Exercícios Resolvidos - Módulo 3

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Ministério da Educação 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul 
Campus Canoas 
Curso de Matemática: Análise Combinatória (MOOC – EaD) 
Professores: Carina Andrade, Cláudia Fogliarini, Eduardo Pompermayer e Mariana Duro 
 
 
 
Exercícios Resolvidos - Módulo 3 
 
Gabarito 
 
Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Questão 5 
151.200 
anagramas 
420 
anagramas 
12 
anagramas 
3003 modos 35ª posição 
 
 
1) Quantos são os anagramas que se pode formar com as letras da palavra 
MATEMÁTICA? 
A palavra MATEMÁTICA tem 10 letras, sendo que as letras M e T aparecem duas 
vezes cada uma e a letra A aparece três vezes. 
Temos que fazer, então, o cálculo da permutação de 10 elementos, sendo 2, 2 e 
3 as quantidades de repetições das letras M, T e A, respectivamente. Temos, 
então: 
𝑃10
(2,2,3)
= 
10!
2!2!3!
= 151.200 
 
Logo, a palavra MATEMÁTICA possui 151.200 anagramas distintos. 
 
 
 
2) (OBMEP) Quantos são os anagramas da palavra BANANADA que começam com 
consoante? 
A consoante N aparece duas vezes, enquanto as consoantes B e D aparecem uma 
vez cada. Por isso, devemos separar o problema em dois casos: anagrama 
começando com N e anagrama começando com B ou D. 
 
1º caso: O anagrama começa com N 
Neste caso, fixamos o N como a primeira letra e permutamos as sete letras 
restantes, considerando que a letra A aparece quatro vezes: 
𝑃7
(4)
= 
7!
4!
= 210 
 
2º caso: O anagrama começa com B ou D 
Para a primeira letra, temos duas opções, e para as seguintes temos sete letras 
para permutar, considerando que a letra A aparece quatro vezes e a letra N 
aparece duas vezes: 
2.𝑃7
(4,2)
= 
7!
4!2!
= 210 
 
O total de anagramas possíveis é o resultado da soma dos valores encontrados 
nos dois casos: 
210 + 210 = 420 
Ministério da Educação 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul 
Campus Canoas 
Curso de Matemática: Análise Combinatória (MOOC – EaD) 
Professores: Carina Andrade, Cláudia Fogliarini, Eduardo Pompermayer e Mariana Duro 
 
 
 
 
Portanto, há 420 anagramas da palavra BANANADA que começam com 
consoante. 
 
 
3) (OBMEP) Quantos são os anagramas que se pode formar com as letras da palavra 
BATATA nos quais as vogais estejam sempre juntas? 
Como queremos as vogais sempre juntas, vamos tratá-las como sendo um único 
bloco (letra). Assim, temos que lidar com a permutação de quatro elementos, 
sendo que o T aparece duas vezes: 
𝑃4
(2)
= 
4!
2!
= 12 
Logo, há 12 anagramas da palavra BATATA nos quais as vogais estão juntas. 
 
 
 
4) (OBMEP) Quinze pessoas, sendo 5 homens de alturas diferentes e 10 mulheres 
também de alturas diferentes, devem ser dispostas em fila, obedecendo ao 
critério: homens em ordem crescente de altura e mulheres em ordem 
decrescente de altura. De quantos modos diferentes essas 15 pessoas podem 
ser dispostas na fila? 
Se são quinze pessoas, teremos quinze lugares na fila. 
Como existe uma sequência fixa de posicionamento entre os homens, ou seja, 
primeiro deve estar o menor, depois o segundo menor e assim por diante, 
precisamos apenas escolher as cinco posições, dentre as quinze, para os homens. 
O mesmo acontece para as mulheres. 
Sendo assim, resolver esse problema é o mesmo que contar a quantidade de 
anagramas de uma palavra com cinco letras iguais e outras dez letras iguais 
(permutação com repetição). Temos então: 
 
𝑃15
(5,10)
= 
15!
5!10!
= 3003 
 
Então, há 3003 modos diferentes de dispor essas 15 pessoas em fila. 
 
 
5) Colocando em ordem crescente os números resultantes das permutações dos 
algarismos 1, 3, 3, 7, 9, que posição ocupará o número 39713? 
Devemos determinar quantos números obtidos permutando os algarismos 1, 3, 
3, 7 e 9 são menores que 39713. 
São menores que 39713 todos os que começam com 1 e alguns dos que 
começam com 3. 
● Se começar com 1, para as outras quatro posições devemos permutar os 
algarismos 3, 3, 7 e 9, ou seja, temos: 
Ministério da Educação 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul 
Campus Canoas 
Curso de Matemática: Análise Combinatória (MOOC – EaD) 
Professores: Carina Andrade, Cláudia Fogliarini, Eduardo Pompermayer e Mariana Duro 
 
 
 
𝑃4
(2)
= 
4!
2!
= 12 
● Se começar com 3, temos que analisar dois casos separadamente: o 2º 
algarismo é 1, 3 ou 7; e o 2º algarismo é 9. 
➔ Se o 2º algarismo for 1, 3 ou 7, para as outras três posições 
devemos permutar três elementos, todos distintos: 
3. 𝑃3 = 3.3!= 18 
➔ Se o 2º algarismo for 9, o 3º algarismo deve, obrigatoriamente, 
ser 1 ou 3 e para as duas últimas posições devemos permutar dois 
elementos distintos: 
 
2. 𝑃2 = 2.2!= 4 
 
E assim, temos 12 + 18 + 4 = 34 números menores que 39713. 
Logo, o número 39713 ocupa a 35ª posição.