Exercícios Resolvidos de Geometria Plana

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1 
 
 
1) Observe a figura abaixo formada por três quadrados: 
 
Quanto mede a área do triângulo em azul? 
SOLUÇÃO: 
Aplicando o Teorema de Pitágoras temos que a diagonal do quadrado mede: 
2 2 23 3 9 9 18 18 3 2d d= + = + =  = = 
 
ÁREA DO TRIÂNGULO SABENDO-SE DOIS LADOS E O ÂNGULO ENTRE ELES: 
( )( )
2
lado lado sen
A

= 
Logo a área do triângulo azul é: 
( ) ( )
( ) 2
3.3 2 135º 9 2 180 135º
2 2
2
9 29 2 45º 92
2 2 2
sen sen
A
sen
A cm
−
= =
= = =
 
 
 
 
 
 
2 
 
2) Observe a figura abaixo: 
 
Qual a medida da área do triângulo em azul? 
SOLUÇÃO: 
Devemos determinar primeiro as coordenadas dos vértices do triângulo em azul. 
Coordenadas do vértice B: Coordenadas do vértice A: 
3 6
6
0
(0;6)
x y
y
x
B
+ =
 =
= 
3 6
2
0
(0;2)
x y
y
x
A
+ =
 =
= 
Coordenadas do vértice C: 
( )
3 6 3 6
3 6 3 3 9 18
12 3
8 12
8 2
3 3 9 9 3
3 6 3 6 3
2 2 2 3 2 2
3 3
;
2 2
x y x y
x y x y
y y
x x x x x
C
+ = + =
 + 
+ = − − − = − 
− = −  = =
+ =  = −  =  =  =

 
 
 
 
Fórmula do Determinante para determinar a área de um triângulo de vértices , ,A B C : 
( ) ( ) ( ); , ; , ;
1
1
1
2
1
A A B B C C
A A
B B
C C
A x y B x y C x y
x y
S x y
x y
=  
Portanto, a área do triângulo em azul é: 
( ) ( )
( )
3 3
0;6 , 0;2 , ;
2 2
0 6 1
1
0 2 1
2
3 3
1
2 2
1 3 3 1 1
0 0 6 2 0 0 9 3 6 3
2 2 2 2 2
A C E
S
S
 
 
 
= 
 
= + +  + −  − − = − =  = 
 
 
 
 
3 
 
3) Seis polias circulares de 10cm de raio encontram-se centradas em um hexágono regular 
de 30cm de lado (veja figura). 
 
Qual o comprimento de uma correia que passa por estas polias fazendo funcionar o 
sistema? 
SOLUÇÃO: 
Observe a figura: 
 
Em cada uma das 6 polias o comprimento da correia que passa por elas é dado por: 
060
3
 em radianos
10
3
P
rad
C R
C

 

=
=
=
 
O comprimento total da correia é: 
( ) ( )6 6 30 6 10 180 20 180 20 9
3
PC C cm

 = + = + = + = + 
4) Observe a figura abaixo formada por dois quadrados com centros nos pontos M e N . 
 
O comprimento do segmento MN é: 
 
4 
 
SOLUÇÃO: 
Observe a figura abaixo. 
 
No triângulo retângulo NHM temos seus catetos medindo: 
8 6
4 3 7
2 2
3 2 1
MH
NH NI HI
= + = + =
= − = − =
 
Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras, a hipotenusa mede: 
2 2 2 2 27 1 49 1 50
50 2 25 5 2
MN MH NH
MN
= + = + = + =
= =  =
 
5) No octógono regular ABCDEFGH abaixo as semirretas FE e BC se encontram no ponto 
I . 
 
A medida do ângulo EIC = é: 
SOLUÇÃO: 
A soma nS dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer de n lados é: 
( ) 02 180nS n= − 
Neste caso o polígono é um octógono, isto é, tem 8 lados, portanto, a soma de seus ângulos 
internos é: 
( ) 0 0 08 8 2 180 6 180 1080S = − =  = 
Como o octógono é regular, possui seus 8 ângulos internos de mesma medida, ou seja, cada 
ângulo interno é: 
01080 135
8
= 
5 
 
 
Observando agora apenas o quadrilátero CDEI e lembrando que a soma dos ângulos internos 
de quadrilátero convexo é 0360 , temos: 
0 0 0 0 0 0
0 0
0
45 225 45 360 315 360
360 315
45
 


+ + + =  + =
= −
=
 
6) Na figura abaixo os pontos E, F, G e H são, respectivamente, os pontos médios das 
semidiagonais AO, BO, CO e DO do quadrado ABCD . 
 
A área total dos quatro quadriláteros congruentes em azul é: 
SOLUÇÃO: 
Na figura dada vamos destacar o seguinte triângulo OCD . 
 
O ponto H é o ponto médio do lado OD do triângulo e G é o ponto médio do lado OC do 
triângulo, portanto: 
I. o segmento HG é base média do triângulo, portanto, mede a metade da base DC , isto 
é: 
6
3
2 2
DC
HG HG=  = = 
II. o ponto U é o ponto médio do segmento OM , como este segmento mede 3 , os 
segmentos OU e UM medem 1,5 cada. 
III. o ponto K é o baricentro deste triângulo (interseção das medianas), relembrando o 
teorema do baricentro: 
6 
 
 
Teorema do Baricentro: 
As medianas de um triângulo interceptam-se num ponto chamado baricentro que divide 
cada mediana em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra. 
 
 
Neste caso: 
2
2
3 2 3 3 3
1 1 e 2
OK KM
KM x OK x
OK KM x x x
x KM OK
=
=  =
+ =  + =  =
=  = =
 
Como 2OK = e 1,5OU = temos então 0,5UK = . 
Nossa figura fica assim: 
 
Vamos agora calcular a área de alguns triângulos desta figura para determinarmos a área total 
dos triângulos em azul. Usaremos repetidas vezes a fórmula da área do triângulo como 
metade do produto da base pela sua altura (perpendicular a base). 
Triângulo OCD : Triângulo OGH : 
1
6 3 9
2
OCDS =  = 
1
3 1,5 2,25
2
OGHS =  = 
Triângulo HGK : Triângulo KCD : 
1
3 0,5 0,75
2
HGKS =  = 
1
6 1 3
2
KCDS =  = 
Levando estes valores calculados das áreas para a figura em destaque temos: 
7 
 
 
A área total dos triângulos azuis vale: 
2 9 (3 0,75 2,25) 9 6 3
3
1,5
2
A
A
= − + + = − =
= =
 
Como a figura original é formada por quatro destas figuras em destaque a área total em azul 
é: 
4 1,5 6S =  = 
7) Considere o quadrilátero ABCD . 
 
Sua área é: 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
8 
 
Fórmula do Determinante para determinar a área de um triângulo de vértices , ,A B C : 
( ) ( ) ( ); , ; , ;
1
1
1
2
1
A A B B C C
A A
B B
C C
A x y B x y C x y
x y
S x y
x y
= 
 
Portanto, a área do triângulo em BCDT é: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1;2 , 4;3 , 1;0
1 2 1
1
4 3 1
2
1 0 1
1 1 1
3 0 2 3 8 0 2 14 12 6
2 2 2
BCD
BCD
B C D
T
T
−
−
= 
= − + + − − + = − =  − =
 
E a área do triângulo em BADT é: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1;2 , 2; 3 , 1;0
1 2 1
1
2 3 1
2
1 0 1
1 1 1
3 0 2 3 4 0 8 4 4 2
2 2 2
BAD
BAD
B A D
T
T
− −
−
=  −
= + + + − + = − =  =
 
A área do quadrilátero será, então: 
6 2 8BCD BADS T T= + = + = 
8) Observe a figura abaixo. 
 
A sua área é: 
SOLUÇÃO: 
Considere os triângulos retângulos CDF , BCE e CDG . Como suas hipotenusas BC e CD 
são congruentes, estes triângulos são congruentes. (veja figura), logo, a área do quadrilátero 
ABCD é igual a área do retângulo AECG que vale: 
10 10 100AECG ABCDS S= =  = 
9 
 
 
9) Considere o retângulo abaixo: 
 
Dois pontos G e H encontram-se no lado BC do retângulo ABCD . Se o triângulo EGF 
e EHF são triângulos retângulos de hipotenusa EF , as coordenadas dos pontos G e H 
são: 
SOLUÇÃO: 
Vamos traçar a circunferência de centro O e raio OE cuja equação é: 
2 2 2 2 2 9x y r x y+ =  + = 
 
Como EF é seu diâmetro os triângulos EHF e EGF são triângulos retângulos. As 
coordenadas desses pontos são: 
2 2 2 2
2 2
2
2 9 4 9 5 5
9
y
x x x x
x y
=
 + =  + =  =  = 
+ =
 
Portanto, temos: ( ) ( )5;2 ; 5;2G H − 
 
 
10 
 
10) Em um quadrado ABCD de 50cm de lado quatro triângulos retângulos isósceles com 
catetos medindo 30cm são colocados nos quatro cantos do quadrado, conforme mostrado 
abaixo. 
 
A área da região dentro do quadrado não coberta pelos quatro triângulo, sombreada em verde 
é: 
SOLUÇÃO: 
De acordo com os dados da questão, temos: 
 
Aplicando o Teoremas de Pitágoras ao triângulo retângulo isósceles de catetos 20cm e 
hipotenusa x : 
2 2 2 2 220 20 400 400 800x x x= +  = +  = 
Portanto a área do quadrado em verde é: 2800S cm= 
11) Observe a figura abaixo: 
 
O comprimento do segmento MN é: 
11 
 
SOLUÇÃO: 
O segmento MN está contido na reta t cuja equação pode ser obtida da seguinte forma: 
( ) ( )
:
3;0 , 0;6
0 3
6 0 6
6
3 6 0 3 6 2
3
: 2 6
t y ax b
A B t
A t a b
B t a b b
a a a
t y x
= +


  = +

  = +  =
−
+ =  = −  = = −
= − +
 
As coordenadas dos pontos M e N , extremidade do segmento MN são dadas por: 
( )
: 5
;
: 2 6
1
2 6 5 2 6 5 2 1
2
M
M M
M M
M M M M
r yM x y
t y x
x x x x
=

= − +
− + =  − = − + − = −  = −
 
( )
: 3
;
: 2 6
2
2 6 3 2 6 3 2 3
3
N
N N
N N
N N N N
s y
N x y
t y x
x x x x
=

= − +
− + =  − = − + − = −  = −
 
 
Logo, 
1
;5
2
M
 
− 
 
 e 
2
;3
3
N
 
− 
 
 
O comprimento do segmento MN é: 
( )
2
22 1
3 5
3 2
MN
  
= − − − + −  
  
 
12 
 
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 22 1 4 3 1
2 2 2
3 2 6 6
1 1 144 145 145
4
36 36 36 6
MN
MN
− +     
= − + + − = + − = − + −     
     
+
= + = = =
 
12) A área do triângulo isósceles de base EF , em vermelho, inscrito no quadrado de lado 9cm 
é: 
 
SOLUÇÃO: 
Observe a figura abaixo: 
0 9 3 9 18 18 3cos30 6 3
2 33
BC
BF
BF BF BF
= =  =  = = = 
 
A área do triângulo em vermelho é, utilizando-se a fórmula do seno: 
( )( )
2
lado lado sen
A

= 
( ) ( ) ( )( ) 16 3 6 330 36 32 27
2 2 4
BEF
BE BF sen
A

= = = =