_ 02_MecMat_CENTROIDE

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MECÂNICA DOS 
MATERIAIS
Aula 2
▪ Centro de massa
▪ Centroide
▪ Centroide de figuras compostas
Centro de gravidade, centro de massa e centroide
Centro de gravidade (G) – é o ponto no qual se localiza o peso resultante de um 
sistema de pontos materiais.
Princípio dos momentos:
𝑀𝑥 = 𝑑𝑊. 𝑦
O momento da resultante W em relação ao eixo x é igual a
soma dos momentos, em relação ao mesmo eixo, das forças
gravitacionais dW atuando em todas as partículas do corpo,
tratadas como elementos infinitesimais.
∑𝑀𝑥 = න𝑦𝑑𝑊 Wത𝑦 = න𝑦𝑑𝑊
𝑊 = න𝑑𝑊 ∴ ഥ𝑦 =
𝑦𝑑𝑊׬
𝑑𝑊׬
CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA E CENTRÓIDE
Coordenadas do Centro de gravidade
ҧ𝑥 =
׬ 𝑥 𝑑𝑊
𝑑𝑊׬
ഥ𝒚 =
𝑦׬ 𝑑𝑊
𝑑𝑊׬
ത𝒛 =
𝑧׬ 𝑑𝑊
𝑑𝑊׬
Centro de massa (𝐶𝑚) – a localização do centro de massa coincide com 
a localização do centro de gravidade. Substitui-se: 𝑑𝑊 = 𝑔 𝑑𝑚
ҧ𝑥 =
𝑥׬ 𝑑𝑚
𝑑𝑚׬
ഥ𝒚 =
𝑦׬ 𝑑𝑚
𝑑𝑚׬
ത𝒛 =
׬ 𝑧 𝑑𝑚
𝑑𝑚׬
Coordenadas do Centro de massa
CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA E CENTRÓIDE
Centroide – é um ponto que define o centro geométrico de um corpo,
esse ponto coincide com o centro de massa somente se o material que
compõe o corpo for uniforme e homogêneo.
O cálculo do centroide cai em três categorias distintas dependendo se
podemos modelar a forma do corpo envolvido como uma linha, uma
área ou um volume.
Quando a densidade de um corpo é um uniforme por todo o corpo, as
expressões que representam o centro de massa definem uma
propriedade puramente geométrica do corpo a qual chamamos de
centroide.
CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA E CENTRÓIDE
ҧ𝑥 =
𝑥𝑑𝑉׬
𝑑𝑉׬
ഥ𝒚 =
𝑦׬ 𝑑𝑉
𝑑𝑉׬
ത𝒛 =
׬ 𝑧 𝑑𝑉
𝑑𝑉׬
ҧ𝑥 =
𝑥׬ 𝑑𝐴
𝑑𝐴׬
ഥ𝒚 =
𝑦׬ 𝑑𝐴
𝑑𝐴׬
Volume
Área
Linha ҧ𝑥 =
׬ 𝑥 𝑑𝐿
𝑑𝐿׬
ഥ𝒚 =
𝑦׬ 𝑑𝐿
𝑑𝐿׬
Sabendo que e que 𝜌 é constante para materiais homogêneos, temos:𝑑𝑚 = 𝜌 𝑑𝑉
ҧ𝑥 =
𝑥׬ 𝑑𝑚
𝑑𝑚׬
ഥ𝒚 =
𝑦׬ 𝑑𝑚
𝑑𝑚׬
ത𝒛 =
׬ 𝑧 𝑑𝑚
𝑑𝑚׬
Pontos importantes:
• o centroide representa o centro geométrico de um corpo. Esse ponto coincide com
o centro de massa somente se o material que compõe o corpo for uniforme e
homogêneo.
• as fórmulas utilizadas para a determinação das coordenadas do centro de massa
representam o equilíbrio entre a soma dos momentos de todas as partes do sistema
e o momento da resultante do sistema.
• em alguns casos o centroide está localizado em um ponto fora do objeto analisado.
• o centroide estará sobre qualquer eixo de simetria, se houver simetria no corpo.
Pontos importantes:
CORPOS COMPOSTOS E FIGURAS COMPOSTAS
Um corpo composto consiste de uma série de corpos de forma mais simples,
conectados. Tal corpo pode ser dividido em suas partes componentes e desde que a
massa e o centro de massa de cada uma dessas partes sejam conhecidos. Pode-se
determinar as coordenadas ҧ𝑥, ത𝑦 𝑒 ҧ𝑧 do centro de massa do corpo composto.
Princípio dos momentos:
𝑚. ҧ𝑥 = 𝑚1. 𝑥1 +𝑚2. 𝑥2 +𝑚3. 𝑥3
• massa das partes - 𝑚1, 𝑚2 𝑒 𝑚3
• coordenadas dos centros de massa - 𝑥1, 𝑥2 𝑒 𝑥3
• massa do corpo - 𝑚 = 𝑚1 +𝑚2 +𝑚3
• coordenada 𝑥 do centro de massa do corpo - ҧ𝑥
ҧ𝑥 =
∑𝑚𝑖. 𝑥𝑖
∑𝑚𝑖
ഥ𝒚 =
∑𝑚𝑖. 𝑦𝑖
∑𝑚𝑖
ത𝒛 =
∑𝑚𝑖. 𝑧𝑖
∑𝑚𝑖
ҧ𝑥 =
∑𝐴𝑖. 𝑥𝑖
∑𝐴𝑖
ഥ𝒚 =
∑𝐴𝑖. 𝑦𝑖
∑𝐴𝑖
Generalizando para um corpo com um número qualquer de partes, temos:
Centroide de área:
Geometrias conhecidas:
1)
2)
3) Determine as coordenadas ҧ𝑥 e ത𝑦 do centroide da área sombreada.
ҧ𝑥 = 4,02𝑏 𝑒 ത𝑦 = 1,59𝑏MERIAN & KRAIGE, 6ª ed, exercício 5.53
4) Determine as coordenadas ҧ𝑥 e ത𝑦 do centroide da área sombreada .
MERIAN & KRAIGE, 6ª ed, exercício 5.50
5)
6) Determine as coordenadas ҧ𝑥 e ത𝑦 do centroide da área sombreada .
MERIAN & KRAIGE, 6ª ed, exercício 5.46
7) Determine as coordenadas ҧ𝑥 e ത𝑦 do centroide da área sombreada .
MERIAN & KRAIGE, 6ª ed, exercício 5.46
a) b) 
8) Determine a distância ഥ𝐻 desde a parte de baixo da base até o centro de massa do
suporte fundido.
MERIAN & KRAIGE, 6ª ed, exercício 5.66
9) Determine as coordenadas do centroide desse volume composto.
MERIAN & KRAIGE, 6ª ed, exercício 5.67
ҧ𝑥 = 38,5 𝑚𝑚; ത𝑦 = 13,52 𝑚𝑚 ; ҧ𝑧 = 0