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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Me´todos Determin´ısticos II 1o Semestre de 2013 Gabarito da 2a Aula de Preparac¸a˜o para a AP3 Questa˜o 1: Encontre a derivada a) f(x) = x5 − 5x3 + 10x− 15 b) f(z) = e−z2 ln(z − 1) c) f(t) = (t 4−5t2)200 t4+16 Soluc¸a˜o: a) Se f(x) = x5 − 5x3 + 10x− 15 enta˜o f ′(x) = 5x4 − 15x2 + 10. b) Se f(z) = e−z2 ln(z − 1) enta˜o f ′(z) = −2ze−z2 ln(z − 1) + e−z 2 z−1 . c) Se f(t) = (t 4−5t2)200 t4+16 enta˜o f ′(t) = 400t399 ( t2 − 5)199 (2t2 − 5) t4 + 16 −4t 403 ( t2 − 5)200 (t4 + 16)2 = 200(t4 − 5t2)199(4t3 − 10t)(t4 + 16)− (t4 − 5t2)2004t3 (t4 + 16)2 . Questa˜o 2: Calcule a) ∫ x10 + 1 x4 + 3 √ x dx b) ∫ 7 · (7x+ 5)8 dx c) ∫ 2e2x dx d) ∫ x x2+1 dx Soluc¸a˜o: a) ∫ x10 + 1 x4 + 3 √ x dx = x 11 11 + x−3 −3 + x3/4 4/3 +K. b) Chamando u = 7x+5⇒ du = 7 dx e enta˜o ∫ 7 · (7x+ 5)8 dx = ∫ u8 du. Portanto, ∫ 7 · (7x+ 5)8 dx = (7x+5)9 9 +K. c) Chamando u = 2x⇒ du = 2dx e temos ∫ 2e2x dx = ∫ eu du e da´ı ∫ 2e2x dx = e2x +K. d) Chamando u = x2 + 1 ⇒ du = 2x dx e ∫ x x2+1 dx = 12 ∫ du u du = 1 2 ln(u). Portanto, ∫ x x2+1 dx = 1 2 ln(x 2 + 1) +K. Questa˜o 3: Calcule a a´rea entre o gra´fico da func¸a˜o y = 1− x2 e o eixo dos x. Soluc¸a˜o: Vamos iniciar observando que y = 1 − x2 = (1 − x)(1 + x), logo e´ uma equac¸a˜o de uma para´bola com a boca voltada para baixo com ra´ızes x = −1 e x = 1.‘Portanto calcular a a´rea entre o ´gra´fico dessa func¸a˜o e o eixo dos x, corresponde a calcular ∫ 1 −1 1− x2 dx. Pontanto∫ 1 −1 1− x2 dx = [ x− x 3 3 ]1 −1 = ( 1− 1 3 ) − ( 1− −1 3 ) = 1− 2 4 = 4 3 uni2. Questa˜o 4: Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = x2 + 2 x2 em x = 1. 1 Soluc¸a˜o: A equac¸a˜o da reta tangente em x = 1 e´ y − f(1) = f ′(1)(x− 1), onde y = f(x). Observe que f(1) = 3 e f ′(x) = 2x− 4 x3 segue que f ′(1) = 2− 4 = −2 e a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = f(x) fica y − 3 = −2(x− 1). Questa˜o 5: Considerando que a func¸a˜o que da´ a receita na venda de um tipo de toalha de uma certa indu´stria teˆxtil e´ expressa por R(q) = −0, 001q2+10q, onde 0 ≤ q ≤ 10000, suponha que o custo para a produc¸a˜o de uma quantidade q deste mesmo tipo de toalha seja C(q) = 2q + 12000 e que a func¸a˜o lucro seja dada pela diferenc¸a entre a receita e o custo, determine: a. A func¸a˜o Lucro desta indu´stria para este tipo de toalha; b. A derivada primeira da func¸a˜o lucro obtida no item a.; c. A derivada segunda da func¸a˜o lucro obtida no item a.; d. Os pontos cr´ıticos e os intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o Lucro, fazendo o estudo do sinal da primeira derivada. e. Os intervalos em que o gra´fico tem concavidade voltada para cima e os intervalos em que o gra´fico tem concavidade voltada para baixo, fazendo o estudo da derivada segunda. f. A quantidade que devera´ ser produzida mensalmente para se ter o lucro ma´ximo. g. O lucro ma´ximo. Soluc¸a˜o: a) L(q) = R(q)− C(q) = −0, 001q2 + 10q − (2q + 12000) = −0, 001q2 + 8q − 12000. b) L(q) = −0, 001q2 + 8q − 12000⇒ L′(q) = −0, 002q + 8. c) L′(q) = −0, 0002q + 8⇒ L′′(q) = −0, 002. d) Os pontos cr´ıticos sa˜o definidos pelos pontos em que a 1a derivada se anula ou na˜o existe. Como a func¸a˜o derivada e´ uma func¸a˜o polinomial, seu domı´nio e´ os reais. Portanto, os pontos cr´ıticos sera˜o determinados pelos pontos em que a derivada se anula. Assim, L′(q) = −0, 002q + 8 = 0, q = 80,002 = 4000 que esta´ no intervalo de definic¸a˜o da func¸a˜o Lucro (ja´ que a receita esta´ definida para 0 ≤ q ≤ 10000). Logo, o ponto cr´ıticos e´ o que tem abscissa 4000. Podemos analisar o sinal da 1a derivada, levando em conta que e´ uma func¸a˜o linear e, por isso, ja´ sabemos o seu comportamento, verificamos que a func¸a˜o lucro e´ positiva para 0 ≤ q < 4000 e que e´ negativa para 4000 < q ≤ 10000. Assim, temos que L′(q) > 0 se 0 ≤ q < 4000, portanto, L e´ crescente neste intervalo, e L′(q) < 0 se 4000 < q ≤ 10000, portanto L e´ decrescente neste intervalo. Assim, (4000, L(4000)) e´ um ponto de ma´ximo local e) Para analisar a concavidade, e´ necessa´rio analisar o sinal da derivada segunda. Como L′′(q) = −0, 002, teremos que a derivada segunda sera´ negativa qualquer que seja o valor de q. Portanto, o gra´fico tera´ sempre a concavidade voltada para baixo. f) O lucro ma´ximo sera´ obtido ao se produzir 4000 unidades. g) O lucro ma´ximo sera´ L(4000) = −0, 001 · (4000)2 − 8 · 4000− 12000 = 4000 reais. 2
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