exercicio 1 e 2ordem equação diferencial

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4
ÁREA 2
1o¯ Semestre de 2019
Professor Pablo Braz e Silva
Departamento de Matemática, sala A220
Endereço eletrônico: pablo@dmat.ufpe.br
Turma: Q5
Atendimento: agenda prévia
Monitoria:
Objetivo da disciplina: Apresentar ao estudante algumas técnicas e resultados básicos de equações
diferenciais ordinárias e parciais.
Livro texto: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, de BOYCE &
DiPRIMA, Ed. Guanabara Dois .
CRONOGRAMA E PROGRAMA
Conteúdo programático: Conceitos introdutórios e classificação das equações diferenciais.
Equações diferenciais de primeira ordem. Obtenção de soluções de equações lineares, separáveis, exatas,
não exatas com fatores integrantes simples, etc... Algumas aplicações das equações de primeira ordem.
Equações diferenciais de segunda ordem, propriedades gerais das soluções, solução das homogêneas com
coeficientes constantes. Equações lineares não homogêneas, método dos coeficientes a determinar e método
da variação dos parâmetros. Estudo introdutório das oscilações lineares livres e forçadas. Transformada
de Laplace, propriedades fundamentais, e utilização para resolução de equações diferenciais. Equação do
calor. Método de separação de variáveis. Séries de Fourier, propriedades básicas e aplicações. Equação
da onda, vibrações em uma corda elástica. Equação de Laplace.
1a¯ UNIDADE. Aulas: 18-02-2019 a 25-03-2019 (9 aulas). 1
o Exerćıcio: 27-03-2019
2a¯ UNIDADE. Aulas: 03-04-2019 a 08-05-2019 (10 aulas). 2
o Exerćıcio: 15-05-2019.
3a¯ UNIDADE. Aulas: 20-05-2019 a 12-06-2019(8 aulas) 3
o Exerćıcio: 19-06-2019.
Segunda chamada: 28-06-2019
Exame final: 08-07-2019
Exame de equivalência/segunda chamada. Apenas o Coordenador da Área 2 pode autorizar um
exame de segunda chamada para o aluno. Sob nenhuma condição a Coordenação de Cálculo 4 permitirá
que algum aluno faça o exame de segunda chamada se o seu nome não constar na lista expedida pela
Coordenação da Área 2.
Exerćıcios. O livro texto é bastante rico em bons exerćıcios, de maneira que o aluno pode restringir-se
aos exerćıcios do Boyce & DiPrima se assim o desejar. Segue abaixo uma lista de exerćıcios com problemas
de exerćıcios escolares de semestres anteriores.
LISTA DE EXERĆICIOS1
Os problemas que seguem foram propostos em exerćıcios escolares em peŕıodos anteriores.
Para localizar no tempo, a prova que originou um problema dado, cada um deles terá uma sigla do tipo
(n-pq,uv), onde n é 1 ou 2 para indicar o semestre, pq, é o ano, 80 ≤ pq ≤ 97, e uv pode assumir os
valores, pe (primeiro exerćıcio), sc (segunda chamada) ou pf (prova final). Como às vezes acontece de um
professor fazer modificações em uma questão de um exerćıcio escolar, no momento de aplicá-lo, e, eu não
tive acesso a nenhuma dessas mudanças, pode acontecer que alguns desses problemas não correspondam
exatamente ao que foi proposto nas avaliações.
1- ( 1-95,pe) Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais, resolvendo o problema de
valor inicial correspondente se necessário.
a) (1 pt) y
′
+ (cotanx)y = 4senx, y(−π/2) = 0.
b) (1 pt) (x2 − 2y2)dx+ xydy = 0.
c) (1 pt) (x+ 2y−1)dy + ydx = 0.
d) (1 pt) xdy = (y + x2)dx.
2- ( 2-90,pe) (i) Encontre uma solução não nula, y1(x), de y
′ − 2y = 0.
(ii) Encontre todas as funções A(x) de maneira que y(x) = A(x)y1(x) é solução de
y′ − 2y = x2e2x.
3- ( 2-91,pe) Encontre a famı́lia ortogonal da famı́lia de curvas y2 − x = cx.
4- ( 1-90,pe) Encontre a famı́lia ortogonal da famı́lia de curvas y = cex.
5- ( 1-90,pe) Considere o problema de valor inicial
y′ =
x2 + y2
xy
, y(1) = 2.
i) Encontre uma solução para este problema.
ii) Mostre que ele possui solução única.
iii) Determine o intervalo em que a solução encontrada em (i) é válida.
6- ( 1-90,pe) Mostre que todas as soluções da EDO y′ = −xy e
y2
1 + ex2
que cortam o eixo dos y são
limitadas.
7- ( 2-91,pe) Mostre que a solução do problema de valor inicial
y′ = (y2 − 1)(y2 − 4), y(0) = 0 satisfaz a desigualdade |y(x)| ≤ 1, para todo x.
8- ( 1-90,pe) Resolva o problema de valor inicial: y′′y′ − x = 0, y(1) = 2, y′(1) = 1.
9- ( 2-94,pe) Escolha duas das EDO’s abaixo e resolva-as.
a) x cos(y/x)y′ = y cos(y/x) + x.
b) (3xy + x2)y′ + y2 + xy = 0.
c) y′ =
x5 − 3y
x
.
10- ( 1-94,pe) Escolha e resolva, no máximo 3 dentre as EDO’s abaixo:
1Compilada pelo professor Francisco Fortes de Brito
1. y′ = 1 + x+ y2 + xy2.
2. 3xy + y2 + (xy + x2)y′ = 0.
3. (x3y2 + x)y′ + (x2y3 + y) = 0.
4. y′ =
2xy + y2
x2
, x > 0.
5. yy′′ + (y′)2 = 0.
6. xy′′ + y′ = 1.
11- ( 1-94,pe) Dada a equação y′ = 3y
2
3 :
1. Onde o teorema de existência e unicidade é válido?
2. Verifique que as funções u(x) = x3 e v(x) = 0 são soluções da EDO.
3. O problema de valor inicial y′ = 3y
2
3 , y(0) = 0, tem solução única? Compare com o resultado
do item 1.
12- ( 1-94,sc) Escolha e resolva duas das questões abaixo: (Obs. As soluções podem ser dadas implici-
tamente.)
(a) Encontre a famı́lia de soluções da EDO y′ = y2 secx tanx.
(b) Encontre a famı́lia de soluções da EDO y′ = 1 + x2 − y2 − x2y2, y < 1.
(c) Mostre que 3xy + y2 + (xy + x2)y′ = 0 não é uma equação exata e admite x como fator
integrante. Além disso, encontre a famı́lia de soluções da EDO.
13- ( 1-92,pf) Resolva a equação f(x) = 1 +
∫ x
0
tf(t)dt.
14- (2-98,pe) Resolva :
a) senx cos y dx− cosx sen y dy = 0.
b) (
1
x2
+
3y2
x4
)dx =
2y
x3
dy, y(1) = 1.
c) y′ + xy = x3y3.
d) y′′ =
1
2y′
.
e) y′′ + 2y′ + y = 0, y(0) = −2, y′(0) = −3.
15- (2-98,pe) Considere a EDO y′ = (y2 − x2) sen(xy) + 1.
a) Quantas soluções y = f(x) desta equação são tais que f(0) = 0? Justifique.
b) Determine se é ou não posśıvel existir uma solução y = f(x) desta EDO tal que
f(−1) = f(1) = 0. Justifique.
16- (2-98,pf) Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial abaixo:
(a) (1, 0 pts) y′ + 2xy = 2xex
2
.
(b) (1, 0 pts) y′ − 2y = e2x, y(0) = 2.
(c) (1, 0 pts) y
′
=
e−x − ex
3 + 4y
, y(0) = 1.
(d) (1, 0 pts) y
′′
+ 4y = x2.
17- (2-98,sc) Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial conforme seja o
caso:
(a) (1, 0 pts) y′ = y2 secx tanx.
(b) (1, 0 pts) y′ = 1 + x2 − y2 − x2y2, y < 1.
(c) (1, 0 pts) y
′′ − 9y′ + 20y = 0.
(d) (1, 0 pts) y′′y′ − x = 0, y(1) = 2, y′(1) = 1.
18- (1995-1)Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas usando o método dos coeficientes
a determinar ou o método da variação dos parâmetros:
a) (1,5 pts) y
′′
+ 2y
′
= 3 + 4sen(2x).
b) (1,5 pts) y
′′ − 2y′ + y = ex/(1 + x2).
19- (1995-1)Determine L {f(t)} das funções abaixo:
a) (1,0 pt) f(t) = te2tsen(4t), t > 0.
b) (1,0 pt) f(t) = (t− 3)u2(t)− (t− 2)u3(t)
c) (1,0 pt)
f(t) =
{
0 , se 0 ≤ t < 1,
t2 − 2t+ 2 , se t ≥ 1.
d) (1,0 pt) f é periódica de peŕıodo 2, e,
f(t) =
{
1 , se 0 ≤ t < 1,
−1 , se 1 ≤ t < 2.
20- (1995-1) Use transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
a) (1,5 pts) y
′′
+ y = t− u1(t), y(0) = y
′
(0) = 0.
b) (1,5 pts) y
′′ − y = δ(t− 1), y(0) = y′(0) = 0.
21- (1995-2)(2,5 pt): Usando o método dos coeficientes indeterminados, ache a solução geral da EDO
y′′ + 4y = 3sen2x.
22- (1995-2)
a) (1,5 pt) Resolva o PVI y′′ + y = δπ(t), y(0) = 0, y
′(0) = 1.
b) (1,0 pt) Use que
∫ ∞
0
e−x
2
dx =
√
π/2, para calcular L {t−1/2}.
23- (1995-2)
a) (0,5 pt) Encontre um conjunto fundamental de soluções para a EDO y′′ − 2y′ + y = 0,
b) (1,5 pt) Use o método da variação dos parâmetros para determinar uma solução particular da
EDO
y′′ + 2y′ + y = e−xlnx, x > 0 ,
c) (0,5 pt) Encontre a solução geral da EDO do ı́tem (b).
24- (1995-2)
a) (1,5 pt) Seja f uma função que satisfaz a f(t + T ) = f(t) para todo t ≥ 0 e para um certo
número positivo fixo T ; f é periódica com peŕıodoT em 0 ≤ t ≤ ∞. Mostre que
L {f}(s) =
∫ T
o
e−stf(t)dt
1− e−sT
,
b) (1,0 pt) Calcule L {f}(s), onde f(t) é a função definida em [0,∞) por f(0) = 1 e f(t) = sentt
para t > 0.
25- (1984-1) Determine uma solução particular da equação y′′ + 2y′ + y = 3ex.
26- (1994-1) Encontre uma solução particular do problema y′′ + y = g(x), para cada uma das escolhas
abaixo para g(x) :
a) g(x) = sen(x).
b) g(x) = sec3(x), |x| < π/2.
27- (1994-1) Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y′′ + 2y′ + 2y = u2(t); y(0) = 0, y
′(0) = 1
.
28- (1984-1) Obtenha a solução geral da equação y′′ + y = cscx, 0 < x < π.
29- (1984-1 Determine a solução geral da equação y′′ + 2y′ + y = ex lnx.
30- (1984-1 Resolva o problema de valor inicial y′′ − y′ − 6y = x3, y(0) = 0, y′(0) = 0.
31- ( 1991-2) Utilize o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral da equação
x2y′′ − 3xy′ + 4y = x3, x > 0.
32- ( ? ?) No estudo do movimento de um corpo suspenso por uma mola sob a ação de uma força
externa obtemos a equação
y′′ + cy′ + y = sen t.
a) Determine a função y = y(t), que fornece a posição do corpo para t ≥ 0, em regime estacionário.
b) Indique um intervalo de valores para c (constante de atrito viscoso) de modo que a amplitude
de y(t) não exceda 4 unidades de comprimento.
33- ( 1994-2) Mostre que 1 + x e ex formam um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea
correspondente a xy′′ − (1 + x)y′ + y = x2e2x, x > 0, e, encontre a solução geral da EDO dada.
34- ( 1994-2) Mostre que a substituição x = et transforma a equação x2
d2y
dx2
+ ax
dy
dx
+ by = 0, a e b
constantes e x > 0, em uma equação com coeficientes constantes. Utilize este processo para resolver
a equação x2
d2y
dx2
+ 2x
dy
dx
− 6y = (lnx)2, x > 0.
35- ( 1994-2) Considere as EDO’s : y′′ + 2x−1y′ + y = 2x2 + 12 e y′′ + x−1y′ − 4x−2y = 3x−1. Obtenha
as soluções das EDO’s, a partir das funções : x−1 senx, x2, x, x−1 cosx.
36- (1998-2) Calcule L {f(t)}, ou L −1{F (s)}, conforme seja o caso:
(a) (1, 0 pts) f(t) = t− (t− 1)u1(t).
(b) (1, 0 pts) F (s) =
2s− 3
s2 − 1
(c) (1, 0 pts) f(t) =
{
1, 0 ≤ t < 1,
0, t ≥ 1.
(d) (1, 0 pts) F (s) =
2
s2 − 4s+ 5
.
37- (1998-2)
(a) (1, 0 pts) Calcule L (f), se f(t) = t2 − e3t.
(b) (1, 0 pts) Calcule L (f), se g(t) = sen2t+ u2(t)cos3(t− 2).
(c) (1, 0 pts) Calcule L −1(F ), se F (s) =
2(s− 1)e−2s
s2 − 2s+ 2
.
(d) (1, 0 pts) Calcule L −1(F ), se F (s) =
1− 2s
s2 + 4s+ 5
.
38- (1998-2) Use o método dos coeficientes a determinar para indicar uma solução particular para cada
uma das equações não homogêneas abaixo.
(Não é necessário calcular as constantes!!!)
a) y′′ + 2y′ + 5y = x3 senx.
b) y′′ + 2y′ + 5y = xe−x cos(2x).
c) y′′ + 2y′ + 5y = e−2x.
39- (1998-2) Encontre a solução geral da equação diferencial
y′′ − 2y′ + y = e
x
1 + x2
.
40- (1998-2) Calcule
a) L {t− 3e−t}(s).
b) L {te3t sen(t)}(s).
c) L −1{ 2e
−2s
s2 − 4
}(t).
d) L −1{ 2s− 3
s2 + 2s+ 10
}(t).
41- (1998-2) Resolva o problema de valor inicial
y′′ + 4y = 2δ(t− π/4), y(0) = 0, y′(0) = 0
.
42- ( 1-95,pe) Encontre as soluções gerais das seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
a) (1,0 pt) y
′′
+ y
′
= e−x.
b) (1,0 pt) y
′′
+ y(y
′
)3 = 0.
c) (1,0 pt) y
′′ − 9y′ + 20y = 0.
d) (1,0 pt)y
′′ − 2y′ + 4y = 0.
43- ( 1-95,pe) Sabendo que y1(x) = x
2 é solução de x2y
′′
+ xy
′ − 4y = 0, determine:
a) Uma solução da equação dada da forma y2(x) = v(x)y1(x), de modo que {y1, y2} seja um
sistema fundamental de soluções.
b) Todas as soluções y da equação que satisfazem y(1) = 0.
44- ( 2-90,pe) Determine a solução da EDO y′′ + y′ − 6y = 0 que satisfaz a lim
x→∞
y(x) = 0 e y(0) = 0.
45- ( 1-90,pe) Para quais valores de r, y(x) = erx é solução da EDO y′′′ − 5y′′ + 6y′ = 0?
46- ( 2-91,pe) Ache a solução geral de y′′+ 2xy
′+y = 0, x > 0. Sugestão: Faça y(x) = v(x)/x e substitua
na equação.
47- ( ?-??,pe) Considere a equação diferencial y′′ + cy′ + y = 0, onde c é uma constante, 0 < c < 5.
i) Forneça a solução geral y(x) da equação.
ii) Qual o limite de y(x) quando x tende para o infinito, para os diversos valores de c no intervalo
citado acima?
48- ( 2-89,pe) Ache os valores de α para os quais a equação
y′′ − α(α− 1)y′ + 1
4
[α(α− 1)2 + 1]y = 0
admite apenas soluções limitadas.
Observação : y(x) é limitada, se existe M > 0 tal que |y(x)| < M , para todo x∈R.
49- ( 2-94,pe) Resolva as EDO’s abaixo:
a) y′′ − 4y′ − 5y = 0.
b) y′′ + 4y′ + 13y = 0.
c) y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = (senx− 6)e−x.
50- ( 2-91,pf) Determine α de modo que todas as soluções da equação
y′′ + (α2 − 1)y′ + αy = 0,
sejam limitadas.
51- (2-98,pe) Resolva a equação diferencial (1− x2)y′′ − xy′ + y = 0, |x| < 1.
Sugestão: Faça a mudança de variável x = cos t.
Até esse ponto, os exerćıos envolvem apenas EDO’s. A partir daqui, EDP’s e séries de Fourier.
1- (1991-2) Considere o problema
ut = α
2uxx , 0 < x < l, t > 0
u(0, t) = 0
ux(l, t) + γu(l, t) = 0
onde α, γ e l são constantes. Se u(x, t) = X(x)T (t) é solução desse problema, encontre as equações
diferenciais ordinárias e condições de contorno que as funções X e T satisfazem.
2- (1991-2) Usando o fato de que a solução geral da equação diferencial parcial utt = a
2uxx é da forma
u(x, t) = φ(x+ at) + φ(x− at), resolva o problema de valor inicial
utt = a
2uxx
u(x, 0) = e−x
2
,−∞ < x < +∞
ut(x, 0) = 0
3- (1989-2) Dada a função periódica de peŕıodo 2π, f(x) = cosαx, x ∈ [−π, π], α ∈ (0, 1) constante,
use a série de Fourier da mesma para mostrar que
cot(απ) =
1
π
(
1
α
−
∞∑
n=1
2α
n2 − α2
)
.
4- (1989-2) Determine a solução do problema
uxx = ut
u(0, t) = u(1, t) = 0
u(x, 0) = f(x)
onde
f(x) =
{
x, 0 ≤ x ≤ 1/2
1− x, 1/2 ≤ x ≤ 1
5- (1989-2) Use o método de separação de variáveis para calcular u(x, t), 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, se
utt = uxx
u(0, t) = 0, ux(l, t) = 0, ut(x, 0) = 0
u(x, 0) = sen(πx2l )
6- (1995-2) Resolva o problema de contorno
uxx = ut, 0 < x < 1, t > 0
u(x, 0) = 1, 0 < x < 1
u(0, t) = 1, u(1, t) = 2, t > 0
7- (1995-1) Resolva o seguinte problema de valor inicial e de contorno:
uxx = utt, 0 < x < π, t > 0,
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0,
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ π,
u(x, 0) = |x− π2 | −
π
2 , 0 ≤ x ≤ π.
8- (1991-1) Considere a função periódica de peŕıodo 2 que no intervalo [0, 1] é definida por
f(x) =
{
−x, se − 1 ≤ x ≤ 0
x, se 0 ≤ x ≤ 1.
a) Calcule a série de Fourier de f .
b) Calcule os valores da série acima nos pontos x = 0, e x = 2.
c) Use o item (b) para mostrar que
π2
8
= 1 +
1
32
+
1
52
+ · · ·
9- (1995-1) Considere uma barra de comprimento ` com uma distribuição inicial de temperaturas dada
por f(x) = − cos
(
π(2x+`)
2`
)
, 0 ≤ x ≤ `, e com as extremidades térmicamente isoladas.
a) Determine a distribuição de temperaturas u(x, t) da barra em um instante t > 0 qualquer.
b) Qual é a temperatura de equiĺıbrio da barra?
10- (1995-1) Use separação de variáveis para resolver o seguinte problema de calor para t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ π:
ut = 7uxx
ux(0, t)− 2u(0, t) = 0
ux(π, t)− u(π, t) = 0
u(x, 0) = sen(x),
encontrando as EDO’s associadas bem como suas condições de fronteira.
11- (1995-1) Considere o problema de valor inicial e de contorno
utt = 4uxx
u(0, t) = 0 = u(2, t) = 0
u(x, 0) = 0
ut(x, 0) = 1, 0 < x < 2.
a) Mostre que un(x, t) = sen
nπx
2 sen(nπt), n = 1, 2, . . ., é solução da EDP e satisfaz a todas as
condições do problema com exceção da última.
b) Use un(x, t), n ≥ 1 para encontrar uma solução para o problema dado.
12- (1995-1) Dados a função f(x) = 1− x, 0 ≤ x ≤ 1, ı́mpar, e periódica de peŕıodo 2, e que a sua série
de Fourier é
∞∑
n=1
2
nπ
sen(nπx),
determine:
a) Os pontos x onde a série acima converge, bem como o valor da soma da mesma nestes pontos.
b) O valor de
∞∑
n=1
1
n2
a partir da série dada.
13- (1995-2)
a) (1,5 pt) Seja f : IR→ IR a função de peŕıodo 2, tal que f(x) = |x| para −1 ≤ x ≤ 1. Determine
a sériede Fourier de f .
b) (1,0 pt) Seja g : IR→ IR a função de peŕıodo 2, tal que g(x) = −1 para −1 < x ≤ 0, e g(x) = 1
para 0 < x ≤ 1. Determine a série de Fourier de g. Esta série converge para g(x), para todo
x ∈ IR ?
Sugestão para o item(b): que relação existe entre f e g ?
14- ( 1995-2)
a) Resolva o problema de condução de calor:
uxx = ut, 0 < x < 1, t > 0
ux(0, t) = ux(1, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = x, 0 < x < 1
b) Calcule lim
x→∞
u(x, t), onde u(x, t) é a solução do item (a).
15- ( 1995-2) (a) Verifique que u(x, t) = 12 [f(x− at) + f(x+ at)] +
1
2a
∫ x+at
x−at
g(s)ds é solução de:

a2uxx = utt, −∞ < x, t < +∞
u(x, 0) = f(x), −∞ < x < +∞
ut(x, 0) = g(x), −∞ < x < +∞
b) Resolva o problema: 
uxx = utt, 0 < x < 1, 0 < t
u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 ≤ t
u(x, 0) = sen(2πx), 0 ≤ x ≤ 1
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1
16- ( 1995-2) Seja u(x, t) a solução de:
uxx = utt, 0 < x < 1, −∞ < t < +∞
u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 ≤ t
u(x, 0) =
∞∑
1
knsen(nπx), 0 ≤ x ≤ 1
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1
a) Mostre que E(t) =
∫ 1
0
(u2t (x, t) + u
2
x(x, t))dx é constante
b) Use a identidade de Parseval para concluir que E(t) ≡ π22
∞∑
1
n2k2n
17- (1995-2) Considere uma barra metálica de comprimento 1 que está térmicamente isolada tanto
nas laterais quanto nas extremidades. Supondo que para o material da barra, α2 = 1, e, que a
distribuição inicial de temperaturas na barra é dada por u(x, 0) = x, 0 < x < 1, determine:
a) A distribuição de temperaturas na barra, u(x, t) em um instante t > 0 qualquer.
b) Qual é a temperatura de equiĺıbrio da barra?
18- (1998-2) Considere a função periódica f , de peŕıodo 2π definida por
f(x) = |x|, −π ≤ x ≤ π.
(a) (1, 0 pts) Verifique(com detalhes) que a expansão em série de Fourier de f é
π
2
− 4
π
∞∑
k=1
1
(2k − 1)2
cos(2k − 1)x.
(b) (1, 0 pts) Use o item (a) para mostrar que
∞∑
k=1
1
(2k − 1)2
=
π2
8
.
(c) (1, 0 pts) Use (a) e a igualdade de Parseval para calcular a soma da série
∞∑
k=1
1
(2k − 1)4
.
19- (1998-2) Seja f a função periódica de peŕıodo 2π definida por:
f(x) =
{
0, −π ≤ x < 0,
senx, 0 ≤ x < π.
(a) (1, 0 pts) Calcule a expansão em série de Fourier de f .
(b) (1, 0 pts) Se a expansão se escreve como
a0
2
+
∞∑
n=1
ancosnx+ bnsennx, calcule o valor de
∞∑
n=1
an.
(c) (1, 0 pts) Como em (b), calcule
∞∑
n=1
(a2n + b
2
n).
Observações finais: Estas listas apenas complementam os exerćıcios propostos no livro
texto, e, de modo algum tem o objetivo de substituir os problemas do livro do Boyce & diPrima nem
tampouco sugerir o estilo dos problemas que comporão os nossos exerćıcios escolares.
Agradecimento: Agradeço ao Professor Francisco Brito por ceder os arquivos com os
exerćıcios acima.