Lista 9

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FFI 112: Física Matemática I
Lista # 9...........17 - 04 - 13
1.- Expandir em série de Taylor, nas vizinhanças do ponto z = a, as seguintes funções:
(1) 1
z+2 a = 0 (2) 1z2−1 a = 0 (3) e−z a = 1 (4) 1z a = 1
Determine o raio de convergência.
2.- Usando a ”série geométrica ”:
1
1 − z = ∑
n=0
+∞
zn
válida quando |z| < 1, demonstre as seguintes relações:
(1) 1
1−z2
= ∑
0
∞
n + 1zn (2) 2
1+z3
= ∑
0
∞
−1nn + 1n + 2zn (3) 1
z2+a2
= ∑
0
∞
−1na−2n−2z2n
3.- Determine o desenvolvimento de Taylor, no entorno de z = 0, das seguintes funções:
(1) 1
z+1z−2 (2) z
3
z2+1z−1
(3) sinz. cosz
Determine o raio de convergência.
4.- Determine a expansão de Taylor, no entorno de z = 0, das funções fz que são
analíticas no entorno de z = 0 e que satisfazem as seguintes relações:
(1) f ′z = fz, f0 = 1, R: ∑ zn
n! 
(2) 1 + z2f ′z = 1, f0 = 1 R: ∑−1n z2n+12n+1 
(3) fz = z + fz2, f0 = 0, R: ∑ z2n
5.- Expandir em série de Taylor, no entorno de z = 1, a função: fz = z
z+2 . Determine o
raio de convergência.
6.- Série binomial. Determine a expansão de Taylor da função
fz = 1 − zr = ∑
n=0
+∞
cnzn,
onde o expoente r é um real qualquer e |z| < 1. Considere o caso particular (importante)
em que r = −1/2; determine os coeficientes cn explicitamente.
7.- Determine a expansão de Taylor, nas vizinhanças de z = 0, com |z| < 1, das
seguintes funções:
(1) log1 − z (2) log1 + z (3) 1z log 1−z1+z  (4) 11+z2
Determine o raio de convergência.
1
8.- Seja fz uma função analítica num domínio D ⊂ C, limitado por uma curva fechada
C. Usando as integrais de Cauchy, prove a relação:
|fnz| ≤ n!2π ∮
C
fw
w − zn+1
dw ≤ n!2π .
M. L
rn+1
em que:
M = maxw∈C |fw| ; r = minw∈C |w − z| ; L = ∮
C
|dw|.
2