TEMA 2 - INDUTORES E CAPACITORES

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DESCRIÇÃO
A caracterização e a modelagem dos elementos reativos que compõem os circuitos, desde a
representação do componente, a análise do funcionamento dos mesmos, bem como as
principais técnicas para simplificação durante a avaliação.
PROPÓSITO
Compreender as características e funcionalidades dos elementos passivos de um circuito
elétrico, uma vez que estes estão presentes em diversos equipamentos elétricos, eletrônicos e
mecatrônicos.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o estudo, tenha em mãos uma calculadora para executar os cálculos dos
exercícios propostos.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever o elemento indutor
MÓDULO 2
Empregar o elemento capacitor
MÓDULO 3
Identificar as formas de onda dos elementos passivos
INDUTORES E CAPACITORES
MÓDULO 1
 Descrever o elemento indutor
ELEMENTO INDUTOR
INDUTORES
Os circuitos elétricos são compostos por diversos elementos, fontes, resistores e outros.
Entre os elementos que compõem o circuito elétrico, encontramos os ativos e os passivos.
O indutor é um elemento passivo, cuja função principal, responsável por sua característica
comportamental, é armazenar energia na forma de campo magnético. Esses componentes
podem ser utilizados em diversas áreas, tanto em sistemas de potência quanto em eletrônica.
Usualmente os indutores são encontrados em fontes de tensão, nos transformadores e em
motores elétricos.
 EXEMPLO
Um condutor de corrente pode ser considerado um indutor por apresentar propriedades
indutivas.
A construção de um indutor é feita, em geral, utilizando-se diversas espiras enroladas de
material condutor (a exemplo do cobre) na forma de uma bobina. Esse aspecto construtivo
confere a potencialização do efeito indutivo.
 
Imagem: Shutterstock.com
 Indutor toroidal
 VOCÊ SABIA
É possível descrever um indutor como uma bobina composta por um fio condutor.
Quando uma corrente elétrica percorre esse elemento, pode-se observar que há uma
proporção entre a variação dessa corrente elétrica e a tensão sobre o componente. É possível
descrever matematicamente esse comportamento pela Equação 1 seguinte:
v=L
di
dt
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual:
v
é tensão sob o indutor;
i
é a corrente que circula por ele;
L
é a indutância, que descreve a proporcionalidade entre a tensão e a variação da corrente.
Esse valor é medido em Henry (H).
É importante destacar alguns dados:
A tensão em um indutor é nula, quando não há variação de corrente no tempo, ou seja, em
casos em que a corrente é contínua. Isso equivale a um curto-circuito.
A indutância é uma propriedade característica do indutor e, a partir desta, o indutor se opõe a
variação do fluxo de corrente que o atravessa.
Um indutor se opõe à passagem de corrente; dessa forma, este valor não pode mudar de
forma instantânea.
A indutância é uma característica do componente que varia com as dimensões físicas do
indutor, isto é, de acordo com os aspectos construtivos. Essa variação pode ser representada
pela Equação 2:
L=
N2μA
l
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual:
N
é o número de espiras;
A
é a área da seção transversal;
μ
é a permeabilidade do material
l
é o comprimento da bobina.
Analisando a Equação 2, notamos que, para obter uma elevada indutância, podemos fazer as
seguintes alterações:
Utilizar materiais que apresentem elevada permeabilidade.
Alterar o número de espiras do indutor, aumentando-as.
Aumentar a área da secção transversal.
Reduzir o comprimento.
 ATENÇÃO
Essa equação é válida somente para indutores com formato solenoide. Para as demais
geometrias é necessário avaliar matematicamente usando técnicas e cálculos que envolvem as
teorias do eletromagnetismo.
 SAIBA MAIS
O mercado oferece diversos tipos (modelos e tamanhos) de indutor e dos mais variados
valores; os mais comuns na faixa de µH até poucos H, podendo ter valores fixos ou variáveis.
Quanto ao aspecto construtivo do núcleo, os materiais mais comuns são plásticos, ferro, aço
ou ar.
A representação gráfica de um indutor é feita através do símbolo na figura abaixo, podendo
haver algumas variações nesta representação de acordo com o tipo de material que compõe o
núcleo do indutor (ar, ferro, plastico, etc.).
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013, adaptada por Liandro Ribeiro
 Representação de indutor
 SAIBA MAIS
Exemplos de diferentes representações de indutores em função do aspecto construtivo do
núcleo.
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013, adaptada por Liandro Ribeiro
 Representação de diferentes tipos de indutor
UM INDUTOR QUE POSSUI INDUTÂNCIA INDEPENDENTE DA
CORRENTE É CONHECIDO POR SUA CARACTERÍSTICA
LINEAR, CUJO COMPORTAMENTO GRÁFICO PODE SER DADO
POR UMA LINHA RETA.
Para este estudo, consideramos que os indutores são de natureza linear, em que a relação
entre tensão e corrente foi apresentada na Equação 1. Integrando essa mesma equação,
obtemos a seguinte expressão:
i=
1
L ∫
t
t0v ( t )dt+ i ( t0 )
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual:
i ( t0 )
representa a corrente total quando t varia entre
− ∞
até
t0
.
CÁLCULO DA POTÊNCIA
O indutor é caracterizado por armazenar energia em seu campo magnético. Assim, é possível
e desejável que esse valor referente à energia seja calculado. Sabe-se que a equação que
expressa a potência em um componente parte da relação entre tensão e corrente, que é
representada a seguir:
p=vi
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo o valor de tensão (v) pelo valor da tensão calculada para o indutor, obtém-se a
Equação 5:
p= L
di
dt
i 
(5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ENERGIA ARMAZENADA
Como o intuito é o cálculo da energia armazenada, é necessário integrar a potência encontrada
anteriormente, variando-a temporalmente. Tem-se, portanto, a seguinte análise:
w= ∫
t
− ∞p ( t )dt
(6)
( )
w= ∫
t
− ∞ L
di
dt
i dt
(7)
w= ∫
t
− ∞ L
di
dt
idt=L ∫
t
− ∞ (di ) i
(8)
w=L ∫
t
− ∞ (di ) i =
Li2 ( t )
2
−
Li2 ( − ∞ )
2
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual:
i ( − ∞ ) = 0
A energia armazenada em um indutor é dada pela seguinte equação:
w=
Li2
2
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A ENERGIA ARMAZENADA NO INDUTOR NÃO É DISSIPADA,
COMO OCORRE, POR EXEMPLO, COM OS RESISTORES
(ELEMENTOS ATIVOS). A ENERGIA É LIBERADA PARA O
CIRCUITO E PODE SER RECUPERADA POSTERIORMENTE.
Indutores reais, todavia, possuem um componente resistivo, cujo valor pode variar. Através
desse componente resistivo pode haver dissipação da energia armazenada, devido ao Efeito
Joule.
 COMENTÁRIO
( )
( )
Para fins deste estudo, estaremos considerando os indutores como ideais, o que implica
desconsiderar as eventuais perdas de energia a partir do Efeito Joule.
 ATENÇÃO
Pelo Sistema Internacional de Medidas (SI), a energia é medida em Joules (J).
ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES
Para trabalhar de forma adequada com o indutor, é preciso entender como executar as
associações “em série” e “em paralelo”. De acordo com a configuração do circuito, o ideal é
encontrar um valor de indutância que represente o equivalente dos indutores presentes, o que
possibilita a simplificação do circuito tornando mais fácil a análise da composição final. Dessa
forma, temos duas possibilidades para avaliar as disposições dos componentes, em série e em
paralelo.
INDUTORES EM SÉRIE
Como exemplo, considere um circuito com diversos indutores conectados em série, como
mostra a imagem ao lado. Cada indutor possui um valor de tensão que, pela lei de Kirchhoff
das Tensões (LKT), pode ser descrito pela equação 11:
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013, adaptado por Liandro Ribeiro
 Circuito com indutores em série
v−v2 −v3 − …vN= 0
(11)
 Atenção! Para visualização completa daequação utilize a rolagem horizontal
A tensão no indutor pode ser substituída pela equação apresentada anteriormente, guiando o
seguinte modelo:
v=L1
di
dt
+L2
di
dt
+L3
di
dt
+ … +LN
di
dt
(12)
v= (L1 +L2 +L3 + … +LN )
di
dt
(13)
Leq= (L1 +L2 +L3 + … +LN )
(14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual:
Leq
representa a indutância equivalente do circuito série.
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013, adaptado por Liandro Ribeiro
 Circuito com indutância equivalente.
INDUTORES EM PARALELO
Considerando agora o circuito apresentado na imagem ao lado, cujos indutores são
conectados em paralelo, deve-se aplicar a Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) para a análise.
Dessa forma, tem-se a seguinte equação para o nó:
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013, adaptado por Liandro Ribeiro
 Circuito com indutores em paralelo
i− i1 − i2 − … iN= 0
(15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obtemos a corrente no indutor integrando a equação:
i=
1
L ∫
t
t0vdt+ i ( t0 ) 0
(16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como em um sistema paralelo, a tensão em um nó é igual para todos os ramos conectados a
ele, enquanto as correntes se diferem. Podemos reescrever a equação da seguinte forma:
i=
1
L1 ∫
t
t0vdt+ i1 t0 +
1
L2 ∫
t
t0vdt+ i2 t0 +
1
L3 ∫
t
t0vdt+ i3 t0 + … +
1
LN ∫
t
t0vdt+ iN ( t0 )
(17)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, rearranjando a expressão, tem-se:
i=
1
L1
+
1
L2
+
1
L3
+ … +
1
LN ∫
t
t0vdt+ i1 t0 + i2 t0 + i3 t0 + … + iN ( t0 )
(18)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual é possível visualizar o valor equivalente da indutância por meio da equação a seguir:
1
Leq
=
1
L1
+
1
L2
+
1
L3
+ … +
1
LN
(19)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os valores definidos por
i1 t0
e demais referem-se aos valores iniciais de corrente que circulam no indutor.
 ATENÇÃO
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
A associação entre indutores é realizada da mesma forma que a associação entre resistores.
Isto é valido tanto para associações em série quanto em paralelo.
EXEMPLO COMENTADO
Apresentamos, a seguir, um exercício comentado no intuito de aplicar as equações propostas
neste módulo.
i ( t ) = 5te− tA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Encontre a tensão nos terminais do indutor, bem como a energia armazenada.
SOLUÇÃO
Como já vimos, a tensão em um indutor é dada pela seguinte expressão:
v=L
di
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, é necessário derivar a corrente conhecida em função do tempo. Assim:
v= ( 0 , 2 )
d ( 5te− t )
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo:
v= ( 0 , 2 ) ( 5 )e− t− 5te− t V
 
v= e− t− te− t V
 
v=e− t ( 1 − t ) V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A energia armazenada no indutor, por sua vez, é dada pela seguinte equação:
[ ]
( )
w=
Li2
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores, tem-se:
w=
( 0 , 2 ) ( 5te− t ) 2
2
 
w=
0 , 2 ( 25t2e− 2t )
2
 
w= 2 , 5t2e− 2t J
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TIPOS DE INDUTORES
De uma forma geral, os indutores podem ser construídos pela utilização de uma bobina e um
material condutor. Já o material que compõe o núcleo da bobina tem a função de garantir a
concentração das linhas de fluxo magnético, reduzindo as perdas. Isto confere maior grau de
indutância ao indutor.
Os indutores têm aplicação em diversas áreas. Por essa razão, existem variedades quanto à
geometria e seus aspectos construtivos para atender cenários particulares.
 EXEMPLO
Indutores menores são utilizados em aplicações que requerem elevada frequência.
Há também diversos materiais aplicados ao núcleo no intuito de variar a indutância, como
veremos a seguir:
 
Imagem: Shutterstock.com
São utilizados em cenários onde a elevada indutância é requerida, como por exemplo, nos
circuitos integrados (os mesmos utilizados na construção de chips de computador). O material
ferromagnético é caracterizado pela capacidade de concentrar as linhas de fluxo.
 
Imagem: Shutterstock.com
INDUTOR DE NÚCLEO LAMINADO
Um núcleo dito laminado é construído por camadas de material (de baixa espessura e disposto
um sobre o outro). Essa construção laminada reduz as perdas no componente. É amplamente
usado em aplicações de baixas frequências (sistemas de potência, construção de
transformadores).
 
Imagem: Shutterstock.com
INDUTOR DE NÚCLEO DE AR
Tem o ar como composição do núcleo, ou seja, não há utilização de nenhum outro material.
Neste caso, a indutância é baixa, contudo, a ausência de um material na composição do núcleo
faz com que as perdas não ocorram. São componentes utilizados em alta frequência, como
emissores e receptores.
 
Imagem: Shutterstock.com
INDUTOR COM NÚCLEO DE FERRITE
O material que compõe o núcleo deste indutor promove a redução das perdas. É aplicado em
projetos em que se requer alta frequência, como em moduladores de frequência.
 
Imagem: Shutterstock.com
INDUTOR TOROIDAL
Utiliza a ferrite como material que compõe o núcleo, conforme o tipo anterior. Porém possui
formato de rosca, fazendo com que a circulação do fluxo se dê em um caminho fechado. A
vantagem promovida por este componente reside na redução das perdas e no aumento no
valor da indutância. Este componente é utilizado em placas integradas de computadores.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CALCULAR A INDUTÂNCIA EQUIVALENTE PARA O CIRCUITO ABAIXO.
ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA:
A) 20H
B) 30H
C) 27,5H
D) 30,5H
E) 37,5H
2. PARA O CIRCUITO DA FIGURA ABAIXO, CONSIDERE: 
 
IT=42-E-10T MA
 
I20=1 MA
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE
A ROLAGEM HORIZONTAL
 INDUTORES EM PARALELO
 
CALCULE A CORRENTE I1 E A INDUTÂNCIA EQUIVALENTE E ASSINALE
O VALOR CORRETO:
A) 5mA e 10H
B) 5mA e 15H
C) 10mA e 10H
D) 10mA e 5H
E) 10mA e 15H
GABARITO
1. Calcular a indutância equivalente para o circuito abaixo.
Assinale a alternativa correta:
A alternativa "C " está correta.
 
Primeiramente, faz-se a associação dos indutores em série como indicado na Figura:
 Indutores em série
Para o cálculo da indutância em série, aplica-se a seguinte equação:
LEQ=(L1+L2+L3+…+LN)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
LEQ=10+10+10=30H)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse valor encontrado está em paralelo com 10H:
 Indutores em paralelo
Para solucionar a associação de indutores em paralelo, aplica-se a seguinte equação:
1LEQ=1L1+1L2+1L3+…+1LN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo:
LEQ=10×3010+30=7,5H
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse indutor, por sua vez, está em série com os demais.
Então:
LEQ=10+10+7,5=27,5H
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Para o circuito da figura abaixo, considere: 
 
IT=42-E-10T MA
 
I20=1 MA
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Indutores em paralelo
 
Calcule a corrente i1 e a indutância equivalente e assinale o valor correto:
A alternativa "B " está correta.
 
Para o instante $$t = 0$$:
I0=42-E-10*0M=4 MA
 
I=I1+I2
I10=I0-I2(0)
 
I10=4MA+1MA=5 MA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando o equivalente intuitivo para o circuito, temos:
• Primeiro o cálculo de um paralelo
• Depois, o cálculo da associação em série do resultado.
Paralelo:
LEQ=10×1010+10=5HAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Série:
LEQ=10+5=15H
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Empregar o elemento capacitor
ELEMENTO CAPACITOR
CAPACITORES
Tal como os indutores, os capacitores são componentes passivos capazes de armazenar
energia sob a forma de campo elétrico. São constituídos de duas superfícies condutoras que
são separadas por um material não condutor (isolante) ou dielétrico (dessa forma não há
contato entre os terminais).
 EXEMPLO
A superfície condutora pode ser de diversos materiais como, alumínio, cerâmica, tântalo,
poliéster etc. O que também se aplica ao dielétrico, onde podem ser encontrados elementos
como ar, papel etc.
O funcionamento do capacitor se dá quando ele é conectado a uma fonte de tensão. Neste
momento, as superfícies condutoras recebem cargas positivas e negativas tornando-se
polarizadas.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Funcionamento de um capacitor de placas paralelas
O capacitor armazena a carga depositada, que é proporcional à tensão da fonte, modelada
pela equação:
q=Cv
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual:
q
representa a carga armazenada;
C
representa a capacitância em farad (F);
v
representa a tensão aplicada.
Ou, ainda, a capacitância é descrita pela razão entre a quantidade de carga encontrada nas
placas e a tensão aplicada:
C=
q
v
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante ressaltar que a capacitância, bem como a indutância, depende da geometria do
material. E, para um capacitor de placas paralelas, esta pode ser descrita pela equação:
C=
εA
d
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual:
ε
representa a permissividade do material dielétrico, responsável por separar as placas
condutoras;
A
representa a área de cada placa;
d
representa a distância entre as placas condutoras.
Avaliando cada variável que compõe a capacitância, pode-se concluir que, para aumentar esse
valor, é necessário aplicar as alterações apresentadas a seguir:
Reduzir a distância entre as placas,
d
;
Aumentar a área das placas,
A
;
Utilizar materiais de maior permissividade,
ε
Quanto à parte comercial, os valores referentes aos capacitores podem variar de pF
(picofarads) à µF (microfarads), caracterizados pela composição do material construtivo do
dielétrico. Podem ainda ser de valores fixos ou variáveis, como ocorre com indutores e
resistores. São encontrados como mostra a imagem abaixo:
 
Fonte: Shutterstock.com
 Representação de um capacitor comercial
 ATENÇÃO
Para um capacitor, atenta-se à convenção de sinais:
v , i> 0
: o capacitor está em carregamento.
v , i< 0
: o capacitor está descarregando.
RELAÇÃO CORRENTE-TENSÃO
Como visto na equação
C=
q
V
, é possível descrever a quantidade de carga armazenada pelo capacitor relacionando a
capacitância e a tensão aplicada. Sabe-se que a corrente elétrica pode ser representada pela
variação de cargas que atravessa o condutor em determinado instante de tempo, Equação 4:
i=
dq
dt
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Relacionando as Equações 2 e 4, e derivando a equação dos dois lados, é possível obter a
Equação 5, que representa a corrente que circula pelo capacitor. Esta é válida para
componentes lineares. Quando este possui características não lineares, não é possível
descrever corrente e tensão por uma reta.
i=C
dv
dt
(5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando a Equação 5, é possível obter a tensão em um capacitor, que é descrita pela
Equação 6 apresentada a seguir:
v ( t ) =
1
C ∫
t
− ∞i ( t )dt
(6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou, ainda, pode-se descrever a tensão pela Equação 7, onde se observa que a tensão
depende da variação da corrente no tempo, destacando assim a propriedade conhecida como
memória do elemento.
v ( t ) =
1
C ∫
t
− ∞i ( t )dt
(7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
v ( t0 )
descreve a tensão inicial no elemento, que pode ainda ser representada pela Equação 8.
v ( t0 ) =
q ( t0 )
C
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dadas as equações, é possível concluir:
Não havendo variação de tensão com o tempo, a corrente no capacitor é nula. Isso se aplica
em tensões contínuas. Assim, para um circuito CC, o capacitor se comporta como um circuito
aberto, não havendo circulação de corrente. Porém, a conexão de uma fonte nos terminais
desse componente faz com que ele se carregue.
A tensão no capacitor deve ser contínua, isto é, não pode mudar de forma abrupta, como
ocorre com a corrente que circula pelo indutor. Assim, o capacitor tem a característica de
resistir à mudança de tensão nos terminais. Essa alteração faz com que seja necessária uma
corrente muito elevada (infinita), tornando-se impraticável.
A corrente no capacitor, diferente da tensão, pode mudar de forma instantânea.
A energia armazenada no capacitor circula no circuito, ou seja, inicialmente o componente
armazena energia e esta é liberada sob a forma de potência para o circuito, sem que haja
dissipação, considerando capacitores ideais. Na prática, há um componente resistivo
conhecido por resistência de fuga.
ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES
Assim como os demais componentes aqui tratados, os capacitores podem ser associados para
que haja redução do circuito durante a análise. Esta associação ocorre de duas formas, em
série ou em paralelo, proporcionando encontrar um capacitor equivalente que represente a
junção dos demais.
CAPACITORES EM SÉRIE
Para analisar uma associação de capacitores conectados em série, considere o circuito
apresentado na imagem. Como vimos, em um circuito em série a corrente circulante é igual em
todos os componentes, contudo a tensão se distingue.
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013, adaptada por Liandro Ribeiro
 Capacitores conectados em série
Para avaliar o valor equivalente da capacitância, aplica-se a LKC, e partindo desta obtém-se a
seguinte equação:
v−v1 +v2 +v3 + … +vN= 0
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela integração do valor da corrente que circula no capacitor, é possível obter a tensão sobre
ele, como mostra a equação. Assim, ao substituir esse valor na Equação 9 anterior, resulta o
seguinte modelo na Equação 10:
v=
1
C1 ∫
t
t0i ( t )dt+v1 t0 +
1
C2 ∫
t
t0i ( t )dt+v2 t0 +
1
C3 ∫
t
t0i ( t )dt+v3 t0 + … +
1
CN ∫
t
t0i ( t )dt+vN ( t0 )
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Reorganizando a Equação 10, é obtida a Equação 11:
v=
1
C1
+
1
C2
+
1
C3
+ … +
1
CN ∫
t
t0i ( t )dt+v1 t0 +v2 t0 +v3 t0 + …vN ( t0 )
(11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que, por simplificação, tem-se:
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+
1
C3
+ … +
1
CN
(12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual:
Ceq
é a capacitância equivalente;
v1 t0 +v2 t0 +v3 t0 + …vN ( t0 )
é a soma dos valores inicialmente armazenados pelo componente.
CAPACITOR EM PARALELO
Para analisar uma associação de capacitores conectados em paralelo, considere a seguinte
imagem.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013, adaptado por Liandro Ribeiro
 Capacitores conectados em paralelo
Partindo do circuito apresentado, aplica-se a LKC. Sabe-se que, em um circuito paralelo, as
tensões em um nó são iguais para os ramos conectados a ele. As correntes, no entanto,
diferem. Assim, é possível obter a seguinte equação:
i− i1 + i2 + i3 + … + iN= 0
(13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalConhecendo a equação que descreve a corrente que circula pelo capacitor e substituindo-a na
equação acima, obtém-se a relação apresentada pela equação a seguir:
i=C1
dv
dt
+C2
dv
dt
+C3
dv
dt
+ … +CN
dv
dt
(14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que, após o rearranjo da expressão, são obtidas a Equação 15 e a simplificação
apresentada pela Equação 16:
i= (C1 +C2 +C3 + … +CN )
dv
dt
(15)
Ceq= (C1 +C2 +C3 + … +CN )
(16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual:
Ceq
é a capacitância equivalente do circuito paralelo.
 ATENÇÃO
A associação das capacitâncias em série se dá da mesma forma que a associação das
indutâncias e resistências em paralelo. De forma análoga, as capacitâncias em paralelo são
obtidas por meio da soma dos valores individuais, como ocorre nas associações em série para
indutores e resistores.
POTÊNCIA E ENERGIA
Para calcular a potência instantânea em um capacitor, inicia-se pela relação básica entre a
tensão e a corrente medidas em um elemento, como mostra a equação a seguir:
p=vi
(17)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo o valor de corrente pela Equação 5, referente à corrente que circula em um
capacitor, obtém-se a potência liberada para ele, apresentada pela próxima equação:
p=C
dv
dt
(18)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Partindo da Equação 18 e considerando as propriedades do elemento, caracterizado pelo
armazenamento de energia, é desejável calcular a quantidade de energia armazenada em seu
campo elétrico. Para isso, basta integrar (temporalmente) o valor referente à potência
calculada. Assim, tem-se a seguinte expressão:
w= ∫
t
− ∞p ( t )dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde, ao substituir a variável ‘p’ pela expressão de potência encontrada, são obtidas as
Equações 19 e 20:
w=C ∫
t
− ∞v
dv
dt
dt=C ∫
v ( t )
v ( − ∞ ) vdv
(19)
w=C
1
2
v2 |
v ( t )
v ( − ∞ )
(20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por observação, é possível concluir:
Em
v ( − ∞ )
, o capacitor está descarregado; dessa forma, a energia armazenada pode ser representada
como segue:
w=C
1
2
v2
(21)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa energia é armazenada do campo elétrico que existe entre as superfícies condutoras do
capacitor.
Como o capacitor não é capaz de dissipar energia como ocorre com resistor, essa energia
circula no circuito, podendo ser recuperada. Em capacitores reais, é possível observar que uma
componente resistiva, ainda que baixa, promove dissipação.
EXEMPLOS COMENTADOS
APRESENTAMOS ALGUNS EXERCÍCIOS
COMENTADOS NO INTUITO DE APLICAR AS
EQUAÇÕES PROPOSTAS NESTE MÓDULO E AJUDAR
VOCÊ A ENTENDER BEM DO CONTEÚDO.
1. Considere um capacitor de 4pF para os seguintes cálculos:
a) Determinar carga armazenada, considerando que há uma fonte de 20 V entre seus
terminais.
SOLUÇÃO
Utilizar a seguinte equação:
C=
q
v
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isolar a variável carga, ao qual desejamos calcular:
q=Cv
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, substituir os valores de C e v:
q= 4 ∗10− 12 ∗20 = 80pF
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b) Determinar a energia armazenada neste capacitor..
SOLUÇÃO
Para determinar a energia armazenada, tem-se a seguinte equação:
w=C
1
2
v2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De posse dos valores de capacitância e tensão, tem-se:
w=
1
2
( 4 ∗10− 12 ) ( 202 ) = 800 pJ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considere um capacitor de 4µF, cuja tensão em seus terminais é dada pela seguinte
expressão:
v ( t ) = 5cos ( 6000t )V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para esse capacitor, pede-se a corrente que circula por ele.
SOLUÇÃO
Por definição, a corrente que circula pelo capacitor é dada por:
i ( t ) =C
dv
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituir os valores na equação:
i ( t ) =C
dv
dt
= ( 4 ∗10− 6 )
d ( 5cos ( 6000t ) )
dt
 
i ( t ) =C
dv
dt
= ( 4 ∗10− 6 ) ( 5 ) ( −sen ( 6000t ) ) ( 6000 )
 
i ( t ) = − 0 , 12sen ( 6000t )A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Para o circuito apresentado a seguir, pede-se a capacitância equivalente:
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Associação de Capacitores
SOLUÇÃO
Para avaliar esse problema, é necessário dividi-lo em suas partes:
Associação em paralelo
Associação em série
A associação em paralelo é composta dos capacitores C3 e C4. Por definição, esta pode ser
solucionada da seguinte forma:
Ceq= (C1 +C2 +C3 + … +CN )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, tem-se uma capacitância equivalente dada por:
Ceq= (C3 +C4 ) =C5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Este resultante encontra-se em paralelo com C1 e C2 que, por definição, pode ser dado pela
seguinte associação:
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+
1
C3
+ … +
1
CN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, tem-se:
Ceq=
1
1
C1 +
1
C2 +
1
C5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que traduz a capacitância equivalente desse circuito.
Considere agora os valores para as seguintes capacitâncias do circuito:
C1 = 20mF
C2 = 30mF
C3 = 40mF
C4 = 20mF
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
a) Defina o valor da capacitância total equivalente.
SOLUÇÃO
Utilizando das equações já encontradas, sabe-se que a capacitância C5, que representa o
equivalente série, é dada por:
Ceq= (C3 +C4 ) =C5 = 60mF
 
( 40 + 20 )m=C5 = 60mF
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por sua vez, esse valor é associado em série com as demais, onde tem-se:
Ceq=
1
1
C1
+
1
C2
+
1
C5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
Ceq=
1
1
60 +
1
30 +
1
20
m= 10mF
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b) Considere que a fonte “v” é de 20V, calcule a carga total desse circuito:
SOLUÇÃO
Sabe-se que:
q=Cv
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, basta que os valores sejam substituídos na equação acima:
q= ( 10m ) ( 20 ) = 0 , 2C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TIPOS DE CAPACITORES
Assim como os indutores, os capacitores podem ser encontrados sob diversas geometrias e
variações no material isolante (dielétrico), que caracteriza o tipo de aplicação a ser feita.
Contudo, isso não altera sua função, que é o armazenamento de energia.
Vejamos alguns tipos de capacitores e suas características construtivas:
CAPACITOR ELETROLÍTICO
Caracterizado por apresentar um dielétrico, ou isolante, de pequena espessura — isto ao ser
comparado aos demais modelos. É formado por duas folhas de alumínio, que são separadas
por uma camada de óxido de alumínio. É importante ressaltar que este componente possui
polaridade, isso significa que há uma forma adequada de instalá-lo em um circuito. Para
identificar, basta que localize o terminal maior (o positivo). Em muitos casos, pode ser
observada uma identificação de terminais referenciando os dois polos. A aplicação do capacitor
eletrolítico pode ser feita em fontes de tensão, por exemplo, com o intuito de manter a tensão
estável e filtrando possíveis ruídos.
 ATENÇÃO
Se este capacitor for polarizado de forma incorreta, isto é, utilizado de maneira inversa, ele
entraem curto-circuito, o que pode ser um problema, uma vez que tende a ocorrer uma
explosão (modelos mais antigos) e liberar gases.
CAPACITOR DE TÂNTALO
É um modelo a ser utilizado na substituição do eletrolítico (já apresentado) quando for
desejável a redução do circuito. A composição do isolante é feita por óxido de tântalo, que se
caracteriza por apresentar uma vida útil mais longa que os eletrolíticos. Esses capacitores
estão substituindo os de alumínio em todos os tipos de circuitos em razão de seu baixo volume.
 ATENÇÃO
O capacitor de tântalo requer polarização correta, pois se for utilizado de maneira inversa pode
explodir. Em muitos casos, a polarização é indicada no próprio capacitor, no intuito de evitar
acidentes (o terminal positivo é o maior).
CAPACITOR DE POLIÉSTER
Formado por camadas de poliéster e alumínio, a quantidade de folhas e suas espessuras se
tornam responsáveis por definir a capacitância do capacitor. É um modelo compacto e
caracterizado por ser capaz de autorregeneração. Por exemplo, em situações em que há
danos entre as camadas do poliéster, geradas por sobretensão, o material que se encontra
sobre a folha é capaz de evaporar e evitar o curto-circuito.
CAPACITOR CERÂMICO
Este modelo é um dos mais largamente utilizados. Seu aspecto construtivo se dá por um disco
de cerâmica, compondo a parte isolante, e por duas fitas metálicas encontradas nas faces
(uma em cada lado). O capacitor cerâmico não é capaz de armazenar grandes quantidades de
carga. Em geral, sua aplicação é feita nos circuitos de alta frequência e corrente contínua,
como por exemplo em televisões, rádios, flashes de câmeras, roteadores e demais eletrônicos.
CAPACITOR DE MICA
O aspecto construtivo deste capacitor é dado pela aplicação da mica como dielétrico e o uso de
placas de prata que envolvem o dielétrico. É um componente considerado estável e não
apresenta elevados valores de perda de carga. Suas aplicações englobam circuitos osciladores
e circuitos ressonantes.
 ATENÇÃO
Os capacitores de mica podem ou não possuir terminais. Em alguns casos, estes são soldados
na própria placa do circuito promovendo boa dissipação de calor.
CAPACITOR SMD
O material que compõe o dielétrico deste modelo de capacitor pode variar (por exemplo,
cerâmica, tântalo). São componentes pequenos e por isso suas aplicações são voltadas para
equipamentos eletrônicos de uma forma geral e para circuitos de robótica.
CAPACITOR VARIÁVEL
É composto por placas que podem ser de alumínio ou latão. Geralmente, o material isolante é
composto de ar. O valor dos capacitores do tipo variável pode alterar e por isso eles são
aplicados em circuitos que requerem sintonização, como os circuitos de rádio.
 ATENÇÃO
Não se indica utilizar o capacitor variável em elevadas potências.
CAPACITOR A ÓLEO E A PAPEL
Atualmente o capacitor a óleo não é mais fabricado, sua aplicação era voltada para
equipamentos de válvula que requerem elevada isolação. A construção deste capacitor se
dava por meio de fitas de alumínio que eram enroladas em um papel embebido por óleo. De
forma semelhante, o capacitor composto de papel não é mais produzido, sua construção era
feita por meio de folhas metálicas e um tubo de papel embebido em cera. Os dois foram
amplamente utilizados em eletrônica no passado, nos primórdios da eletrônica.
QUIZ
VAMOS AGORA TESTAR O SEU CONHECIMENTO SOBRE CAPACITORES,
ANALISANDO UMA QUESTÃO ADAPTADA DO CONCURSO DA FUNDEP
2019. 
 
CAPACITORES SÃO DISPOSITIVOS DE DOIS TERMINAIS
EXTREMAMENTE UTILIZADOS EM CIRCUITOS ELÉTRICOS. EM
RELAÇÃO A ESSES DISPOSITIVOS, ASSINALE A ALTERNATIVA
CORRETA:
A) Capacitores são dispositivos passivos e armazenam energia devido, exclusivamente, ao
campo magnético aplicado sobre suas placas.
B) A capacitância é uma grandeza que mede a quantidade de carga que o capacitor pode
armazenar em suas placas. Mantendo-se os outros parâmetros constantes, quanto menor a
distância entre as placas de um capacitor maior será a sua capacitância.
C) A capacitância é uma grandeza que mede a quantidade de carga que o capacitor pode
armazenar em suas placas. Mantendo-se os outros parâmetros constantes, quanto menor a
distância entre as placas de um capacitor maior será a sua capacitância.
GABARITO
Vamos agora testar o seu conhecimento sobre capacitores, analisando uma questão
adaptada do concurso da Fundep 2019. 
 
Capacitores são dispositivos de dois terminais extremamente utilizados em circuitos
elétricos. Em relação a esses dispositivos, assinale a alternativa correta:
A alternativa "B " está correta.
A capacitância é uma grandeza que mede a razão entre as cargas armazenadas e a tensão
aplicada nas placas, podendo ser descrita pela seguinte equação:
C=ΕA/D
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, quanto menor a distância entre as placas, maior a capacitância do capacitor.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (SEDUC, 2016) O CONJUNTO DE CAPACITORES C1 DE 100 ΜF,
MONTADOS DA FORMA ABAIXO, TERÁ UMA CAPACIDADE TOTAL DE:
A) 16,6 $$µF$$
B) 66,6 $$µF$$
C) 200 $$µF$$
D) 150 $$µF$$
E) 300 $$µF$$
2. (GHC-RS, 2018) CAPACITOR É UM DISPOSITIVO ELÉTRICO FORMADO
POR DUAS PLACAS CONDUTORAS DE METAL SEPARADAS POR UM
MATERIAL ISOLANTE CHAMADO DIELÉTRICO. SOBRE ELE, ANALISE AS
CONSIDERAÇÕES QUE SE SEGUEM E ESCOLHA A ALTERNATIVA QUE
CONTEMPLA AS CORRETAS: 
 
I- O CAPACITOR ARMAZENA A CARGA ELÉTRICA NO DIELÉTRICO. 
II- O CAPACITOR FORA DE UM CIRCUITO ENERGIZADO NÃO POSSUI
CARGA. 
III- CAPACITÂNCIA É A CAPACIDADE DE ARMAZENAMENTO DE CARGA
ELÉTRICA PELO CAPACITOR. 
IV- A CAPACITÂNCIA É DADA PELA EXPRESSÃO C = V/Q, E SUA
UNIDADE É O FARAD (F).
A) Apenas I e II
B) Apenas I e III
C) Apenas I e IV
D) Apenas I, II e III
E) Todas as considerações estão corretas.
GABARITO
1. (Seduc, 2016) O conjunto de capacitores C1 de 100 µF, montados da forma abaixo, terá
uma capacidade total de:
A alternativa "D " está correta.
 
Analisando a figura do exercício, é possível identificar três disposições para associar os
elementos:
Capacitores em série, como mostra o esquema a seguir:
Capacitores em paralelo, associação que pode ser feita após associar os capacitores em
série.
A associação em série pode ser feita, como já apresentada, obedecendo a seguinte equação:
1CEQ=1C1+1C2+1C3+…+1CN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, tem-se:
1CEQ=1100Μ+1100Μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
CEQ=50 ΜF
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ressalta-se aqui que são avaliados três circuitos em série, obtendo dessa forma três
capacitâncias equivalentes do mesmo valor.
Para a associação em paralelo, aplica-se a seguinte equação, já apresentada:
CEQ=(C1+C2+C3+…+CN)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, ao somar as três capacitâncias encontradas, é possível encontrar o valor final desejado:
CEQ=50 Μ+50 Μ+50 Μ
 
CEQ=150 ΜF
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. (GHC-RS, 2018) Capacitor é um dispositivo elétrico formado por duas placas
condutoras de metal separadas por um material isolante chamado dielétrico. Sobre ele,
analise as considerações que se seguem e escolha a alternativa que contempla as
corretas: 
 
I- O capacitor armazena a carga elétrica no dielétrico. 
II- O capacitor fora de um circuito energizado não possui carga. 
III- Capacitância é a capacidade de armazenamento de carga elétrica pelo capacitor. 
IV- A capacitância é dada pela expressão C = V/Q, e sua unidade é o farad (F).
A alternativa "D " está correta.
 
O capacitor é um componente caracterizado por armazenar energia no campo elétrico. Antes
de ser energizado, este não possui carga, isto é, antes da conexão de uma fonte que irá
polarizá-lo e produzir o armazenamento da energia. A capacidade do capacitor de armazenar
energia é modeladapela capacitância.
MÓDULO 3
 Identificar as formas de onda dos elementos passivos
A FORMA DE ONDA DOS ELEMENTOS
PASSIVOS
ANÁLISE DOS ELEMENTOS PASSIVOS EM
REGIME PERMANENTE
A análise dos circuitos permite diversas observações em relação à sua alimentação, tal como o
comportamento da fonte conectada (contínua ou alternada), se há fonte ou se este está
desconectado, entre outras.
 COMENTÁRIO
É interessante avaliar os circuitos cuja operação se dá por meio de excitação contínua, ou seja,
pela conexão de fontes cc.
Um circuito composto de elementos passivos, cuja alimentação é contínua, possui a
característica de apresentar os valores de corrente e tensão estáveis após transcorrido o
tempo. Após a estabilização do circuito, ou seja, ao atingir os valores constantes, é dito que ele
opera em regime permanente. O tempo necessário para que esse regime seja alcançado é
dado em segundos.
Capacitor como circuito aberto
Em regime permanente, o capacitor comporta-se como um circuito aberto (Módulo 2). Isso
ocorre porque a tensão se estabiliza e, não havendo variação de tensão no tempo, a corrente é
nula.
Indutor como curto-circuito
Em regime permanente (Módulo 1), o indutor comporta-se como um curto-circuito. A análise é
feita como no capacitor e, não havendo variação da corrente no tempo, a tensão sobre esse
elemento é nula.
Dadas essas duas considerações, nota-se que uma análise em regime permanente se trata de
avaliar um circuito resistivo, caso este possua resistores.
PRINCÍPIO DA DUALIDADE
Os indutores e capacitores são considerados elementos duais. Dois circuitos podem ser
considerados duais, se as equações de malha de um deles possuem a mesma forma
matemática que modela a equação nodal do outro.
 EXEMPLO
São exemplos de grandezas duais:
Resistência e condutância, uma vez que a condutância é o inverso da resistência.
Tensão e corrente.
Indutores e capacitores.
Em um indutor, há um fluxo magnético percorrendo o componente, enquanto no capacitor há
cargas polarizando as placas condutivas. Para verificar a dualidade, consideram-se as
equações de tensão e corrente dos dois componentes, já apresentadas nos Módulos
anteriores:
v=L
di
dt
 
i=C
dv
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É notável que, ao alterar em uma das equações as variáveis i por v, bem como L por C (ou o
oposto), as equações passam a ser equivalentes. A tabela a seguir representa valores duais
para diversas grandezas elétricas:
Valores Duais
Tensão Corrente
Carga Fluxo
Resistência Condutância
Indutância Capacitância
curto-circuito Circuito aberto
Impendância Admitância
LKT LKC
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Grandezas e seus valores duais. Elaborada por Isabela Oliveira Guimarães
FORMA DE ONDA
Em um circuito onde há somente resistores conectados, ao alterar o estado de uma chave, por
exemplo, observa-se apenas a variação entre a presença das variáveis elétricas ou não,
provocada pela descontinuidade. Nos casos em que se observa a presença de elementos
passivos, essa análise se distingue.
 EXEMPLO
Ao conectar uma fonte em um capacitor passa a existir o carregamento do componente, que
ocorre em razão da polarização das placas. Esse valor aumenta gradativamente até atingir o
regime permanente.
O PERÍODO DE VARIAÇÃO EM QUE O ELEMENTO SAI DO
ESTADO INICIAL ATÉ ATINGIR O ESTADO PERMANENTE É
CHAMADO DE TRANSITÓRIO.
Destacam-se os seguintes pontos:
A corrente em um indutor não pode mudar de forma instantânea, como se observa na
representação abaixo:
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013.
 Corrente em um indutor
Observa-se uma mudança suave no valor da corrente, representada pela inclinação do
gráfico.
Conforme ocorre com a corrente em um indutor, a tensão em um capacitor não pode ser
alterada de forma abrupta. Assim, observa-se o seguinte comportamento para a tensão:
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013
 Relação entre tensão e corrente em um capacitor
TENSÃO E CORRENTE
Representa a relação entre a tensão e a corrente.

 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013
 Mudança de tensão no capacitor
TENSÃO NO CAPACITOR
Representa a tensão no capacitor.
Considerando a análise de um circuito capacitivo, em que se avalia o momento de carga até o
regime permanente, sabe-se que no instante inicial a corrente é máxima, enquanto a tensão é
nula, o que pode ser observado nas seguintes curvas:
 
Imagem: JOHNSON; HILBURN; JOHNSON, 2000
 Capacitores conectados em série
O capacitor sai do estado inicial e é carregado até alcançar o regime permanente. Em seguida,
é possível observar o processo de descarga. A imagem abaixo representa o processo de
transitório do capacitor para as grandezas de corrente e tensão, em que, a partir do ponto 3,
este se encontra em regime permanente.
 
Imagem: JOHNSON; HILBURN; JOHNSON, 2000
 Transitório do capacitor, comportamento de tensão e corrente
Para um indutor, o comportamento é um pouco distinto, podendo ser feitas algumas analogias.
Observa-se que neste há existência de corrente, mesmo após o desligamento da fonte que o
excita, o que faz desta uma característica do componente. O comportamento da corrente no
indutor é similar à tensão do capacitor. À medida que o tempo passa, a corrente começa a
decair.
 
Imagem: JOHNSON; HILBURN; JOHNSON, 2000
 Transitório do indutor
ENERGIA ARMAZENADA NOS
COMPONENTES PASSIVOS
Como sabemos, tanto o indutor quanto o capacitor são elementos caracterizados por
armazenarem energia nos campos elétrico e magnético.
 SAIBA MAIS
A energia se refere ao trabalho necessário para que haja carregamento desses elementos.
Para um capacitor, a energia é armazenada no campo elétrico, dada a diferença de potencial
aplicada aos terminais. Considerando as seguintes equações, que podem ser consultadas
também no capítulo referente aos capacitores, a energia é calculada da seguinte forma:
w=C
1
2
v2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo o valor da capacitância pelo valor definido:
C=
q
v
, tem-se:
w=
1
2
qv
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual observa-se uma equação de comportamento linear. Assim, a energia pode ser descrita
graficamente pela imagem abaixo:
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Energia armazenada no capacitor.
 ATENÇÃO
A mesma análise pode ser feita para um indutor.
Um indutor é capaz de armazenar energia no campo magnético. Esse armazenamento se dá
quando o componente é percorrido por uma corrente elétrica (a equação que descreve esse
armazenamento foi citada no Módulo 1), dada por:
w=L
1
2
i2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa energia é conservativa.
CIRCUITOS SINGULARES
Por definição, as funções singulares são aquelas que apresentam alguma descontinuidade ou
que têm derivadas descontínuas. A função de singularidade serve para representar o
comportamento comutativo do circuito. Sendo assim, em situações em que são observados
componentes como chaves, existe uma descontinuidade, sendo então possível representar as
formas de onda de corrente e tensão através da utilização das funções singulares.
Das funções mais utilizadas, podem ser citadas:
FUNÇÃO DEGRAU
A figura mostra uma particularidade desta função, conhecida por degrau unitário. Em zero, esta
função apresenta descontinuidade; em 1, muda de estado de forma abrupta. Assim, a
aplicação dela pode ocorrer quando se deseja representar alterações de tensão ou corrente de
modo instantâneo: em dado instante o circuito está desligado e, em seguida, passa a existir
uma excitação, isto equivale a uma comutação de chaves.
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013
 Função degrau unitário.
 ATENÇÃO
A derivada da função degrau resulta na função impulso.
FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO
Pode também ser identificada por função delta, sendo a derivada da função degrau.Como no
caso anterior, a função impulso unitário é um caso particular da função impulso, onde a
amplitude atingida é 1. É importante destacar que esta é fisicamente impraticável, porém, para
fins de estudo, pode representar situações como choques elétricos.
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013
 Função impulso unitário
FUNÇÃO RAMPA
Pode ser obtida pela integração da função degrau. A imagem abaixo apresenta um caso
particular: a função rampa unitária.
 
Imagem: ALEXANDER; SADIKU, 2013
 Função rampa unitária
 ATENÇÃO
Podemos combinar as funções de maneira a analisar de forma única cada componente do
circuito elétrico.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. PARA A FIGURA A SEGUIR, DESCREVA A TENSÃO V(T) UTILIZANDO
AS FUNÇÕES DE SINGULARIDADE:
A) $$v\left(t\right)=8u\left(t-2\right)-8u(t-5)$$
B) $$v\left(t\right)=8u\left(t-5\right)-8u(t-2)$$
C) $$v\left(t\right)=8u\left(t-7\right)$$
D) $$v\left(t\right)=8u\left(t-3\right)$$
E) $$v\left(t\right)=8u\left(t-2\right)$$
2. REPRESENTE A FIGURA A SEGUIR EM TERMOS DE FUNÇÕES DE
SINGULARIDADE E ASSINALE A ALTERNATIVA QUE MELHOR
REPRESENTE O RESULTADO OBTIDO:
A) $$v\left(t\right)=5r\left(t-2\right)-10u(t-2)$$
B) $$v\left(t\right)=5r\left(t\right)-5r\left(t-2\right)$$
C) $$v\left(t\right)=5r\left(t\right)-5r\left(t-2\right)-10u(t-2)$$
D) $$v\left(t\right)=5r\left(t\right)-10u(t-2)$$
E) $$v\left(t\right)=10r\left(t\right)-5r\left(t-2\right)-10u(t-2)$$
GABARITO
1. Para a figura a seguir, descreva a tensão v(t) utilizando as funções de singularidade:
A alternativa "A " está correta.
 
Como o degrau se inicia em t=2, há um deslocamento no tempo. Essa função é um degrau, de
amplitude 8, que ativa em 2s e desativa em 5s. Assim, a tensão pode ser descrita pela
expressão:
$$V\LEFT(T\RIGHT)=8U\LEFT(T-2\RIGHT)-8U(T-5)$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Represente a Figura a seguir em termos de funções de singularidade e assinale a
alternativa que melhor represente o resultado obtido:
A alternativa "C " está correta.
 
Observando o gráfico, pode-se notar que este é composto de uma rampa e uma função porta
(função do exercício anterior) multiplicadas. Para resolver este problema, é necessário então
decompor a figura em subfunções singulares:
$$V\LEFT(T\RIGHT)=5T[U\LEFT(T\RIGHT)-U\LEFT(T-
2\RIGHT)]$$
 
$$V\LEFT(T\RIGHT)=5TU\LEFT(T\RIGHT)-5U\LEFT(T-
2\RIGHT)$$
 
$$V\LEFT(T\RIGHT)=5R\LEFT(T\RIGHT)-5\LEFT(T-
2+2\RIGHT)U\LEFT(T-2\RIGHT)$$
 
$$V\LEFT(T\RIGHT)=5R\LEFT(T\RIGHT)-5\LEFT(T-
2\RIGHT)U\LEFT(T-2\RIGHT)-10U(T-2)$$
 
$$V\LEFT(T\RIGHT)=5R\LEFT(T\RIGHT)-5R\LEFT(T-
2\RIGHT)-10U(T-2)$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O estudo deste material teve por objetivo a apresentação dos elementos armazenadores de
energia, suas características básicas e a forma como são utilizados nos circuitos elétricos.
Assim, mostramos exemplos de cálculos e o uso de técnicas de solução e simplificação.
No módulo 1, foram pontuados os aspectos básicos do indutor, a forma de associá-lo, o cálculo
de potência e energia. Na sequência, o módulo 2 tratou dos mesmos aspectos, no entanto,
com foco no capacitor. Por fim, no módulo 3, foram esclarecidas as dualidades entre os dois
componentes, as funções usadas para o seu estudo, todos acompanhados de exemplos de
cálculos.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5 ed. São Paulo:
McGraw Hill, 2013.
BOYLESTAD, Robert L. Introdução à análise de circuitos. Rio de Janeiro: Prentice Hall do
Brasil, 1998.
EDMINISTER, Joseph A. Circuitos elétricos: reedição da edição clássica. 2. ed. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 1991.
GUSSOW, Milton. Eletricidade básica. São Paulo: Makron Books, 1985.
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de análise de circuitos
elétricos, 2000.
MARKUS, Otávio. Circuitos elétricos: corrente contínua e corrente alternada. São Paulo:
Editora Érica, 2001.
SENAI-SP. Educação continuada: circuitos em corrente alternada. São Paulo, 2002.
CONTEUDISTA
Isabela Oliveira Guimarães
 CURRÍCULO LATTES
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