_ 04_MecMat_FORÇAS_MOMENTOS

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▪ Vetores força
▪ Regra do paralelogramo
▪ Componentes retangulares de um vetor
▪ Momento de uma força
▪ Força e Momento Resultante
MECÂNICA DOS 
MATERIAIS
Aula 4
Grandeza escalar - qualquer grandeza física completamente
caracterizada por um número real.
Grandeza vetorial - caracterizada pela dependência de três elementos
fundamentais, isto é, representa um ente matemático que possui
intensidade, direção e sentido.
Vetores de força
Classificação das grandezas vetoriais:
▪ Vetor livre – a ação não está restrita a uma única linha no espaço (ex.:
deslocamento)
▪ Vetor deslizante – vetor que age em uma única linha no espaço (ex.: força)
▪ Vetor ligado - vetor que ocupa uma posição particular no espaço, é aquele para o
qual um único ponto de aplicação é especificado (ex.: esforços internos)
O efeito de uma força não é alterado quando esta
é aplicada em diferentes pontos de um corpo,
desde que esta seja aplicada ao longo de sua linha
de ação (aplicação).
Princípio da transmissibilidade
Adição de vetores
Podemos obter a resultante da adição dos vetores A e B ou as
componentes de um vetor resultante utilizando a lei do paralelogramo.
∑𝑭 = 𝑭𝑹
Dado um triangulo ABC e seus ângulos internos α, β e γ:
Lei dos senos: “em todo triângulo, as medidas dos seus lados são proporcionais 
aos senos dos lados opostos”.
𝐴
𝑠𝑒𝑛𝛼
=
𝐵
𝑠𝑒𝑛𝛽
=
𝐶
𝑠𝑒𝑛𝛾
Lei dos cossenos: “no triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à 
soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das 
medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado”.
𝐶 = 𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝛾
EXERCÍCIOS:
1) Determine a intensidade da força resultante Ԧ𝐹𝑅 = Ԧ𝐹1 + Ԧ𝐹2 e sua 
direção, medida no sentido anti-horário, a partir do eixo 𝑥 positivo.
HIBBELER - ESTÁTICA 10ª ed. 2.1
2) A caminhonete deve ser rebocada usando-se duas cordas. Determine a
intensidade das forças Ԧ𝐹𝐴 e Ԧ𝐹𝐵 que atuam em cada corda a fim de
produzir uma força resultante de 950 𝑁, orientada ao longo do eixo 𝑥
positivo. Considere 𝜃 = 50°.
HIBBELER - ESTÁTICA 10ª ed. 2.20
3) Determine o ângulo 𝜃 necessário para acoplar o elemento A à chapa,
de modo que a força resultante Ԧ𝐹𝐴 e Ԧ𝐹𝐵 seja orientada horizontalmente
para a direita.Além disso, informe qual é a intensidade da força resultante.
HIBBELER - ESTÁTICA 10ª ed. 2.8
4) Duas forças são aplicadas na
extremidade de um olhal a fim de
remover a estaca. Determine o ângulo
𝜃 (0° ≤ 𝜃 ≤ 90°) e a intensidade da
força Ԧ𝐹, de modo que a força
resultante que atua sobre a estaca
seja orientada verticalmente para
cima e tenha intensidade de 750𝑁.
HIBBELER - ESTÁTICA 10ª ed. 2.18
Quando um vetor R é expresso segundo a soma de dois vetores A e B, cada um dos
vetores A e B são chamados de componentes de R, portanto, um vetor resultante
pode ser decomposto em duas componentes a partir da aplicação da regra do
paralelogramo. Um exemplo de decomposição vetorial pode ser observado na figura
a seguir, onde, conhecendo-se as linhas de ação de cada componente, o vetor R pode
ser decomposto formando os vetores A e B.
Vetor resultante
Decomposição de um vetor
Adição de um sistema de forças
Quando um problema envolve a adição de mais de duas forças, deve-se
aplicar de modo sucessivo a regra do paralelogramo de modo a se obter a
força resultante, o que, normalmente requer cálculos extensos de geometria
e trigonometria para a determinação da resultante e sua direção.
Adição de um sistema de forças coplanares
A resultante de várias forças coplanares pode ser facilmente determinada
se estabelecermos um sistema de coordenadas x e y e as forças forem
decompostas ao longo do eixos (componentes retangulares). Essa
metodologia torna possível a adição algébrica das componentes
colineares.
Decomposição de forças 
Sistema adotado usualmente:
𝑥 – Positivo para a direita.
𝑦 – Positivo para cima.
No plano, utilizam-se os versores Ԧ𝑖 e Ԧ𝑗
𝑭 = 𝑭𝒙Ԧ𝒊 + 𝑭𝒚Ԧ𝒋
Notação vetorial:
Redução de um sistema de forças a uma única força resultante
Ԧ𝐹2 = −𝐹2𝑥Ԧ𝑖 + 𝐹2𝑦 Ԧ𝑗Ԧ𝐹1 = +𝐹1𝑥Ԧ𝑖 + 𝐹1𝑦 Ԧ𝑗 Ԧ𝐹3 = + 𝐹3𝑥Ԧ𝑖 − 𝐹3𝑦 Ԧ𝑗
Ԧ𝐹𝑅 = 𝐹𝑅𝑥Ԧ𝑖 + 𝐹𝑅𝑦 Ԧ𝑗 = 𝐹1𝑥 − 𝐹2𝑥 + 𝐹3𝑥 Ԧ𝑖 + 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦 − 𝐹3𝑦 Ԧ𝑗
𝐹𝑅𝑥 = ∑𝐹𝑥 𝐹𝑅𝑦 = ∑𝐹𝑦
Módulo da força resultante
Direção da força resultante
F = 𝐹𝑥
2 + 𝐹𝑦
2
𝜃 = 𝑡𝑔−1
𝐹𝑦
𝐹𝑥
EXERCÍCIOS:
1) As forças Ԧ𝐹1, Ԧ𝐹2 𝑒 Ԧ𝐹3, todas atuando no ponto
𝐴, são especificadas de três modos diferentes.
Determine:
a) as componentes escalares em 𝑥 e em 𝑦 de
cada uma dessas forças;
b) a resultante das três forças;
c) a direção da força resultante em relação ao
eixo x positivo.
Adaptado de MERIAM & KRAIGE 6ªed. 
2) Determine a intensidade e a direção 𝜃 medida no sentido anti-horário a
partir do eixo 𝑥 positivo, da força resultante das três forças que atuam no
anel 𝐴.
Considere:𝐹1 = 500 𝑁 e 𝜃 = 20°
HIBBELER - ESTÁTICA 12ª ed. 2.40
3) Expresse cada uma das três forças que atuam sobre o suporte na forma
vetorial cartesiana com relação aos eixos 𝑥 e 𝑦. Determine a intensidade e
direção 𝜃 de Ԧ𝐹1, de modo que a força resultante seja direcionada ao longo
do eixo 𝑥’ positivo e tenha uma intensidade Ԧ𝐹𝑅 = 600 𝑁.
HIBBELER - ESTÁTICA 12ª ed. 2.58
4) Determine o ângulo 𝜃 e a intensidade de Ԧ𝐹𝐵 de modo que a
resultante das forças seja orientada ao longo do eixo 𝑦 positivo e
tenha intensidade de 1500𝑁.
HIBBELER - ESTÁTICA 10ª ed. 2.43
“Além de mover um corpo na direção de sua linha de ação, uma força pode
também girar esse corpo em relação a um eixo. Essa tendência à rotação é
conhecida como o momento de uma força ou torque, ou simplesmente
momento.”
Momento de uma força
• O momento de uma força em relação a
um ponto ou a um eixo, fornece uma
medida da tendência dessa força em
provocar a rotação de um corpo em
torno de um ponto ou de um eixo.
• Quanto maior a força ou a distância
(braço de momento), maior é o efeito
da rotação.
Em que :
𝑀 = módulo do momento
𝐹 = módulo da força
𝑑 = distância perpendicular do eixo até a linha de ação da força
• Momento é um vetor 𝑀 perpendicular ao plano do corpo;
• O sentido de 𝑀 depende da direção na qual Ԧ𝐹 tende a girar o corpo.
𝑀 = 𝐹𝑑 (𝑁.𝑚)
Formulação escalar para momento (problemas 2D)
▪ Rotação no sentido horário – momento negativo
▪ Rotação no sentido anti-horário – momento positivo
Convenção de sinal 
“ Regra da mão direita”
1) Determine o momento da força em relação ao ponto 𝑂 em cada
uma das barras mostradas.
EXEMPLO
CASO (a) CASO (b) 
EXEMPLO
2) Determine o momento da força de 800 N em relação aos pontos A,
B, C e D.
EXEMPLO
EXEMPLO
EXERCÍCIO
Determine o momento da força em relação ao ponto O.
Momento Resultante
∑𝑴𝑶 = 𝑴𝑹
Teorema de Varignon
“O momento de uma força em relação a qualquer ponto é igual à
soma dos momentos dos componentes desta força em relação ao
mesmo ponto.”
EXERCÍCIOS
1) (a) Calcule o momento da força de 90 𝑁 em relação ao ponto 𝑂 para a
condição θ = 15º. Determine também o valor de 𝜃 para qual o momento
em relação a 𝑂 é (b) zero.
MERIAM & KRAIGE 6ªed. 2.50
2) Determine o momento das forças que atuam na estrutura mostrada em
elação ao ponto O.
3) Determine o momento resultante produzido pelas forças em
relação ao ponto O.
Fim!