Complementos de Álgebra Linear - Questionários

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UNIP – LICENCIATURA MATEMÁTICA
DISCIPLINA: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
QUESTIONÁRIO DA VÍDEO AULA - UNIDADE 1
1. Qual dos subconjuntos a seguir não é subespaço de IR3? 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. Dos conjuntos dados a seguir, o único que é formado por vetores LD é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3. O vetor que completa o conjunto R = {(3,-1,2), (1,1,0)}, transformando-o em uma base do IR³ é:
a) w = (9, -3, 6)
b) w= (2, 2, 0)
c) w = (0, 0, 5)
d) w = (0, 0, 0)
e) w = (4, 0, 2)
4. Os coeficientes do vetor coordenada de v = (3, 2, -1) em relação à base ordenada do IR³, B = {(1,1,1), (0,1,-2), (0,0,1)} é:
a) 3, -1, -6
b) 3, 1, 6
c) -3, -1, 6
d) -3, -1, -6
e) 3, -1, 6
QUESTIONÁRIO UNIDADE 1
PERGUNTA 1
Qual dos subconjuntos a seguir é subespaço do IR 3?
	a) S = {(1, y, z) ∈ IR3}
	b) S = {(0, y, 3) ∈ IR3}
	c) S = {(x, -x, z) ∈ IR3}
	d) S = {(x-y, 2, z) ∈ IR3}
	e) S = {(0, 2z, z+2) ∈ IR3}
Comentário: nas alternativas A, B, D e E; S não é subespaço, pois (0,0,0) ∉ S. A alternativa C é a única que satisfaz as três condições para ser subespaço.
PERGUNTA 2
Sendo R = {(x, -x, 0) ∈ IR 3} e S = {(y, y, z) ∈ IR 3}, o subespaço R + S é dado por:
	a) R + S = {(x, 0, z) ∈ IR3}
	b) R + S = {(x+y, x+y, z) ∈ IR3}
	c) R + S = {(x, -x, z) ∈ IR3}
	d) R + S = {(x+y, -x+y, z) ∈ IR3}
	e) R + S = {(x, 0, 0) ∈ IR3}
Comentário:
r ∈ R ⇒ r = (x, -x, 0)
s ∈ S ⇒ s = (y, y, z)
Logo, r + s = (x, -x, 0) + (y,y,z) = (x+y, -x+y,z), isto é, R + S = {(x+y, -x+y, z) ∈ IR³}
PERGUNTA 3
Sendo R = {(x, -x, 0) ∈ IR 3} e S = {(y, y, z) ∈ IR 3}, o subespaço R ∩ S é dado por:
	a) R ∩ S = {(0, 0, z) ∈ IR3}
	b) R ∩ S = {(x, -x, 0) ∈ IR3}
	c) R ∩ S = {(y, y, 0) ∈ IR3}
	d) R ∩ S = {(x, y, 0) ∈ IR3}
	e) R ∩ S = {(0, 0, 0) ∈ IR3} 
Comentário:
r ∈ R ⇒ r = (x, -x, 0)
s ∈ S ⇒ s = (y, y, z)
(x, -x, 0) = (y, y, z)
PERGUNTA 4
O valor de k para que u = (1,k,6) seja combinação linear de v = (2,-1,0) e w = (-1,4,2) é:
	a) k = 10
	b) k = -5
	c) k = 2
	d) k = 3
	e) k = 0
Comentário:
(1, k, 6) = a (2, -1, 0) + b (-1, 4, 2)
(1, k, 6) = (2a - b, - a +4 b, 0 + 2b)
Resolvendo o sistema, encontramos a = 2, b = 3 e k = 10.
PERGUNTA 5
Das afirmações a seguir, a única correta é:
	a) S = {(1,2), (-2,-4)} é um conjunto LI.
	b) S = {(1,0,0), (2,0,1), (0,0,0)} é um conjunto LI.
	c) S = {(2,-1,1), (0,1,1), (0,0,-1)} é um conjunto LI.
	d) S = {(1,1), (-1,2)} é um conjunto LD.
	e) é um conjunto LD.
Comentário: a alternativa C está correta, pois:
a(2,-1,1) + b(0,1,1) + c(0,0,-1) = (0,0,0) ⇒ (2a, -a + b, a + b - c) = (0,0,0) ⇒ a = b = c = 0. Logo, o conjunto S é LI.
Alternativa A está errada, pois:
a(1,2) + b(-2,- 4) = (0,0) ⇒ (a -2b, 2a - 4b) = (0,0) ⇒ a = 2b. Logo, o conjunto S é LD.
Alternativa B está errada, pois um dos vetores é nulo. Logo, o conjunto S é LD.
Alternativa D está errada, pois:
a(1,1) + b(-1,2) = (0,0) ⇒ (a - b, a + 2b) = (0,0) ⇒ a = b = 0. Logo, o conjunto S é LI.
 Alternativa E está errada, pois:
Logo, o conjunto é LI.
PERGUNTA 6
Sendo e , o subespaço U + V é dado por:
	a. 	
	b. 	
	c. 	
	d. 	
	e. 	
PERGUNTA 7
Uma base do subespaço U = {(x + y, 2y, x + z) ∈ IR 3} é:
	a) B = {(1,0,1), (0,2,-1)}
	b) B = {(1,0,1), (1,2,0)}
	c) B = {(1,0,1), (1,2,0),(0,0,0)}
	d) B = {(1,0,1), (0,2,-1),(0,0,1)}
	e) B = {(1,0,0), (0,2,1),(1,2,1)}
Comentário: devemos, inicialmente, determinar os geradores de U e depois a base (vetores LI).
(x + y, 2y, x + z) = (x, 0, x) + (y, 2y, 0) + (0, 0, z) = x(1, 0, 1) + y (1,2,0) + z(0,0,1)
Logo, U = [(1,0,1), (1,2,0), (0,0,1)]
Falta verificar se os geradores são LI. Podemos utilizar a combinação linear ou o processo prático.
Vamos utilizar o processo prático:
Concluímos, então, que os vetores são LI. Logo, podemos pegar como base os vetores dados ou os vetores da matriz escalonada. Logo, B = {(1,0,1), (0,2,-1), (0,0,1)} é base de U.
PERGUNTA 8
A dimensão do subespaço U = {(x + y, y, x - 3z) ∈ IR 3} é:
	a) dim U = 2
	b) dim U = 3
	c) dim U = 0
	d) dim U = 1
	e) dim U = 4
Comentário: devemos, inicialmente, determinar os geradores de U e depois a base (vetores LI) e daí encontrar a dimensão.
(x + y, y, x - 3z) = (x, 0,x) + (y,y,0) + (0, 0,-3z) = x(1, 0, 1) + y (1,1,0) + z(0,0,-3)
Logo, U = [(1,0,1), (1,1,0), (0,0,-3)].
Falta verificar se os geradores são LI. Podemos utilizar a combinação linear ou o processo prático.
Vamos utilizar o processo prático:
Concluímos, então, que os vetores são LI. Logo, B = {(1,0,1), (1,1,0), (0,0,-3)} é base de U e daí dim U = 3.
Concluímos, então, que os vetores são LI. Logo, B = {(1,0,1), (1,1,0), (0,0,-3)} é base de U e daí dim U = 3.
PERGUNTA 9
Indique a afirmação correta:
	a) Todo conjunto com 3 vetores é base do IR3.
	b) O conjunto B = {(1,2,1), (0,1,2), (1,3,3)} é base do IR3.
	c) Se U é subespaço do IR3, então dim U pode ser maior que 3.
	d) Todo conjunto com 2 vetores LI pode ser completado para se transformar em uma base do IR3.
	e) Um espaço de dimensão n
pode ter uma base com n + 1 vetores.
Comentário:
a- Errada, pois para ser base do IR 3
é necessário que o conjunto tenha 3 vetores LI.
b- Errada, os vetores são LD, pois:
c- Errada, pois todo subespaço de V tem dimensão menor ou igual a dim V. Logo, se U é subespaço do IR 3, temos que dim U ≤ 3.
d- Correta, sempre é possível completar um conjunto com 2 vetores LI para transformá-lo em uma base do IR 3. Basta acrescentar um vetor que seja LI com os vetores dados. 
e- Errada, sabemos que a dimensão de um espaço é dada pela quantidade de vetores existentes em uma base dele e que todas as bases do espaço têm o mesmo número de vetores. Logo, não é possível existir uma base com n + 1 vetores em um espaço de dimensão n.
PERGUNTA 10
Sendo R = {(2,1,1), (0,1,2), (0,0,1)} e S = {(1,1,1), (0,1,0), (0,0,2)}, a matriz mudança de base de R para S é:
	a) 	 
	b) 	
	c) 	
	d) 	
	e) 	 
Comentário: montando a matriz ampliada com os vetores de R e S, temos:
QUESTIONÁRIO DA VÍDEO AULA - UNIDADE 2
1. Considere a transformação T (x, y, z) = (2. x, 2. z-y, x + z), assinale a alternativa que mostra o valor da transformação no vetor (1, 1, 0):
a) (0, 0, 1).
b) (2, -1, 1).
c) (2, -2, 2).
d) (2, 2, 1).
e) (2, 1, 1).
2. Sendo A = {(1, 1), (-1, 0)} e B = {(1, 0), (1, -1)}, a matriz IBA de mudança de base de A para B é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3. Sendo T (x, y, z) = (x + z, y, y - z) e S (x, y, z) = (2x - z, y + z, z), a expressão para S + T é:
a) (S + T) (x, y, z) = (3x – y –z, 2y + z, 2z).
b) (S + T) (x, y, z) = (3x , 2y + z, y).
c) (S + T) (x, y, z) = (3x – y –z, y + z, 2z).
d) (S + T) (x, y, z) = (3x – y –z, 2y + z, z).
e) (S + T) (x, y, z) = (-x – y +z, -z, 2z).
4. Sendo X = (3, -1, 2) e Y = (1, 2, 4), o valor do produto interno (2X). Y, considerando o produto interno usual, é:
a) (3X). Y = 27.
b) (3X). Y = 9.
c) (3X). Y = 18.
d) (3X). Y = -27.
e) (3X). Y = 6.
QUESTIONÁRIO UNIDADE 2
PERGUNTA 1
O núcleo do operador linear T(x, y) = (x - y, -2x + 2y) é:
	a) N(T) = {(x, 0) ∈ IR2}
	b) N(T) = {(0, y)∈ IR2}
	c) N(T) = {(y, y) ∈ IR2}
	d) N(T) = {(0, 0)}
	e) N(T) = {(x, -2x) ∈ IR2}
PERGUNTA 2
A imagem do operador linear dado por T(1, -1) = (1, 2) e T(0, 1) = (1, 1) é:
	a) ImT = {(2x - y, x - y) ∈ IR²}
	b) ImT = {(2x - y, x + y) ∈ IR²}
	c) ImT = {(x – 2y, y + x) ∈ IR²}
	d) ImT = {(4x - y, x + y) ∈ IR²}
	e) ImT = {(2x + y, 3x + y) ∈ IR²}
PERGUNTA 3
A matriz da transformação linear T(x, y) = (x + y, 3x - y, y) em relação às bases
A = {(1, 1), (0, 1)} e B = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} é:
	a) 	
	b) 	
	c) 	
	d) 	
	e) 	
PERGUNTA 4
Dos vetores a seguir, o único que pertence ao núcleo da transformação linear dada por T(x, y, z) = (x + 4y - z, y + z) é:
	a) u = (2, 1, 0)
	b) u = (5, 1, 0)
	c) u = (10, 2, -2)
	d) u = (10, -2, 2)
	e) u = (5, 1, 1) 
PERGUNTA 5
O operador inverso de T(x, y) = (x + y, x – y) é:
	a) 	
	b) 	
	c) 	
	d) 	
	e) 	
PERGUNTA 6
Sobre o operador linear T(x, y) = (2x, y), é correto afirmar:
	a) T é ortogonal.
	b) T é simétrico.
	c) Dim N(T) = 1.
	d) Tem matriz canônica igual a . 
	e) Base de N(T) = {(2, 1)}.
PERGUNTA 7
Sendo T(x, y, z) = (2x - y, z + y, z + x) e S(x, y, z) = (x + y, z, y - z) operadores do IR 3, a expressão para S + T é:
	a)(S + T) (x, y, z) = (3x – y, 2y + z, 2z)
	b) (S + T) (x, y, z) = (3x–z, 2y, x + 2z)
	c) (S + T) (x, y, z) = (3x, 2z + y, x + y)
	d) (S + T) (x, y, z) = (3x, 2y + z, x + y)
	e) (S + T) (x, y, z) = (2x – y, y + z, 2z)
PERGUNTA 8
Sendo T(x, y, z) = (2x - y, z + y, z + x) e S(x, y, z) = (x + y, z, y - z) operadores do IR 3, a expressão para S o T é:
	a) (S o T) (x, y, z) = (2x – y, 2y + z, 2z)
	b) (S o T) (x, y, z) = (x – y, y + z, 2z)
	c) (S o T) (x, y, z) = (2x + z, 2x + z, 2z)
	d) (S o T) (x, y, z) = (-x + y, x + z, y + x)
	e) (S o T) (x, y, z) = (2x + z, x + z, y - x)
PERGUNTA 9
A matriz canônica do operador linear F(x, y) = (x - 2y, 2x + y) é:
	a) 	
	b) 	
	c) 	
	d) 	
	e) 	
PERGUNTA 10
Sendo T(x, y) = (-x, 2x + y) e S(x, y) = (2x, - x + 2y), o determinante de ToS é:
	a) det (ToS) = -4.
	b) det (ToS) = 4.
	c) det (ToS) = -3.
	d) det (ToS) = -1.
	e) det (ToS) = 2.
QUESTIONÁRIO DA VÍDEO AULA - UNIDADE 3
1. Qual o valor da expressão ?
a) 1
b) 0
c) 50
d) 100
e) 22
2. Qual a maneira correta de se digitar a expressão no Maxima? 
a) 5+3/4+7 - 4*5
b) 5+(3/4+7) - 4.(5)
c) 5+3.(4+7) - 4/5
d) 5+3/(4+7) - 4*5
e) 5+3/(4-7) - 4*5
3. Sabendo que f(x)=5.x² + 7.x, use o Maxima para calcular o valor da expressão 2. f(1) - f(0).
a) 12
b) 2
c) 14
d) 10
e) 24
4. Use o Maxima para calcular o valor numérico da expressão vetorial 2.u+5.v-3.w, em que u=(1,0,1), v=(1,1,1) e w=(2,0,2)
a) (3,4,5)
b) (1,5,1)
c) (1,2,3)
d) (4,0,4)
e) (2,3,4)
QUESTIONÁRIO UNIDADE 3
PERGUNTA 1
Qual dos comandos a seguir retorna à forma expandida de uma expressão matemática?
	a) expand (...)
	b) explore (...)
	c) factor (...)
	d) float (...)
	e) rank (...)
PERGUNTA 2
A sintaxe a seguir é utilizada no Maxima, um software para o auxílio à Álgebra:
(%i4) 1-b+(b^2)/4!-(b^3)/6!+(b^4)/8!-(b^5)/10!
A expressão matemática citada, representa:
	a)	
	b)
	c) 
	d) 
	e) 	
1-b+(b^2)/4!-(b^3)/6!+(b^4)/8!-(b^5)/10! = 
Sendo que ^
representa a exponenciação e ! representa o fatorial.
PERGUNTA 3
Dados os vetores = (1, 2, 3) e = (1/3, −1, 0.5) selecione a alternativa que apresenta todos os passos corretos para se calcular a operação com os vetores 3 - 2 , usando o software Maxima:
a) r:[1, 2, 3]$;
s:[1/3 , −1 , 0.5]$;
3r-2s;
	b) r:[1, 2, 3];
s:[1/3 , −1 , 0.5];
3r-2s;
	c) r:[1, 2, 3]$;
s:[1/3 , −1 , 0.5]$;
3*r-2*s;
	d) r:(1, 2, 3)$;
s:(1/3 , −1 , 0.5)$;
3*r-2*s;
	e) r:(1, 2, 3);
s:(1/3 , −1 , 0.5);
(3*r)-(2*s);
Comentário: atentar que, para a montagem de um vetor, não podem ser utilizados os parênteses e sim, os colchetes. Além disso, para realizar a operação de multiplicação de um fator a um vetor, deve-se utilizar o *, obrigatoriamente.
PERGUNTA 4
Dada a matriz A, a seguir:
Assinale a alternativa que descreve a expressão correta para se criar esta matriz no Maxima:
	a.	A:matrix ([2,1,0], [3,2,1], [0,0,1]) enter.
	b.	A:matrix ((2,1,0), (3,2,1), (0,0,1)) enter.
	c.	A:matrix ([2,1,0]; [3,2,1]; [0,0,1]) enter.
	d.	A:matrix ((2,1,0); (3,2,1); (0,0,1)) enter.
	e.	A:matrix ({2,1,0}, {3,2,1}, {0,0,1}) enter.
Comentário: para inserirmos uma matriz, devemos ler cada linha de uma matriz como se fosse um vetor; desta forma, se temos uma matriz Mmxn:
PERGUNTA 5
Como devem ser inseridas as seguintes operações no Maxima, respectivamente:
I. 2 20; 
II. 5-13 vezes 2; 
III. (10 divido por 2) -3; 
IV. 2,5 vezes 2;
	a) (%i1) 2^20 teclar ENTER
(%i2) 5-13*2 teclar ENTER
(%i3) 10/2-3 teclar ENTER
(%i4) 2.5*2 teclar ENTER
	b) (%i1) 2^20 teclar ENTER
(%i2) 5-13x2 teclar ENTER
(%i3) 10/2-3 teclar ENTER
(%i4) 2.5x2 teclar ENTER
	c) (%i1) 2^20 teclar ENTER
(%i2) 5-13*2 teclar ENTER
(%i3) 10/2-3 teclar ENTER
(%i4) 2,5*2 teclar ENTER 
	d) (%i1) 220 teclar ENTER
(%i2) 5-13x2 teclar ENTER
(%i3) 10/2-3 teclar ENTER
(%i4) 2.5x2 teclar ENTER
	e) (%i1) 220 teclar ENTER
(%i2) 5-13x2 teclar ENTER
(%i3) 10/2-3 teclar ENTER
(%i4) 2.5^2 teclar ENTER 
Comentário:
2 20
no Maxima: a sintaxe é 2^20
5-13 vezes 2 à no Maxima: 5-13*2
(10 divido por 2) -3 à no Maxima: 10/2-3
2,5 vezes 2 à no Maxima: 2.5*2
PERGUNTA 6
A sintaxe do Maxima, a seguir:
(%i8) sqrt(((2*b-3*a)^d))/(a*(d+e)^c)
Representa a expressão matemática:
	a) 	
	b) 	
	c) 	
	d) 	
	e) 	
sqrt(((2*b-3*a)^d))/(a*(d+e)^c), no Maxima, corresponte a: 
sendo que sqrt( ) é a raiz quadrada, ^ representa a exponenciação, * a multiplicação e / a divisão.
PERGUNTA 7
Assinale a alternativa correta que corresponde à transformação linear realizada no gráfico a seguir:
	a) T (x, y) = (x/2, y/2).
	b) T (x, y) = (2x, 2y).
	c) T (x, y) = (2x, y).
	d) T (x, y) = (x, 2y).
	e) T (x, y) = (x, y).
PERGUNTA 8
Assinale a alternativa correta que corresponde à função de transformação linear realizada no gráfico a seguir:
 
	a) 	
	b) 	
	c) 
	d) 	
	e) 	
Comentário: reflexão em relação a uma reta y = x.
PERGUNTA 9
Um aluno fez um exercício de transformação linear e obteve os resultados a seguir. Descubra qual foi a função de transformação que ele aplicou:
	a) 	
	b) 	
	c) 	
	d) 	
	e) 	
Comentário: dilatação nos eixos x e y, proporcionalmente, e reflexão em relação ao eixo y.
PERGUNTA 10
Assinale a alternativa correta que corresponde à classificação de transformação linear realizada no gráfico a seguir:
 
	a) Cisalhamento na direção do eixo x.
	b) Projeção em relação ao eixo x.
	c) Contração em relação ao eixo x.
	d) Projeção em relação ao eixo y.
	e) Reflexão em relação ao eixo x.