Questão resolvida - Determine os pontos da esfera xyz36 que estão mais próximos e mais afastados do ponto P(1,2,2) - multiplicadores de Lagrange - Cálculo III

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• Determine os pontos da esfera que estão mais próximos e mais x + y + z = 362 2 2
afastados do ponto .P 1, 2, 2( )
 
Resolução:
 
Queremos a maior e a menor distância entre o ponto P e a esfera, como visto na sequência;
 
 
A função distância entre um ponto na superfície da esfera e um ponto qualquer é dado por;
 
F x, y, z = d( ) 2PA
 
A distância é a distância entre 2 pontos, essa distância para o ponto P dado e um ponto dPA
qualquer sobre a superfície da esfera é dado por;
 
d =PA x - 1 + y - 2 + z - 2( )
2 ( )2 ( )2
 
Substituindo em 1, fica;
 
F x, y, z =( ) x - 1 + y - 2 + z - 2( )2 ( )2 ( )2
2
 
F x, y, z = x - 1 + y - 2 + z - 2( ) ( )2 ( )2 ( )2
 
 
 
P 1, 2, 2( )
Esfera menor distância
maior distância
A x, y, z( )
(1)
(2)
Vamos reescrever a equação da esfera como:
 
g x, y, z = x + y + z - 36 = 0( ) 2 2 2
 
Usando a relação de multiplicadores de Lagrange, temos a seguinte relação;
 
𝛻F x, y, z = 𝜆𝛻g x, y, z( ) ( )
 
Resolvendo essa relação, às distâncias extremas do ponto P à superfície da esfera. 
Primeiro, vamos encontrar os gradientes;
𝛻F x, y, z = ⟨ , , ⟩ = ⟨2 x - 1 , 2 y - 2 , 2 z - 2 ⟩( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
𝜕f
𝜕z
( ) ( ) ( )
 
𝛻g x, y, z = ⟨ , , ⟩ = ⟨2x, 2y, 2z⟩( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
𝜕f
𝜕z
 
Substituindo os gradientes encontrados em 3, fica;
 
⟨2 x - 1 , 2 y - 2 , 2 z - 2 ⟩ = 𝜆⟨2x, 2y, 2z⟩( ) ( ) ( )
 
⟨5y+ 4z, 5x+ 4z, 4x+ 4y⟩ = ⟨2x𝜆, 2y𝜆, 2z𝜆⟩
 
Isso nos leva ao seguinte sistema;
 
2 x - 1 = 2x𝜆( )
2 y - 2 = 2y𝜆( )
2 z - 2 = 2z𝜆( )
 
Isolando lambda em cada equação, temos;
 
2 x - 1 = 2x𝜆 2x𝜆 = 2 x - 1 𝜆 = 𝜆 =( ) → ( ) →
2 x - 1
2x
( )
⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪ 
x - 1
x
 
 
2 y - 2 = 2y𝜆 2y𝜆 = 2 y - 2 𝜆 = 𝜆 =( ) → ( ) →
2 y - 2
2y
( )
⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪ 
y - 2
y
 
 
 
simplificando o 2
simplificando o 2
(3)
(4)
(5)
 
2 z - 2 = 2z𝜆 2z𝜆 = 2 z - 2 𝜆 = 𝜆 =( ) → ( ) →
2 z - 2
2z
( )
⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪ 
z - 2
z
 
Igualando os lambdas de 4 e 5, temos;
 
= x - 2 y = y - 2 x xy - y = xy - 2x -y = xy - xy - 2x -y = -2x ⋅ -1
x - 1
x
y - 2
y ⏫⏪ 
( ) ( ) → → → ( ) ( )
y = 2x
Igualando os lambdas de 4 e 6, temos;
 
= x - 1 z = z - 2 x xz - z = xz - 2x -z = xz - 2xz - x -z = -2x ⋅ -1
x - 1
x
z - 2
z ⏫⏪ 
( ) ( ) → → → ( ) ( )
z = 2x
 
Sabemos que a equação da esfera é;
 
x + y + z = 362 2 2
 
Substituindo as igualdades encontrados para e em 7 e 8, temos;x y
 
 x + 2x + 2x = 36 x + 4x + 4x = 36 9x = 36 x =2 ( )2 ( )2 → 2 2 2 → 2 → 2
36
9
 
x = 4 x = ± x = ±22 → 4 →
 
substituindo os valores encontrados para x na equação 7, temos;
 
y = 2 ⋅ 2 = 4 ou y = 2 ⋅ -2 y = -4( ) →
 
substituindo o valor encontrado para z na equação 8, temos;
 
z = 2 ⋅ 2 = 4 ou z = 2 ⋅ -2 z = -4( ) →
 
Assim, há dois pontos extremos do ponto P à superfície da esfera, são eles: e 2, 4, 4( )
. Um desses pontos é máximo e o outro é mínimo, para descobrir qual desses -2,-4,-4( )
pontos é o de máximo e qual é o mínimo temos que substituí-los na equação 2;
 
 
 
simplificando o 2
 
 
(6)
(7)
(8)
(9)
Substituindo 2, 4, 4 F 2, 4, 4 = 2- 1 + 4- 2 + 4- 2 = 1 + 2 + 2( ) → ( ) ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2
 
F 2, 4, 4 = 1 + 4 + 4 F 2, 4, 4 = 9( ) → ( )
 
Substituindo -2,-4,-4 F -2,-4,-4 = -2- 1 + -4- 2 + -4- 2( ) → ( ) ( )2 ( )2 ( )2
 
F 2, 4, 4 = -3 + -6 + -6 = 9 + 36 + 36 F 2, 4, 4 = 81( ) ( )2 ( )2 ( )2 → ( )
 
Logo, temos que a máxima distância é e a mínima distância é 81 u. c. 9 u. c.