LISTADEEXERCICIOSN-13(MODELAGEM)a291845

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Lista de Exercícios Nº 13 1º Semestre 2017 
 
Nome: ______________________________________________ Data: ___/___/_____ 
Professor: José Mirtênio da Paz Disciplina: Cálculo I Curso: ____________ 
 
Problemas sobre Máximos e Mínimos 
Otimização (Modelagem) . 
 
1. Considere o seguinte problema: encontre 
dois números cuja soma seja 23 e cujo 
produto seja máximo. 
 
a) Faça uma tabela de valores, como é 
mostrado a seguir, tal que a soma dos 
números nas duas primeiras colunas seja 
sempre 23. Com base na evidência 
mostrada em sua tabela, estime a respostas 
para o problema. 
1º Número 2º Número Produto 
1 22 22 
2 21 42 
3 20 60 
. 
. 
. 
 
. 
. 
. 
 
. 
. 
. 
 
 
b) Use o cálculo para resolver o problema e 
compare com sua resposta da parte (a). 
 
Função Soma: 
 VínculoFunção23
23
⇒−=
=+
xy
yx
 
 
Função Produto: 
ObjetivoFunçãoyxP ⇒= . 
 
( )
2.23
23.
xxP
xxP
−=
−=
 
 
Temos que Maximizar a função Produto, 
derivando (cálculo dos extremos): 
xP 223 −=′ 
 
Iguala-se a derivada a zero ( ) 0=′ xf , 
encontrando os pontos críticos. 
5,11223
2230
0
=∴=
−=
=′
xx
x
P
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( ) edecrescentP
P
xxP
crescenteP
P
xxP
0112
12.22312
.223
0310
10.22310
.223
<−=′
−=′
−=′
>=′
−=′
−=′
 
 
 
Como x = 11,5 é o Máximo Relativo, vem: 
 
5,1123 =⇒−= yxy 
 
 
Portanto, os números que vão produzir o 
maior produto entre eles são: 
 
 5,115,11 == yex 
 
2. Determinar dois números de soma igual 
a 50, de modo que seu produto seja 
máximo. 
 
 
3. Determine dois números cuja soma seja 
20 e cujo produto seja máximo. 
 
 
4. Ache dois números cujo produto seja 25 
e cuja soma seja mínima. 
 
 
5. Ache dois números de diferença igual a 
20, de modo que seu produto seja mínimo. 
 
 
6. Ache o número cuja diferença entre ele 
próprio e o seu quadrado é máxima. 
 
+ 
- 11,5 
Máximo 
x 
 
 Lista de Exercícios Nº 13 1º Semestre 2017 
 
7. Um corpo lançado verticalmente, do solo 
para cima, tem posições no decorrer do 
tempo dada pela função horária: 
( ) 2.5.40 tttS −= (t em segundos e S em 
metros) 
a) Qual o tempo gasto para atingir a altura 
máxima. 
b) Qual a altura máxima atingida? 
 
a) ( ) 2.5.40 tttS −= 
Cálculo da derivada primeira: 
( ) ttS .1040 −=′ 
 
Cálculo da raiz: 0=′S 
stt
t
440.10
0.1040
=∴−=−
=−
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
( ) ttS .1040 −=′ 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) edecrescentS
SS
crescenteS
SS
0105
504035.10405
0303
304033.10403
<−=
−=⇒−=
>=
−=⇒−=
 
 
Portanto, t = 4 s é o tempo máximo. 
 
Cálculo da altura máxima: 
 
E sendo assim, a altura máxima é: 
( )
( )
( ) ( ) mSS
S
tttS
804801604
4.54.404
.5.40
2
2
=∴−=
−=
−=
 
 
8. Um ponto material é lançado do solo, 
verticalmente para cima e tem posições S 
no decorrer do tempo t dadas pela função: 
( ) 2.5.60 tttS −= (t em segundos e S em 
metros). 
a) Calcule o tempo gasto para atingir a 
altura máxima. 
b) Determine a altura máxima em relação 
ao solo. 
 
9. Quais as dimensões do terreno com 
formato retangular, de maior área que pode 
ser cercado com R$ 6.000,00. Sendo: 
Dimensões Tipo de Cerca Preço /metro 
x: Especial R$ 3,00 
y: Comum R$ 2,00 
 
Preço da Cerca: R$ 6.000,00, queremos 
maximizar a função área: 
 
 VínculoFunção.
2
3
1500
466000
2.22.3000.6
⇒−=
+=
+=
xy
yx
yx
 
 
 
Função Área: 
( )
( ) ObjetivaFunçãoxxxf
xxxf
yxA
2
2
3
.1500
2
3
1500.
.
−=





 −=
=
 
 
Temos que Maximizar a função área, 
derivando: 
( ) xxf 31500 −=′ 
 
 
Iguala-se a derivada a zero ( ) 0=′ xf , 
encontrando os pontos críticos. 
 
mx
x
500
031500
=
=−
 
 
 
 
 
 
 
my
y
xy
750
500.
2
3
1500
.
2
3
1500
=
−=
−=
 
 
Portanto, temos x = 500 m e y = 750 m. 
 
+ 
- 500 
Máximo 
x 
+ 
- 4 
Máximo 
x 
 
 Lista de Exercícios Nº 13 1º Semestre 2017 
 
10. Um fazendeiro precisa construir um 
galinheiro de forma retangular utilizando-se 
de uma tela de 16 metros de comprimento. 
Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro 
como fundo do galinheiro, determine as 
dimensões do mesmo para que sua área 
seja máxima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Considere todos os retângulos de 80 
cm de perímetro. Determine as dimensões 
daquele que tem área máxima. 
 
 
12. Determine as dimensões do retângulo 
de menor perímetro e de área igual a 100 
m2. 
 
 
13. Quero construir um jardim de forma 
retangular, usando a casa como um dos 
lados. Encontre as dimensões do maior 
jardim que pode ser cercado com 40 metros 
de cerca. 
 
 
 
14. Uma loja deseja construir um cercado 
retangular com 600 m2. 
Três lados serão construídos de 
madeira a um custo de R$ 14,00 por metro. 
No quarto lado será usado bloco de 
cimento e o custo será de R$ 28,00 por 
metro. 
Quais as dimensões que minimizará 
o custo do cercado? 
 
15. Encontre as dimensões de um prisma 
de uma caixa retangular de base quadrada 
e volume igual a 8000 cm3, que possa feita 
com o mínimo material possível. 
 
 
 
16. Um fazendeiro deseja construir um 
depósito em forma de prisma reto de base 
quadrada, aberto em cima e com 
capacidade de 64 m3. 
 
Determine suas dimensões a e b de 
modo que o material necessário para 
construir seja mínimo. 
 
 
17. Um agricultor deseja construir um 
reservatório cilíndrico, fechado em cima, 
com capacidade de 6.280 m3. 
 
Sabendo que o preço da chapa de 
aço é de R$ 50,00 o m2 e 14,3=π , 
determine: 
 
a) suas dimensões de forma que o custo 
seja mínimo. 
b) O custo mínimo. 
 
18. Um fazendeiro deseja cercar com tela 
uma área retangular de 500 m2. Sabendo 
que o metro linear de tela R$ 12,00, calcule 
o custo mínimo para cercar essa área. 
Adote 24,25 ≅ . 
 
19. Um comerciante percebeu que, a R$ 
50,00 a unidade, vende 200 peças por dia. 
Notou, também, que aumentando um real 
no preço da unidade vende 2 peças a 
menos por dia. Sabendo que o custo por 
unidade é de R$ 40,00, determine: 
 
a) o preço de venda máximo de cada peça; 
b) o lucro total do comerciante e o número 
de peças vendidas nas condições do item a. 
 
y 
x x 
muro 
 
 Lista de Exercícios Nº 13 1º Semestre 2017 
 
20. Uma pessoa deseja construir uma 
piscina de forma circular e com volume 
3.64 mπ . Sabendo que o preço por m2 de 
azulejo é de R$ 100,00, calcule o custo 
mínimo de azulejo para a construção dessa 
piscina. Adote 14,3=π . 
 
 
21. A janela de uma casa tem a forma da 
figura a seguir: um retângulo sobreposto por 
um semicírculo. 
 
 
Sabendo que o perímetro da janela é 
de 714 cm, calcule as dimensões x e y que 
permitem uma maior entrada de luz. 
Adote 14,3=π . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
1. 5,115,11 == yex . 
2. 2525 == yex . 
3. 1010 == yex . 
4. 55 == yex . 
5. 1010 =−= yex . 
6. 
2
1=x . 
7. a) st 4= 
 b) ( ) mS 804 = 
 
8. a) st 6= 
 b) ( ) mS 1806 = 
9. myemx 750500 == . 
10. myemx 84 == . 
11. cmyecmx 2020 == . 
12. myemx 1010 == . 
13. metrosyemetrosx 1020 == 
14. metrosyemetrosx 3020 == 
15. cmhecmycmx 2020;20 === 
16. ma 3 2.4= 
 mb 3 2.2= 
17. a) mhemr 2010 == 
 b) 00,200.94$R 
18. 20,075.1$R . 
19. a) 00,95$R 
 b) peçaseR 11000,050.6$ 
20. 00,072.15$R . 
21. cmyecmx 100100 == .