos. O professor disponibilizou o código da seguinte forma: 1º dígito:  , em 
que  , 2º dígito:  , em que  , 3º dígito:  , em que  , 
4º dígito:  , em que   Para descobrir qual é o código, encontre o valor das 
derivadas.
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do estudante.
Observando o tráfego numa estrada foi possível modelar a função  , que representa a 
taxa de fluxo de carros por hora, dada por  , em que v é a velocidade de tráfego em 
quilômetros por hora. Nesse contexto, encontre a velocidade que vai maximizar a taxa de fluxo na 
estrada. 
 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A velocidade que maximiza a taxa de fluxo na estrada é igual a 40 km/h,
Pois:
II. para   ocorre o único ponto de máximo local da função  .
 
A seguir, está correto o que se afirma em:
Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras operatórias: deriva da 
soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou mais funções, derivada do quociente 
entre duas funções, derivada da cadeia, para derivar as funções constantes. Neste contexto, associe 
tais regras com suas fórmulas:
 
1 - Derivada do Produto.
2 - Derivada do Quociente.
3 - Derivada da Soma.
4 - Derivada da Cadeia.
 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
 
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a sequência
correta.
Para usar a regra de L’Hospital diretamente, é necessário que a indeterminação seja do tipo  ou  . 
Quando isso não ocorre, devemos aplicar artifícios matemáticos para preparar a função e obter as 
indeterminações adequadas para aplicação da regra de L’Hospital.
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido ao 
calcular  .
 
As funções trigonométricas possuem algumas características especiais. Uma delas é o fato de serem 
cíclicas, efeito em que são perceptíveis repetições de partes do gráfico em cada intervalo específico. 
Nesse caso, chamamos de período o intervalo em x, tal que os valores de y se repetem. Além disso, 
cada função trigonométrica tem seus específicos domínio e conjunto imagem.
A figura a seguir, mostra o gráfico de uma função trigonométrica.
 
Fonte: elaborada pela autora.
 
Através da análise gráfica, avalie as seguintes afirmativas:
1. O gráfico apresentado é da função 
2. O domínio dessa função é o conjunto dos números reais.
3. A imagem da função são os valores de x pertencentes ao intervalo 
4. O período da função é igual a  .
É correto o que se afirma em:
Considere o gráfico da função  , mostrado na figura abaixo, que servirá de suporte para
resolução da questão. Verifique a região sombreada no gráfico e determine os pontos de interseção do
gráfico da função com o eixo x. Avalie também de que forma é possível calcular a área limitada por 
integração.
 
Figura 4.3 - Região limitada pela função  e o eixo x
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
Considerando o contexto apresentado, sobre cálculo de área e integrais definidas, analise as 
afirmativas a seguir.
 
I. A integral definida  .
II. A área hachurada no gráfico abaixo do eixo x é igual a 
III. Os pontos de interseção da curva  e o eixo x são  .
IV. A área limitada pela curva   e o eixo x ao 1º quadrante é igual a  u.a.
 
É correto o que se afirma em:
II e IV