fisexp 2 - rel 2

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Física – UFRJ
Experimento 2
Oscilador Harmônico Simples
e
Oscilador Harmônico Amortecido 
Aluna: Ana Beatriz Alves Salvador
DRE: 121049963
Professor: Ramon
Turma: 15738
1.Introdução (MHS)
 O movimento harmônico simples (MHS) é um movimento periódico que acontece exclusivamente em sistemas conservativos- aqueles em que não há ação de forças dissipativas. No MHS, uma força restauradora atua sobre o corpo de modo a fazê-lo voltar sempre a uma posição de equilíbrio. A descrição do MHS é feita com base nas grandezas frequência e período, por meio de funções horárias do movimento.
 Todo MHS acontece quando uma força impele um corpo em movimento a voltar para uma posição de equilíbrio. Alguns exemplos de MHS são o pêndulo simples e o oscilador massa-mola. Em movimento harmônico simples, a energia mecânica do corpo é sempre mantida constante, mas suas energias cinética e potencial intercambiam se: quando a energia cinética é máxima, a energia potencial é mínima e vice-versa.
 As grandezas mais importantes no estudo do MHS são aquelas que são usadas para escrever as funções horárias do MHS. As funções horárias nada mais são que equações que dependem do tempo como variável.
a) Amplitude(A): mede a maior distância que o corpo em oscilação é capaz de chegar em relação à posição de equilíbrio. A unidade de medida da amplitude é o metro (m);
b) Frequência (F): mede a quantidade de oscilações que o corpo realiza a cada segundo. A unidade de medida da frequência é o hertz (Hz);
 ou 
c) Período(T): tempo necessário para que o corpo realize uma oscilação completa. A unidade de medida do período é o segundo (s);
d) Frequência Angula): mede a rapidez em que o ângulo de fase é percorrido. O ângulo de fase corresponde à posição do corpo em oscilação. Ao final de uma oscilação, o corpo terá varrido um ângulo de 360° ou 2t radianos.
 ou ou 
 – Frequência angular
 – Variação do ângulo
Sistema Massa-Mola
 O sistema possui uma mola que possui massa desprezível e obedece a Lei de Hooke: quando a mola é deslocada a partir de sua posição relaxada para uma posição x, a mesma responde com uma força elástica proporcional a distância x
Lei de Hooke: Fel=-kx, onde k é a constante elástica.
 Sendo assim, o objetivo deste experimento é de obter o valor da constante elástica da mola usada por dois diferentes métodos: estático e dinâmico
Modelo Teórico OHS
Lei de hooke:
Fel = -kx (1)
Segunda Lei de Newton:
 (2)
A solução mais geral para a equação diferencial:
X(t) = Asen(ωt+ϕ) (3)
A- amplitude 
ω- frequência angular 
ϕ ângulo de fase do movimento
Isso mostra que o movimento do objeto quando posto para oscilar pode ser definido num movimento oscilatório descrito por um senóide ou cossenóide
Pegando a equação 2, tem-se 
 (4)
Derivando a equação 3 duas vezes, tem-se:
 (5)
Substituindo a 5 em 4:
Como T = 2pi/ω:
 (6)
É relevante ainda analisar o Efeito da Gravidade sobre a molaP = m.g
Fel
m
Figura 1:Esquema da situação
 O oscilador estaria sob a ação de duas forças: A força peso e a força restauradora dada pela Lei de Hooke
 Por isso tempo a equação diferencial:
 (7)
 Obs: X é o deslocamento a partir da posição que a mola está relaxada, mas nessa situação a posição da mola relaxada não é mais a posição de equilíbrio do sistema em questão. Para a situação de equilíbrio ocorrer, a mola deve estar esticada, numa situação em que a força elástica contrabalancea a força peso, isto é:
 (8), sendo xeq a posição de equilíbrio
Reajustando a equação 7:
 (9), sendo a variação da mola em relação a posição de equilíbrio.
2.Procedimento Experimental (MHS)
 Para realizar o experimento, foram utilizados os seguintes materiais:
-Espiral de caderno(mola)
-Potinho milimetrada(10ml)
-Garrafa pet
-Fio dental
-Régua milimetrada(15cm)
-Fita durex
-Cronômetro do celular
 Com o fio dental e a fita durex, a “boca” da garrafa pet foi presa a uma das extremidades da mola, e pendurou-se a outra extremidade em um local que permitia a mola oscilar livremente.
 Na parte estática do experimento, pequenos volumes de água foram inseridos na garrafa por meio da seringa. Num primeiro momento, com a garrafa vazia, foi marcada a posição de equilíbrio da mola a partir da base da garrafa, com uma folha que foi fixada atrás do sistema. Então, foi adicionado 20 ml de água na garrafa, e a cada marcação mais 20 ml, até totalizar um total de 5 medições, chegando aos 100 ml. Para a medição foi utilizada a régua milimetrada com a incerteza de +-0,1 cm, a mesma resolução da régua.
 A anotação dos volumes para cada medição é importante pois possibilita calcular a massa da água presente na garrafa, mesmo que de forma indireta, e assim, preencher dados importantes futuramente.
Figura 2: Variação das tomadas
 Já na parte dinâmica do experimento, para a primeira tomada de dados, foi aproveitado do momento que a garrafa estava com 80ml de água para que o período de oscilação fosse de velocidade adequada, já que quanto mais leve for o objeto mais rápido ele oscila. A mola foi colocada para oscilar, e logo foram feitas o tempo de 20 oscilações com um cronômetro de resolução 0,01 segundos. Para cada tomada de um determinado volume, o tempo de 20 oscilações foi medido 5 vezes, sendo necessário a tomada com certo volume a mais, o qual foi utilizado o volume de 120 ml.
 O tempo de 20 oscilações de cada tomada foi dividido por 20, e a incerteza foi feita por meio do calculo do valor médio e desvio padrão.
 A principal diferença entre os dois métodos de medida é que o estático é baseado no equilíbrio estático onde a força elástica contrabalanceia a força peso, enquanto o método dinâmico é baseado no Movimento Harmônico Simples, onde um corpo oscila em torno de uma posição de equilíbrio devido à ação de uma força restauradora, sendo no caso do sistema massa-mola a força elástica, e que não há forças dissipativas, ou seja, a energia mecânica total do sistema é conservada. No primeiro, é necessário medir a massa do objeto(feita de forma indireta) e a distensão que ele causa na mola em relação ao ponto de equilíbrio. Por outro lado, no segundo, deve-se medir a massa e o período de oscilação que o objeto confere ao sistema.
3. Resultados (MHS)
Os dados a seguir são relacionados a parte estática.
Tabela 1: Dados coletados de forma direta no método estático
 A fim de diminuir as incertezas do volume, as medições foram realizadas novamente. Dessa vez, ao invés de ir adicionando sucessivamente 20 ml de água a cada tomada, preferiu-se retirar a toda água da garrafa inserir o volume total correspondente com o auxílio de um béquer. Por exemplo, na tomada 3, ao invés de ser a soma de volumes anteriores com o adicional, foi colocado 60 ml de uma vez. Assim, não foi necessário realizar a propagação de incerteza para o volume, tendo em vista que a mesma pode ser lida diretamente na milimetragem do béquer. No geral, as incertezas não variaram muito, sendo bem próximas as incertezas medidas pela técnica anterior.
 Com os volumes medidos e suas respectivas incertezas e a densidade da água valendo (0,997 ± 0,001) g/cm³, pode-se calcular de forma indireta a massa de água presente em cada tomada e sua respectiva incerteza por meio de propagação.
Tabela 2:Massa da água e sua incerteza em cada tomada no método estático.
 Para o método estático, tem-se a equação:
 (10)
 A massa da água foi estabelecida no eixo Y porque sal incerteza é maior que a incerteza da variação da mola. Desse modo, os seguintes valores foram colocados no gráfico:
Tabela 3: Valores correspondentes aos eixos X e Y no método estático
 Por meio do QtiPlot, foi feito o ajuste linear que então forneceu valores para os coeficientes angular e linear e a reta da equação.
Figura 3: Gráfico do ajuste linear do método estático feito no QtiPlot
Tabela 4: Coeficientes da reta do ajuste linear do método estático
 A reta exibida na Figura 2 representa a equação 10. Um detalhe que deve ser analisado é o valordo coeficiente linear. Em teoria, seu valor deveria ser zero, pois ele seria a variação da mola em relação ao ponto de equilíbrio quando a massa do objeto é nula. No entanto, devido a erros durante a execução do experimento e inerentes a ele, que serão sinalizadas ao final do relatório (parte do simples), seu valor deu diferente de zero, mesmo que próximo a ele.
 Por meio do coeficiente angular e sabendo que o valor da aceleração da gravidade vale (9,787+-0,001) m/s2, pode-se calcular o valor da constante elástica e sua respectiva incerteza para o método estático.
Tabela 5: Valor da constante elástica e sua incerteza para o método estático
 Os dados abaixo são referentes a parte dinâmica do experimento.
Tabela 6: Dados coletados de forma direta no método dinâmico(valores aproximados)
Lembrando que o experimento foi feito com volumes de 80 ml e 120 ml por motivos de velocidade de oscilação. Com a densidade da água e as fórmulas já utilizadas anteriormente, obteve-se a massa da água em cada tomada.
Tabela 7:Massa da água e sua incerteza em cada tomada no método dinâmico
 A tabela 6 mostra os valores dos períodos médios de oscilação para cada volume medido. Enquanto isso, a tabela 7 mostra a massa presente em cada tomada, que foi calculada por meio do produto entre a densidade da água e volume presente na garrafa. Para calcular a incerteza dos períodos, foi necessário encontrar, além do valor médio, o desvio padrão, que por sua vez fornece a incerteza do valor médio.
Média:
Desvio Padrão:
Incerteza do Valor Médio:
Usando essa fórmulas:
Tabela 8: Períodos médios para cada tomada no método dinâmico.
 Para o experimento dinâmico, foi formulada a equação abaixo:
 A variável m representa a massa da água somada mágua com a massa da garrafa m0, que neste momento, não é desprezível. Logo:
 (11)
 Com os períodos anteriormente, pode-se calcular valores para(T/2pi)2 e sua respectiva incerteza(fórmula a seguir) para cada tomada de dados.
Tabela 9: Valores correspondentes aos eixos X e Y no método dinâmico
 Utilizando o QtiPlot, foi feito um ajuste linear que forneceu valores para os coeficientes angular e linear e a reta da equação.
Figura 4: Gráfico do ajuste linear do método dinâmico
Tabela 10: Coeficientes da reta do ajuste linear no dinâmico
 A reta exibida na figura 5 representa a equação 11. Por meio dos coeficientes angular e linear, pode-se obter valores da constante elástica K e da massa da garrafa m0 e suas respectivas incertezas
Tabela 11: Valor para const. Elástica e massa da garrafa e suas respectivas incertezas no método dinâmico
4.Discussão de Resultados (MHS)
 Comparando os valores para a constante elástica encontrados por meio do método estático (K = 9,76) e do método dinâmico (K = 11,30) percebe-se que são bem próximos, com diferença de 1,54 unidades. Contudo, quando se compara os valores por meio da compatibilidade entre duas medidas de mesma grandeza, pela fórmula:
 Inserindo os valores correspondentes na fórmula acima, encontra-se aproximadamente 17,9. Para que duas medidas de mesma grandeza sejam compatíveis, é necessário que a discrepância entre elas seja 3x menor que a incerteza da discrepância. Logo, os valores encontrados pelos métodos estático e dinâmico não são compatíveis entre si.
 Além disso, é possível observar que a incerteza relativa da constante elástica medida pelo método estático (0,47%) é menor que a incerteza relativa da constante elástica medida pelo método dinâmico (0,58%). Isso significa que o primeiro valor para K é o mais preciso, sobretudo porque, durante a execução do método estático, houve menos erros aleatórios. Sendo assim, conclui-se que o primeiro método é o mais adequado para se medir o valor da constante elástica de uma mola se comparado ao método dinâmico.
 O método dinâmico não é feito sob condições ideais, pois, devido ao peso do objeto, sofre considerável influência da resistência do ar, ocasionando perda de energia do sistema e, consequentemente, a diminuição de sua oscilação com o passar do tempo. Além disso, é muito dependente da percepção do ser humano, principalmente em relação à cronometragem dos períodos de oscilação. Dependendo da mola, caso ela seja mais "dura", o tempo de oscilação do sistema será bem mais rápido para objetos de pouca massa. Logo, haverá um considerável atraso em acionar e parar o cronômetro, o que justifica a propagação de erros aleatórios. Por outro lado, uma vantagem que este método possui em relação ao estático é a possibilidade de medir a massa da garrafa, que no experimento encontrou-se (31+-1) g, o que é bastante razoável.
 A grande vantagem do método estático é que ele é menos dependente de erros aleatórios, sendo os erros de precisão do instrumento o propagador de incertezas. Pelo o método possibilitar uma análise estática do sistema, fica mais razoável medir os valores para a variação da mola e o volume de água, onde a incerteza dessas medidas pode ser dada pela própria incerteza do instrumento.
 Para obter resultados mais precisos no método estático, seria necessário medir, primeiramente, a massa da garrafa sem água com uma balança muito precisa. Em seguida, na primeira tomada, após adicionar água, outra medição deverá ser feita. Assim, subtraindo do segundo valor encontrado o valor para a massa da garrafa, obtém-se a massa de água presente no recipiente. Dessa forma, a medição da massa da água será feita de forma direta, o que diminui a propagação de erros, tendo em vista que anteriormente esse valor era feito através do volume e da densidade da água. Já para o método dinâmico, medir a massa da água a cada tomada da mesma forma que no método estático e gravar um vídeo das oscilações da mola e posteriormente analisá-lo em câmera lenta, marcando com maior exatidão o início e o fim das oscilações, contribuirá para a diminuição das incertezas e, assim, maior precisão.
Gravação estará disponível no final do relatório, após a discussão de resultados(MHA).
5.Introdução (MHA)
 Neste experimento, será estudado o amortecimento das amplitudes de oscilação do sistema massa-mola em função do tempo.
 Na prática, todo oscilador harmônico é de certa forma amortecido, ou seja, a oscilação do sistema não é infinita, pois possui um tempo de decaimento 2 ocasionado por processos naturais de perda de energia que faz o oscilador desacelerar ao longo do tempo até que pare de se movimentar.
 No experimento a ser realizado, apesar de o objeto estar imerso em um fluído, no caso o ar, este não será o principal mecanismo pelo qual o oscilador vai perder energia. Essa perda será ocasionada, sobretudo, devido ao atrito interno da mola. Portanto, no Oscilador Harmônico Amortecido, a força resultante será composta, além da força restauradora, discernida pela Lei de Hooke, pela força de atrito, que neste caso será estudada como se fosse a força de atrito entre o objeto e o fluido. Um sistema massa-mola imerso em um fluido sofre perda de energia, onde a amplitude do oscilador dimui gradualmente com o decorrer do tempo.
 (12)
Pela segunda Lei de Newton, tem-se:
 (13)
Sendo a equação 1 igual a 2, obtém-se:
dividindo as equações por m (15)
 (16)
Obs: onde é a frequência angular do oscilador harmônico simples
Obs2: O OHA possui frequência angular diferente:
 (17)
 A equação diferencial (17) possui soluções diferentes dependendo do regime de amortecimento que está sendo analisado. Em outras palavras, depende se o amortecimento ou atrito é muito forte ou muito fraco
(a) Movimento Sub-amortecido
-Se o amortecimento for pequeno () a massa oscila, perdendo lentamente amplitude à medida que a energia é dissipada pela(s) força(s) não-conservadora(s).
-A força restauradora é mais importante que a de atrito; o oscilador terá o seu movimento oscilatório, mas a força de atrito diminui a amplitude desse movimento até a partícula parar na sua posição de equilíbrio. O movimento resultante é chamado de movimento sub-amortecido ou suberítico
(b) Movimento Crítico
- Caso limite onde o amortecimentoé ()
- As duas forças são comparáveis; neste caso, ocorre um caso limite entre os casos (a) e (c) e o movimento é chamado de movimento amortecido crítico.
- Esse tipo de movimento tem uma aplicação prática muito grande. Ele é o princípio da construção de ponteiros de instrumentos analógicos como amperímetro, voltímetros, entre outros., onde é necessário que o ponteiro volte à posição de origem da escala no menor tempo possível. Outra aplicação, por exemplo, está na construção de mecanismos de molas que fazem portas se fecharem automaticamente, quando porta é solta, ela tem que fechar de modo tal que, ao chegar o batente, ela também esteja em repouso, para que não colida com o batente.
(c) Movimento Superamortecido
- Se o amortecimento for muito grande () a massa não oscila quando deslocada, mas tenta retornar à posição de a equilíbrio.
- A força de atrito é mais importante que a restauradora; não há movimento periódico e a partícula tende lentamente a parar na sua posição de equilíbrio sem oscilar. O movimento é dito ser movimento super amortecido super crítico
 O regime que será analisado no presente experimento é o caso (a), movimento subamortecido ou subcrítico. Nesta situação, a solução da equação diferencial 17 é:
 (18)
 A(t) é uma amplitude dependente do tempo e sua expressão matemática é um decaimento exponencial.
 (19), onde 
 A equação 19 representa a curva de decaimento exponencial das amplitudes máximas(ou mínimas) ao longo do tempo.
 O valor de 1/y representa o tempo de relaxação, simbolizado por t, que é uma constante do sistema massa-mola. O tempo de relaxação pode ser interpretado como sendo o tempo necessário para que a amplitude do sistema tenha uma redução de aproximadamente 63% do valor inicial.
 (20)
 Isso fica claro ao se substituir t = τ na equação 9, que ao final das contas fica:
 Calcular o valor do tempo de relaxação é o principal objetivo deste experimento e isso será feito de duas formas, que serão abordadas adiante.
 O tempo de relaxação também pode ser interpretado como o tempo típico de decaimento das oscilações, isto é, o tempo necessário para as amplitudes do oscilador decrescerem significativamente.
 Além disso, outra constante que se pode determinar no sistema massa-mola é o tempo de meia vida t1/2 que é o tempo necessário para que a amplitude caia a metade do seu valor inicial.
 (21)
6.Procedimento Experimental (MHA)
 Para realizar a montagem do experimento, foi necessário utilizar uma mola de caderno, fita durex, fio dental e um celular. Primeiro, prendeu-se o celular à mola com o auxílio da fita durex e do fio dental, em seguida, prendeu-se a mola à um suporte fixo. Com o aplicativo Phyphox instalado no celular, foi possível obter os valores para as acelerações das oscilações nos eixos x, y e z por meio do acelerômetro embutido no aparelho.
 Infelizmente, a opção de aceleração sem g, isto é, modo em que o aplicativo descarta a leitura do valor da aceleração da gravidade, não estava disponível para o dispositivo usado. Por isso, ele mostra uma aceleração de 9,8 m/s2 no eixo y mesmo o aparelho estando em repouso. Sendo assim, uma correção dos valores medidos terá de ser feita futuramente.
 Para iniciar as oscilações do sistema, elevou-se o aparelho um pouco acima do ponto de equilíbrio e, quase imediatamente no momento em que se iniciou leitura das acelerações, soltou-se o mesmo.
 É importante destacar que para as acelerações do eixo y corresponderem às oscilações verticais do sistema massa-mola, o celular foi fixado à mola de forma que ele ficasse “em pé”.
 Durante o decorrer das oscilações, percebeu-se que as oscilações iniciais se concentravam majoritariamente no eixo y, isto é, o aparelho quase não oscilava nos eixos x e z. Entretanto, depois de um certo tempo no qual as oscilações diminuíram drasticamente, ficou mais notável o deslocamento do aparelho nos outros eixos além do y, onde pareceu que o sistema não mais oscilava em relação ao eixo y, mas fazia círculos no plano xz. Apesar de haver uma tentativa de fazer o aparato oscilar ao máximo apenas em relação ao eixo y, erros aleatórios surgirão de qualquer forma devido aos materiais utilizados para realizar a montagem do experimento. O tempo esperado para o sistema massa-mola ficar oscilando com amplitudes muito baixas foi em torno de 92,2 segundos (este valor pode ser estipulado na leitura do eixo t(s) do gráfico disponibilizado pelo aplicativo Phyphox). Com a coleta dos dados cessada, o aplicativo forneceu três gráficos com as respectivas acelerações nos eixos x, y e z, como pode ser visto nas figuras abaixo, com destaque para a aceleração no eixo y.
Figura 5:Acelerações nos eixos x,y,z durante Figura 6:Aceleração do sistema massa-mola 
 a oscilação do sistema massa-mola no eixo y
 Os dados referentes as oscilações da aceleração em relação ao eixo y foram exportados para análise. Os valores foram computados no programa QTiPlot, o qual construiu um gráfico que possibilitou a leitura dos valores para o tempo e para aceleração nos pontos da curva.
7. Resultados e discussão(MHA)
Figura 7: Gráfico dos valores fornecidos pelo Phyphox das acelerações ao longo do tempo das oscilações do sistema massa-mola relação ao eixo y com desvio de g fornecido pelo QtiPlot.
 Para obter os valores reais do sistema massa-mola sem o desvio de g, foi necessário subtrair de todos os valores das acelerações em relação ao eixo y o valor de 9,80, que corresponde ao valor da aceleração da gravidade segundo as especificações do aplicativo Phyphox. Desse modo, obteve-se o gráfico a seguir:
Figura 8: Gráfico dos valores fornecido pelo Phyphox das acelerações ao longo do tempo das oscilações do sistema massa-mola em relação ao eixo y sem o desvio de g fornecido pelo QtiPlot.
 Por meio de ferramentas disponíveis dentro do programa QtiPlot, como zoom e leitura de dados (data reader), foi possível estimar os valores das amplitudes máximas e o respectivo tempo no qual este valor foi atingido com grande precisão. A partir da maior amplitude, isto é, da maior aceleração atingida pelo sistema massa-mola, que no caso é a correspondente ao “tempo zero”, momento em que o celular estava deslocado um pouco acima do ponto de equilíbrio e foi solto em seguida, foram anotados os valores a cada 4 amplitudes máximas. No total, foram coletados os valores referentes a 11 pontos, mostrados na tabela a seguir. Vale ressaltar que o ponto máximo em cada pico de amplitude máxima teve quer ser escolhido a olho nu, mesmo com zoom alto. Sendo assim, uma taxa de incerteza para cada aceleração nesses pontos teve de ser estimada, percebendo-se que os valores variavam s em torno de 0,08 nesses picos.
Tabela 12: Acelerações máximas do sistema massa-mola em determinados instantes t.
 Como pode ser visto na Tabela 12, a maior aceleração do sistema massa-mola não corresponde exatamente a t=0. Isso se deve ao atraso em soltar o celular após iniciado a leitura de dados do Phyphox. Contudo, isso pode ser corrigido subtraindo de todos os tempos o valor de 0,44 segundos, ação que deslocará horizontalmente os pontos para a esquerda, fazendo com que o tempo da aceleração máxima do sistema corresponda a t=0. Esse ajuste pode e deve ser feito para que esse erro acidental não influencie no valor do tempo de relaxação e, consequentemente, no valor do tempo de meia-vida.
Tabela 13: Acelerações máximas do sistema massa-mola em determinados instantes t.
 A fórmula 18 representa o valor das amplitudes do deslocamento do sistema massa-mola em função do tempo. Derivando duas vezes essa função, é obtido o valor das amplitudes das acelerações em função do tempo.
(𝑥(𝑡))′′ = (𝐴(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + ∅))′′
 (22)
 O termo representa a curva de decaimento exponencial das amplitudes máximas(ou mínimas) das acelerações ao longo do tempo. O ajuste exponencial da curva obtida por meio dos dados da Tabela 13 representa a curva definida por esse termo.
 (23)
Figura9: Gráfico ajuste do decaimento exponencial da amplitude da aceleração em função do tempo.
 Como y=1/, é obtido:
 (24)
 Após substituir t por :
 Ou seja, matematicamente, o tempo de relaxação será aquele valor t que fará a função am(t) ser igual a a0/e.
 O ajuste exponencial feito pelo QtiPlot forneceu para a0, que representa a amplitude quando t=0, o seguinte valor e sua respectiva incerterza:
 Dividindo-se a0 pelo valor do número neperiano, que é igual a aproximadamente 2,7182818285, obtém-se (1,39+-0,02)m/s2.
 (25)
 Por meio da ferramenta Draw Line do QTiPlot, foi possível traçar uma reta horizontal a partir desse valor no eixo y que fosse o mais próximo possível do valor 1,39. Além disso, a partir da intersecção dessa reta com a curva do ajuste exponencial, foi possível traçar outra reta, dessa vez vertical, que partisse dessa intersecção e cruzasse o eixo x. O ponto em que esta reta, vertical cruza o eixo x corresponde ao tempo de relaxação calculado por meio do ajuste de decaimento exponencial das amplitudes máximas da aceleração do sistema massa-mola ao longo do tempo.
Figura 10: Retas auxiliares
 Salienta-se que, apesar do zoom disponível no QTiPlot haver facilitado a visualização da intersecção, a construção da reta vertical teve de ser feita a olho nu e, portanto, foi considerada uma incerteza de 0,1 s para o tempo de relaxação.
Tabelo 14: Tempo de relaxação obtido por meio do ajuste exponencial.
 Aplicando logaritmo natural nos dois lados da equação (23), obtém-se:
 (26)
 Calculando-se os logaritmos naturais das divisões das acelerações da Tabela 13 por a0=(3,79 + 0,02) m/s, bem como suas respectivas incertezas, encontra-se os dados da tabela abaixo.
 (27)
Tabela 15: Valores referentes a Iinearização da equação (23)
 Colocando os valores correspondentes aos eixos x e y no QtiPlot e aplicando o ajuste linear, é construído o gráfico a seguir, onde são obtidos os coeficientes angular (m) e linear (n).
Figura 11: Gráfico ajuste linear da linearização da equação(23)
Tabela 16 Coeficientes angular e linear da reta do ajuste linear
 Como m = -y, o tempo de relaxação será definido por = -1/m, e sua incerteza por .
Tabela 17: Tempo de relaxação calculado por meio do ajuste linear do decaimento exponencial da aceleração do sistema massa-mola ao longo do tempo
 Para o tempo de meia-vida:
 Analisando a compatibilidade entre os valores encontrados para o tempo de relaxação por meio do ajuste exponencial e do ajuste linear, obtém-se:
 (28)
 Como a discrepância entre as medidas é 3x menor que a incerteza da discrepância, elas são compatíveis entre si.
 Aplicando a fórmula (28) para os valores do tempo de meia-vida e suas respectivas incertezas encontrados por meio dos dois ajustes, tem-se:
 Isso mostra que os valores obtidos de formas diferentes para o tempo de meia vida são compatíveis entre si.
 A Figura 8 apresenta o gráfico dos valores das acelerações ao longo do tempo no sistema massa-mola durante as oscilações. Contudo, durante os primeiros instantes, percebe-se que foi registrado acelerações negativas. Essas acelerações correspondem justamente ao momento em que houve um atraso em acionar o aplicativo, onde foi coletado acelerações ocasionadas pela movimentação proporcionada pelo manuseio do celular neste curto espaço de tempo. Como o aplicativo captura as acelerações a cada 0,003967 segundos, foi possível averiguar com bastante precisão o momento em que a aceleração máxima (ou amplitude máxima) foi atingida (Tabela 18). 
 Anteriormente, essa constatação foi feita com auxílio do programa QTiPlot e as ferramentas inclusas nele, como zoom e data reader, mas também dependeu da visualização a olho nu, o que acarretou numa estimativa de incerteza do valor da amplitude da aceleração máxima. Naquela ocasião, foi visto que a aceleração máxima era (3,47 + 0,08) m/s', a qual foi atingida no instante t=0,47 s. Comparando com o valor encontrado na coluna C da Tabela 18, pode-se perceber que, ao se arredondar os valores para duas casas decimais, eles se tornam iguais, bem como o instante t. Ou seja, a estimativa dada inicialmente é compatível com a análise mais aprofundada desses valores. Todavia, vale ressaltar que só é possível estimar o instante t em que n a aceleração máxima é atingida com precisão de no máximo duas casas decimais. Isso se deve à resolução de 0,000001 do aplicativo Phyphox, que mostra, para três instantes diferentes quando analisado com mais de duas casas decimais, a mesma aceleração máxima.
Tabela 18: Parte dos dados fornecidos pelo aplicativo Phyphox onde se pode constatar o instante em que a aceleração máxima do sistema massa-mola foi atingida.A coluna B corresponde aos valores com desvio de g, enquanto a coluna C corresponde aos valores sem desvio de g.
 Partindo do instante em que a aceleração máxima é atingida, que em teoria corresponde a t=0, construíu-se um novo gráfico, semelhante ao apresentado na Figura 8, mas com os novos valores e o fator de correção do tempo, o qual já foi discutido anteriormente, isto é, para t = 0, a= 3,473191 m/s2. Em resumo, os valores anteriores à aceleração igual a 3,473191 m/s2 são descartados e o gráfico é deslocado 0,44 unidades para a esquerda.
 Relembrando que o tempo de relaxação () corresponde ao tempo necessário para que a amplitude do sistema tenha uma redução de aproximadamente 63% do valor inicial. Pode-se dizer que, no instante , a amplitude da aceleração será igual a (1/e).3,4731911,277772.
 Construindo retas auxiliares no novo gráfico para estimar onde aproximadamente esse valor para a amplitude da aceleração é atingido, obtém-se = 14,8 s, onde a incerteza foi estimada em 0,1 s (0,68%) devido ao fato de a intersecção entre as retas com o gráfico das amplitudes ter sido novamente feita a olho nu.
Figura 12: Gráfico da amplitude em função do tempo com os valores ajustados e as retas auxiliares
 Comparando esse valor estimado no gráfico da amplitude da aceleração em função do tempo com os valores obtidos nos métodos anteriores, constata-se:
Tabela 19: Compatibilidade entres os valores encontrados para o tempo de relaxação por diferentes métodos.
Tabela 20: Incertezas relativas dos valores para o tempo de relaxação estimados pelos diferentes métodos.
 Conclui-se que, portanto, que a medida mais precisa é aquela encontrada por meio do método de Visualização no Gráfico das Amplitudes, pois possui a menor incerteza relativa. Contudo, cabe ressaltar que a incerteza relativa estimada por este método é igual a estimada no método do Ajuste Exponencial, e ambas são feitas a olho nu, sem qualquer tipo de cálculo. Ambas as medidas feitas por esses dois métodos são mais precisas em comparação com a feita pelo método do Ajuste Linear, a qual possui a maior incerteza relativa.
 Além disso, tomando 14,8 s como o valor de referência, nota-se que o valor obtido por meio do ajuste linear é o mais exato, pois possui menor discrepância relativa.
 O fato de o valor obtido por meio do ajuste linear ser o menos preciso dos três métodos é que ele é mais dependente dos últimos pontos do gráfico, os quais contém maiores incertezas, como pode ser visto na figura 11. Como explicitado no, Procedimento Experimental, conforme as amplitudes da aceleração em relação ao eixo y diminuía com o passar do tempo, as acelerações em relação aos outros eixos passaram a ter maior influência no sistema, pois seus valores estavam se aproximando em módulo, como pode ser averiguado na Figura 5. Apesar de no início das oscilações, as amplitudes da aceleração nos eixos x e z sejam altas, elas são relativamente pequenas se comparas à amplitude da aceleração no eixo y. Por isso, nos últimos instantes, o sistema massa-mola não mais oscilava somente em relação ao eixo y, mas produzia um movimento circulatório em relação ao plano xz, o que acarretou em maiores incertezas nas amplitudes da aceleração em relação ao eixo y nos últimos instantes e, consequentemente, fez com que o valor obtido para o tempo derelaxação no ajuste linear fosse o menos preciso.
 Para o tempo de meia vida, isto é, o tempo necessário para a amplitude da aceleração diminuir pela metade, tem-se:
Figura 13: Tempo de meia-vida observado no novo gráfico ajustado.
 Dividindo-se o valor de a0, por 2, ou seja, dividindo-se o valor da amplitude (ou aceleração) inicial por 2, encontra-se aproximadamente 1,74. Traçando retas auxiliares para encontrar o valor do instante t correspondente, obtém-se 10,71 s. Como a visualização da intersecção das retas é feita a olho nu, estimou-se uma incerteza de 0,05 segundos em relação ao instante que corresponde ao tempo de meia-vida obtido por visualização direta no gráfico das amplitudes.
Tabela 10: Tempo de meia-vida obtido por diferentes métodos,
Tempo de Meia-Vida
 Utilizando as fórmulas de média, desvio padrão e incerteza do valor médio, é obtido como valor médio do tempo de meia-vida, bem como sua respectiva incerteza, os seguintes resultados:
8 Referências
*Aula da UFMG
*MundoEducação
*KhanAcademyBrasil
*University Physics Volume 1
9 Vídeo de Demonstração dos experimentos
Link: https://youtu.be/H6GkTRXaJv0