Simulacao_ModelosProbabilisticos

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11
Prof. Lorí Viali, Dr.
viali@pucrs.br
http://www.pucrs.br/famat/viali/
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Beta 
Cauchy
Erlang
Exponencial
F (Snedekor)
Gama
Gumbel
Laplace
Logística
Lognormal
Normal
Pareto
Qui-quadrado - χ2
Student - t
Uniforme
Weibull
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A distribuição Beta apresenta
normalmente duas expressões. Uma
denominada de fórmula geral e outra de
forma padrão. A forma padrão definida
no em [0; 1] é mais utilizada.
22
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A expressão geral da fdp Beta é dada
por:





>βα≤≤
−βα= +β+α
β−α
c.c. 0
0, e bx a se 
)ab(),(B
x)-(ba)-(x
)x(f 1
1-1
∫=βα
β−α
1
0
1-1 dxx)-(1x),(B
Onde:
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A função Beta foi
introduzida pela primeira
vez por Euler.
∫=βα
β−α
1
0
1-1 dxx)-(1x),(B
Leonhard 
Euler
(1707 - 1783)
),(B),(B αβ=βα α=α /1)1,(B
)(
)()(
),(B
β+αΓ
βΓαΓ
=βα
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A função densidade de probabilidade
da Beta padrão é dada por:





>βα≤≤
βα=
β−α
c.c. 0
0, e 1x 0 se 
),(B
x)-(1x
)x(f
1-1
)(
)().(
dxx)-(1x),(B
1
0
1-1
β+αΓ
βΓαΓ
=∫=βα
β−α
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Os parâmetros de α > 0 e β > 0 são
os de forma. Os valores a e b
representam os extremos da
distribuição. No formato padrão a = 0
e b = 1.
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Para a descrição de tempos para
completar tarefas no planejamento e
projeto de sistemas. Usada extensivamente
em PERT/CPM.
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0,00
0,30
0,60
0,90
1,20
1,50
1,80
2,10
2,40
2,70
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
B(0; 0)
B(1; 1)
B(2;2)
B(1; 2)
B(2: 1)
B(5; 2)
33
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0,00
0,30
0,60
0,90
1,20
1,50
1,80
2,10
2,40
2,70
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
B(0; 1)
B(1; 0)
B(0; 2)
B(2; 0)
B(3; 1)
B(1; 3)
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Determinar a representação gráfica da
B(0,5; 0,5).
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Não existe uma expressão
analítica para F(x) genérica. Se a e b
são inteiros, uma expansão Binomial
pode ser utilizada para obter F(x).
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 )X(E 
β+α
α
==µ
A expectância ou valor esperado da
Distribuição Beta é dada por:
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A Variância da Distribuição da Beta
é dada por:
 
)()1(
 V(X) 
2
2
β+α+β+α
αβ
==σ
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Considerando uma B(α; β),
determinar:
(1) A moda;
(2) A mediana;
(3) A assimetria;
(4) A curtose;
(5) O coeficiente de variação.
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1 se modalA
1 e 1 
1 e 1 
 1
1 e 1 
1 e 1 
 0
1 e 1 se 1 e 0
1 e 1 se 
2
1
o
o
o
o
=β=α



=β>α
<β≥α
=µ



>β=α
≥β<α
=µ
<β<α=µ
>β>α
−β+α
−α
=µ
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αβ
+β+α
+β+α
α−β
=µ
1
)2(
)(2
3
)3)(2(
])(2)6()[1(3 2
4 +β+α+β+ααβ
β+α+−β+ααβ+β+α
=µ
)1( +β+αα
β
=γ
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Gerar 10000 valores de uma
B(0,5; 0,5). Apresentar os resultados
de forma tabular e gráfica, calculando
todas as principais medidas.
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A geração de uma distribuição Beta
de parâmetros α = a e β = b, inteiros é
dada por:
)b,1(G)a,1(G
)a,1(G
~)b,a(B
+
)Uln(~)a,1(G
a
1i
i∏
=
)Uln(~)b,1(G
b
1j
j∏
=
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A distribuição de Cauchy
apresenta normalmente duas
expressões. Uma denominada de
fórmula geral e outra de forma padrão.
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A distribuição de Cauchy
também denominada de
Lorentziana é a distribuição do
quociente de variáveis normais
padrão independentes.
Baron 
Augustin 
Louis 
Cauchy
(1789 -
1857)
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Entre os físicos ela é conhecida
como distribuição de Lorentz ou de
Breit-Wigner. Ela é importante por que
é a solução de uma equação diferencial
que descreve a ressonância forçada.
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A expressão geral da distribuição de
Cauchy é:
0 , 
x
1
1
)x(f
2
>β














β
α−
+βπ
=
ou
0 , 
])x([
)x(f
22
>β
α−+βπ
β
=
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Os parâmetros são α que é de
localização e β que é o de escala.
Se α = 0 e β = 1, então tem-se a
distribuição de Cauchy Padrão.
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A função densidade de
probabilidade da Cauchy Padrão é
dada por:
R x para 
)e1(
1
)x(f
x 2
∈
+π
=
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-0,1
0,1
0,3
0,5
0,7
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
C(-1; 0,5)
C(0; 1)
C(1,5; 1)
C(2; 2)
66
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A FD da Cauchy é:
 0 R, x para 
-x
arctg 
1
 
2
1
)x(F >β∈





β
α
π
+=
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0,0
0,5
1,0
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
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A distribuição de Cauchy não tem
valor esperado, i.e. média.
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A distribuição de Cauchy não
apresenta variância.
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Considerando uma C(α; β),
determinar:
(1) A moda;
(2) A mediana;
(3) A assimetria;
(4) A curtose;
(5) O coeficiente de variação
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α=µ=µ oo
Essa distribuição não apresenta
momentos finitos. A média e o desvio
padrão podem ser assumidos como
sendo α e β respectivamente.
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Gerar 10000 valores de uma
C(1; 2). Representar os resultados
graficamente e calcular todas as
principais medidas.
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α)]}5,0u(π[tg{β)β ;α(C +−≈
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


<
≥λ
=
λ
0 t se 0
0t se e.)t(f
t
Uma variável aleatória T tem uma
distribuição exponencial se sua fdp for
do tipo:
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Considere um servidor da WWW com
uma taxa de acesso de λ = 0,1 requisições por
segundo. Assuma que o número de chegadas
por unidade de tempo é Poisson e que a taxa
interchegadas, X, é uma Exponencial de
parâmetro λ. Determine a probabilidade de
não se tenha acessos durante um intervalo de
10 segundos.
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[ ]
%79,363679,0e
)e(elim
dte1,0)10X(P
1
1t1,0
t
10
t1,0
===
=−−=
=∫=≥
−
−−
∞→
∞
−
88
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0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101
Fdps - E(2,0) - E(1,0) - E(0,5)
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A função F(t) é dada por:
 
 0 t se -1
0 < t se 0
)t(F
e t-



≥
=
λ
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0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
FDs - E(2,0) - E(1,0) - E(0,5)
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λ
=
=+=
=λ==






λ
−−
∫−
∫∫
λ−
λ−
∞
∞ λ−λ− ∞
∞ λ−+∞
∞−
1
dt
dt.tdt)t(f.t)T(E 
e
et
e]et[
e
t
t
0
0
tt
0
0
t
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σ2 = V(T) = E(T2) – E(T)2
λ
∫ λ
∫−
∫∫
=
λλ
=
λ
=
=+=
=λ==
∞ λ−
∞ λ−λ− ∞
∞ λ−+∞
∞−
20
t
0
tt2
0
0
t222
21
.
2
dt
2
dt
dt.dt)t(f.)(E 
et
te2]et[
ettT
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A variância será então:
λλλ






λλ
σ
=−=−=
=−==
222
2
2
222
1122
)(E)T(V 
1
)T(ET
99
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Seja T uma VAC com distribuição
exponencial de parâmetro λ.
Determinar o valor mediano da
distribuição.
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Gerador
ln(u)µ- x ou
)u1ln(µ
λ
)u1ln(
x
)u1ln(xλ
1u
1)x(F 
e
e
xλ
xλ
=
−−=
−
−=
−=−
−=
−=
−
−
Para gerar uma VAC Exponencial
basta fazer:
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Uma variável aleatória X tem uma
distribuição “F” ou de Snedecor se sua
fdp for do tipo:
( )
 
0 x se 0
 0 x se 
2
n
2
m
mxnxnm
2
nm
)x(f
2
nm1
2
m
2
n
2
m









≤
>






Γ





Γ
+




 +
Γ
=
+
−−
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Expectância ou Valor esperado
Variância
2n ,
2n
n
)X(E >
−
=
)4 - )(n2 - m(n
)2 - n(m n2 = Var(X)
2 +
m é o grau de
liberdade do
numerador e n do
denominador
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0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 3 6 9 12 15
F(1, 3) - F(2, 5) - F(5, 10) - F(20, 20)
1010
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O que é tabelado é a percentil 95%
ou 99% - área à direita de cada curva
(uma para cada par de valores –
numerador, denominador) igual a 5% e
1%, isto é, “x” tal que P[F(m, n) ≥ x] = 5%
ou P[F(m, n) ≥ x] = 1%.
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Gerar 1000 valores de uma
F(3; 2). Apresentar os resultados de
forma tabular e gráfica, calculando
todas as principais medidas.
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A geração de uma F(m, n) é feita
através da relação com a distribuição
Qui-Quadrado.
χ
χ
=
χ
χ
=
∑
∑
=
=
2
n
2
m
2
n
2
m
n
1i
2
i
m
1i
2
i
m
n
n
m
Z
n
1
Z
m
1
~)n,m(F
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dxex)n( x0
1n −∞ −∫=Γ
Para se definir a Distribuição
Gama é necessário definir inicialmente
a Função Gama.
para n > 0
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Se n é um inteiro positivo, então:
Γ(n) = (n - 1)Γ(n - 1)
A função Gama é recursiva, isto é:
G(n) = (n – 1)!
1111
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1dxe)1( 0
x =∫=Γ
∞ −
E uma vez que :
A função gama é uma
generalização do Fatorial.
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π
2
1
=





Γ
Verificar, ainda, que:
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c.c. 0 
0 x se e)xλ(
)r(
λ
)x(f xλ1r
=
>
Γ
= −−
Uma vez definida a Função Gama,
pode-se definir, então, a Distribuição
Gama:
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Onde os parâmetros r > 0 e
λ > 0 são denominados de
parâmetro de forma (r) e
parâmetro de escala (λ).
Se r for inteiro então a
distribuição Gama é denominada
de distribuição de Erlang.
Agner
Krarup
Erlang
(1878 –
1929)
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Existe uma relação bastante
próxima entre a Gama e a
Exponencial. Se r = 1, a
distribuição gama se reduz a uma
exponencial.
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Se uma variável aleatória X é a soma
de r variáveis independentes e
exponencialmente distribuídas cada uma
com parâmetro λλλλ , então X tem uma
densidade Gama com parâmetros r e λλλλ .
1212
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0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0
G(1; 1) 
G(1; 2)
G(1; 3)
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0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0
G(2; 1) 
G(3; 1)
G(5; 1)
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A função F(x) é dada por:
 
 0 x se 0
0 x sedu eu)λ( 
(r)
λ
-1
)x(F
uλ-1-r
x





≤
>∫
Γ=
∞
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Se r é um inteiro positivo a FDA pode
ser integrada por partes fornecendo:
0 x se /k!x)λ( e1)x(F
k1r
0k
xλ >∑−=
−
=
−
que é a soma dos termos de uma Poisson
com média λx. Assim a FDA da Poisson
pode ser usada para avaliar a Gama.
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A vida de equipamento eletrônico é dada
por Y = X1 + X2 + X3 + X4, a soma das vidas
de seus componentes. Os componentes são
independentes, cada um tendo tempo de falha
exponencial com média entre falhas de 4
horas. Qual é a probabilidade de que o
sistema opere pelo menos 24 horas sem
falhas?
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Como r = 4, então a FDA da Gama é
dada por:
0 x se /k!(x/4) e1)x(F k
3
0k
4/x >∑−=
=
−
que é a soma dos termos de uma Poisson
com média λx = 24/4 = 6.
1313
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%12,15 
 )/k!6 e( 
)24(F1)24Y(P
k3
0k
6
=
=∑=
=−=>
=
−
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0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0
G(2; 1) 
G(3; 1)
G(5; 1)
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λ
r
dx)x(f.x)X(E µ =∫==
∞+
∞−
A expectância ou valor esperado de
uma Distribuição Gama é dada por:
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A Variância da Distribuição Gama
é dada por:
λ
r
 V(X)σ 2
2 ==
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Gerador
Para gerar valores de uma VAC
Gama, uma possibilidade é utilizar o
seguinte algoritmo:
(i) Gerar “r” números aleatórios:
u1, u2, ..., ur.
(ii) Calcular Li = -ln(1- ui) para i = 1,
2, ..., r.
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(iii) Somar todos os Li, isto é, fazer S
= Soma dos Li;
(iv) Determinar S/λ como um valor da
distribuição G(r, λ).
Esse algoritmo vale para valores
de r inteiros e não é muito eficiente
para r grande, mas é o mais simples.
1414
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)ln(
1
),(
1
∏
=
−≈
r
i
iUrE λ
λ
Resumindo: uma maneira de gerar
valores de uma G(λ, r) é dado por:
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A distribuição de Gumbel
é também conhecida como
distribuição de Valores
Extremos, log-Weibull ou
Fisher-Tippet. Seu nome é
uma homenagem a Emil J.
Gumbel.
Leonard 
Henry 
Caleb 
Tippett 
(1902 -
1985)
Emil Julius 
Gumbel
(1891 - 1966)
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A distribuição tem duas formas.
Uma é baseada no menor extremo e a
outra no maior. Elas são denominadas
de casos mínimo e máximo
respectivamente.
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A distribuição é utilizada na
Indústria em aplicações de Controle de
Qualidade. Nas ciências ambientais é
utilizada para modelar valores extremos
associados com enchentes e
precipitações pluviométricas.
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A expressão da distribuição de
Gumbel (caso mínimo) é:
0 e-exp
-x
exp 
1
)x(f
-x
>β











β
α
β
= β
α
A expressão da distribuição de
Gumbel (caso mínimo) é:
0 e-exp
-x
exp 
1
)x(f
-x
>β











β
α
−
β
= β
α
−
1515
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Os parâmetros são α que é de
localização e β que é o de escala.
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Se α = 0 e β = 1 então a distribuição
de Gumbel assume a forma:
β
α
=∈=
-x
y onde R y para ee)y(f e-y
y
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0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
G(-0,5; 0,5)
G(0; 1)
G(0,5; 1,5)
G(1: 2)
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-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
G(-0,5; 0,5)
G(0; 1)
G(0,5; 1,5)
G(1: 2)
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A FD da Distribuição de Gumbel é:
0 para eexp1)x(F
x
>β








−−= 




β
α−
β
α
=−= −
-x
 y onde e1)x(F e
y
ou
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0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
G(-1; 01,)
G(-0,5; 0,5)
G(0; 1)
G(0,5; 1,5)
G(1; 2)
1616
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0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
G(-1; 01,)
G(-0,5; 0,5)
G(0; 1)
G(0,5; 1,5)
G(1; 2)
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γβ−α=Γβ+α==µ )1( E(X) '
onde Γ’(1) é a derivada de Γ(n) quando
n = 1, isto é, Γ(1) = -0,577216 = γ =
constante de Euler.
A expectância ou valor esperado da
distribuição de Gumbel é dado por:
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A Variância da Distribuição de
Gumbel é dada por:
6
)(
 V(X) 
2
2 πβ==σ
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Considerando uma G(α; β),
determinar:
(1) A moda;
(2) A mediana;
(3) A assimetria;
(4) A curtose;
(5) O coeficiente de variação
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β−α=β+α=µ 3665,0))]2[ln(ln(e
1395,1
6
.
6
)(
404114,2
2
3
3
2
3
1 −=
πβπβ
β−
=
µ
µ
=γ
β−α
πβ
=γ
4632,36
α=µo
4,5
6
)(
20
)(3
2 2
4
4
2
4
2 =







 πβ
πβ
=
µ
µ
=γ
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Gerar 10000 valores de uma
G(-2; 2). Representar os resultados
graficamente e calcular todas as
principais medidas.
1717
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











−
+≈
u1
1
lnlnβα)β;α(G
Valores da distribuição de Gumbel
podem ser gerados através do método
da inversão:
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A distribuição de Laplace
se origina da diferença entre
duas VA exponenciais IID. É
um movimento Browniano
avaliado em um tempo
aleatório exponencialmente
distribuído.
Pierre 
Simon 
Marquis 
de Laplace
(1749 -
1827)
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A distribuição é conhecida também
pelo nome de Exponencial Dupla,
embora esse nome também seja
aplicado a distribuição de valores
extremos. É conhecida ainda por
Exponencial de Dupla Cauda e
Exponencial Bilateral.
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A expressão da distribuição de
Laplace é:
0 
2
e
 
-x
exp 
2
1
)x(f
x
>β
β
=





β
α
−
β
=
β
α−
−
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Os parâmetros são α que é de
localização e β que é o de escala.
1818
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Se α = 0 e β = 1 então a distribuição
de Laplace assume a forma
R x para 
2
e)x(f
x
∈=
−
Essa distribuição é, às vezes,
denominada de primeira lei do Erro de
Poisson.
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0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
La(-1; 0,5)
La(0; 1)
La(1,5; 1)
La(2; 2)
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A FD da Distribuição de Laplace é:
 
 x se 
-x
exp 
2
1
1
 x se 
-x
exp 
2
1
)x(F







α>





β
α
−−
α≤





β
α
−
=
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0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
La(-1; 0,5)
La(0; 1)
La(1,5; 1)
La(2; 2)
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 E(X) α==µ
A Expectância da distribuição de
Laplace é dada por:
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A variância da distribuição de
Laplace é dada por:
 2 V(X) 22 β==σ
1919
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Considerando uma Lp(α; β),
determinar:
(1) A moda;
(2) A mediana;
(3) A assimetria;
(4) A curtose;
(5) O coeficiente de variação
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αµ µµ oe ===
03 =µ
64 =µ
α
β
=
α
β
=γ 2
2 2
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Gerar 10000 valores de uma
La(-2; 2). Representar os resultados
graficamente e calcular todas as
principaismedidas.
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|)u|21ln()Usgn();(L −β−α≈βα
Onde U é uma uniforme no
intervalo [-0,5; 0,5]
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A expressão da fdp da Log-
Normal é dada por:
( )
0 0, x se 
2
xln
exp 
2x
1
)x(f
2
2
>σ≥








σ
µ−
−
πσ
=
0 0, x se 
xln
2
1
exp 
x2
1
)x(f
2
22
>σ≥














σ
µ−
−
σπ
=
Ou
2020
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O modelo apresenta um parâmetro
de localização µ e um de escala σ.
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-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8
LN(0; 1/8)
LN(0, 1/4)
LN(0; 1/2)
LN(0; 1)
LN(0; 3/2)
LN(0; 10)
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A FD de Distribuição Log-Normal é:
0 0, x se 
)xln(
G)x(F >σ≥





σ
µ−
=
Onde G é a FD da N(µ; σ)
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0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
x 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
R(0,5)
R(1)
R(1,5)
R(2)
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)2/exp( E(X) 2σ+µ==µ
A expectância ou valor esperada da
Distribuição da Log-Normal é dada
por:
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A variância da distribuição Log-
Normal é dada por:
)2exp()22exp( V(X) 222 σ+µ−σ+µ==σ
2121
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Considerando uma LN(µ, σ),
determinar:
(1) A moda;
(2) A mediana;
(3) A assimetria;
(4) A curtose;
(5) O coeficiente de variação
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)1)exp()2exp( 221 −σ+σ=γ
1)exp( 2 −σ=γ
)exp( 2o σ−µ=µ
3)2exp(3)3exp(2)4exp( 2222 −σ=σ+σ=γ
)exp(e µ=µ
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Gerar 10000 valores de uma
LN(0, 1). Representar os resultados
graficamente e calcular todas as
principais medidas.
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A geração de valores dessa
distribuição é feito através do método
da convolução:












−∑σµ≈σµ
=
6Uexp)exp(),(LN
12
1i
i
2
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A distribuição Logística apresenta
normalmente duas expressões. Uma
denominada de fórmula geral e outra de
forma padrão.
2222
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A distribuição Logística é
derivada do trabalho de Verhulst,
Professor de Análise na
Faculdade Militar Belga. Ele a
utilizou para modelar o
crescimento da população na
Bélgica no início de 1800.
Pierre 
François 
Verhulst
(1804 - 1849)
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A expressão geral da fdp Logística é
dada por:
0 β R, x para 
]e1[
eβ)x(f
β/)αx( 2
β/)αx(1
>∈
+
=
−
−−
β
α−
=∈
+
β
=
x
y R, x para 
]e1[
e)/1()y(f
y 2
y
ou
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Os parâmetros são α que é de
localização e β que é o de escala.
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A função densidade de probabilidade
da Logística padrão é dada por:
R x para 
]e1[
e)x(f
x 2
x
∈
+
=
R x para 
]e1[
1
)x(f
x 2
∈
+
=
−
Ou
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0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
L(0;1)
L(-1; 2)
L(-1; 0,5)
L(2; 2)
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Suponha que X tem uma
distribuição de Pareto com
α = 1. Mostre que
Y = ln(X - 1) tem uma distribuição
Logística Padrão.
2323
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A FD da Logística é:
 0 R, x para 
e1
e)x(F
)/-(x
)/-(x
>β∈
+
=
βα
βα
 0 R, x para 
e1
1
)x(F
)/-(x-
>β∈
+
=
βα
ou
 
-x
y R, y para 
e1
1
)y(F
y- β
α
=∈
+
=
ou ainda:
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0,0
0,5
1,0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
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 )X(E α==µ
A expectância ou valor esperado da
Distribuição Logística é dada por:
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A Variância da Distribuição
Logística é dada por:
 
3
 V(X) 
2
22 πβ==σ
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Considerando uma L(α; β),
determinar:
(1) A moda;
(2) A mediana;
(3) A assimetria;
(4) A curtose;
(5) O coeficiente de variação
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αµ µµ oe ===
03 =µ
2,45/64 ==µ
α
βπ
=
α
βπ
=γ
3
3
22
2424
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Gerar 10000 valores de uma
L(-2; 5). Representar os resultados
graficamente e calcular todas as
principais medidas.
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS






−
+≈
u1
u
lnβα)β;α(L
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A distribuição foi
introduzida por De Moivre em
um artigo em 1733. O seu
resultado foi estendido por
Laplace no seu livro “Teoria
Analítica das Probabilidades” de
1812.
Abraham DE 
MOIVRE
(1667 - 1754)
Prof. Lorí Viali, Dr. – Faculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS
Laplace utilizou a
normal na análise de erros
de experimentos. O
“método dos mínimos
quadrados” foi introduzido
por Legendre em 1805.
Pierre-Simon, 
Marquis de 
LAPLACE
(1749 - 1827)
Adrien Marie 
LEGENDRE
(1752 - 1833)
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Ele foi justificado por
Gauss, supondo uma
distribuição normal dos
erros, em 1809 que alegou
que já utilizava o método
desde 1794. Hoje ela é
também conhecida como
distribuição de Gauss-
Moivre-Laplace.
Carl Friedrich 
GAUSS 
(1777 - 1855)
2525
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ℜ∈
σπ
=






σ
µ−
−
 x,e.
.2
1
)x(f
2x
.
2
1
Uma variável aleatória X tem uma
distribuição normal se sua fdp for do
tipo:
0 e - com >σ∞<µ<∞
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A distribuição Normal apresenta
dois parâmetros. Uma de localização µ
e outro de forma σ > 0. Neste caso os
parâmetros representam a média e a
variabilidade do modelo.
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0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
N(0; 1)
N(0; 0,5)
N(0; 2)
N(2; 1)
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?due.
.2
1
)xX(P x
2u
.
2
1
=
σπ
=≤ ∫ ∞−






σ
µ−
−
A normal não é integrável
através do TFC, isto é, não existe
F(x) tal que F’(x) = f(x).
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Utilizar integração numérica.
Como não é possível fazer isto com
todas as curvas, escolheu-se umapara ser tabelada (integrada
numericamente).
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σ
µ−
=
X
Z
A curva escolhida é a
N(0, 1), isto é, com µ = 0 e σ = 1.
Se X é uma N(µ, σ), então:Se X é uma N(µ, σ), então:
Será uma N(0; 1)
2626
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ℜ∈
π
=ϕ
−
z ,e.
2
1
)z(
.
2
z2
A fdp da variável Z é dada por:
uma vez que µ = 0 e σ = 1.
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0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
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O que é tabelado é a FDA da
variável Z, isto é:
)z( due.
2
1
du)u()zZ(P
z
-
.
2
u2
z
-
Φ=
π
=
=ϕ=≤
∫
∫
∞
−
∞
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0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
z
)z(Φ
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µ==µ )X(E 
A expectância ou valor esperado da
Distribuição Beta é dada por:
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A Variância da Distribuição Normal
é dada por:
σ= 2 V(X) 
2727
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Considerando uma N(µ; σ),
determinar:
(1) A moda;
(2) A mediana;
(3) A assimetria;
(4) A curtose;
(5) O coeficiente de variação.
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µ=µ=µ eo
01 =γ
0ou 3γ2 =
σ
µ
=γ
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Gerar 10000 valores de uma
N(10, 2). Representar os resultados
graficamente e calcular todas as
principais medidas.
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Um dos possíveis métodos de
geração de valores da normal é pela
convolução:
12
k
2
k
U
)1,0(N
k
1i
i −∑
≈ =
Fazendo
k = 12,
tem-se:
6U)1,0(N
12
1i
i −∑≈
=
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A Distribuição de
Pareto é também conhecida
como Exponencial Dupla,
Hiperbólica ou Lei do Poder.
É usada para modelar tempo
de CPU e tamanho de
arquivos na Internet.
Vilfredo 
Federigo 
Samaso 
PARETO
(1848 - 1923)
2828
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Distribuições sócio-econômicas
com grandes caudas à direita. Tamanho
de populações, ocorrência de fenômenos
naturais, preços de ações, renda pessoal,
etc.
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A função densidade de probabilidade
de Pareto é dada por:



 >βαβ≥βα
=
+αα
c.c. 0
0, , x se x)x(f
1)(-
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Os parâmetros de locação, β > 0
representa o menor valor possível da
variável. O parâmetro α > 0
representa a forma da distribuição.
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0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0
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Suponha que a renda de uma
determinada população tenha uma
distribuição de Pareto com parâmetro de
forma igual a 3 e parâmetro de escala igual a
1000. Determine o percentual da população
que tem renda entre 2000 e 4000.
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%94,10
64
7
64
1
8
1
4
1
2
1
2000
1000
1
4000
1000
1
)2000(F)4000(F)4000X2000(P
3333
==−=
=





−





=














−−





−=
=−=<<
 
 0001 x se 0
0001 x se 
x
1000
-1
)x(F
3





<
≥





=
2929
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A função F(x) é dada pela seguinte
expressão relativamente simples:
 
 x se 0
 x se 
x
-1
)x(F





β<
β≥




 β
=
α
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0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0
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1 se 
1
)X(E >α
−α
αβ
==µ
A expectância ou valor esperado de
uma distribuição de Pareto é dada por:
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A variância da distribuição de
Pareto é dada por:
2 se 
)1()2(
 V(X) 
2
2
2 >α
−α−α
βα
==σ
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Gerar 1000 valores de uma
P(2; 0,1). Fazer um diagrama dos
resultados e calcular as seguintes
medidas: média, desvio padrão, moda,
mediana, assimetria e curtose.
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Considerando uma P(α; β),
determinar:
(1) A moda;
(2) A mediana;
(3) A assimetria;
(4) A curtose.
3030
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mo = β
me =
3 se 
2
3
)1(2
3 >αα
−α
−α
+α
=µ
4 se 
)4)(3(
)2)(23(3 2
4 >α−α−αα
−α+α+α
=µ
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u)u1(
x
β
x
β
α/1α/1
αα
βx
x
β
u1 1F(x) 
−=⇒=
−=⇒−=
−












Um gerador para obter valores de
uma variável de Pareto é dado por:
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Uma variável aleatória X tem uma
distribuição Qui-Quadrado se sua fdp
for do tipo:
 
0 x se 0
0 x se 
2
2
ex
)x(f 2
2
x
1
2









≤
>





 υ
Γ
=
υ
−−
υ
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Determinar a representação gráfica, em
um mesmo diagrama, das seguintes
distribuições:
χχχχχ 25
2
4
2
3
2
2
2
1 e , , ,
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0,00
0,20
0,40
0,60
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
Q(1)
Q(2)
Q(3)
Q(4)
Q(5)
3131
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O que é tabelado é a função inversa
(percentis), em relação a área à direita
(unilateral) de cada curva (uma para cada
linha), ou a soma das caudas (bilateral),
isto é, a tabela retorna um valor “t” tal que
P(ΤΤΤΤ ≥≥≥≥ t)))) ==== αααα ((((unilateral)))) ou P(|T| ≥≥≥≥ t)))) ==== αααα....
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Não existe uma expressão
analítica para F(x) genérica. Ela é
avaliada numericamente.
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A expectância ou valor esperado da
Distribuição Qui-Quadrado é dado por:
υ=)X(E
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A Variância da Distribuição da Qui-
Quadrado é dada por:
 2 = Var(X) υ
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O que é tabelado é a função
inversa, em relação a área à direita de
cada curva (uma para cada linha),
isto é, dado um valor de área na cauda
direita (αααα), a tabela retorna um valor “x” tal
que P(χχχχ2 ≥≥≥≥ x)))) ==== αααα
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Considerando uma χ2(ν),
determinar:
(1) A moda;
(2) A mediana;(3) A assimetria;
(4) A curtose;
(5) O coeficiente de variação.
3232
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ν
=γ
8
1
ν
=γ
2
 
2 se 2o >ν−ν=µ
3/2e −ν=µ
ν
=γ
12
2
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Gerar 10000 valores de uma
. Apresentar os resultados de forma
tabular e gráfica, calculando todas as
principais medidas.
χ23
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A geração de valores de uma Qui-
Quadrado com ν gl é divido em dois
casos: ν par (primeiro algoritmo) e ν
ímpar (segundo algoritmo)
/2r ),Uln(2~
r
1i
i
2 ν=∏−χ
=
ν
/2)1(r ,Z)Uln(2~ 2
r
1i
i
2 −ν=+∏−χ
=
ν
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A distribuição de
Rayleigh pode ser obtida
através de duas componentes
ortogonais normalmente IID.
O valor absoluto (p. e.
velocidade do vento) terá uma
distribuição de Rayleigh.
John William 
Strutt (Lord) 
RAYLEIGH
(1842 - 1919)
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Se for tomado um número complexo
ao acaso com as componentes real e
imaginária normalmente IID o valor
absoluto terá uma distribuição de
Rayleigh.
3333
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Se β = 1, então R(1)2 ~ ;
A χ2 é uma generalização da
Rayleigh;
A Weibull é, também, uma
generalização da Rayleigh.
χ22
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A expressão da distribuição de
Rayleigh é:
0 0, x se 
b
x
2
1
exp 
x
)x(f
2
2
>β≥














−
β
=
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O modelo apresenta um parâmetro
de escala β.
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0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
R(0,5)
R(1)
R(1,5)
R(2)
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A FD da Distribuição de Rayleigh é:
0 0, x se 
x
2
1
exp1)x(F
2
>β≥














β
−−=
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0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
R(0,5)
R(1)
R(1,5)
R(2)
3434
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2
 E(X) 
π
β==µ
A expectância ou valor esperada da
Distribuição de Gumbel é dado por:
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A Variância da Distribuição de
Rayleigh é dada por:
2
)4(
2
2 V(X) 
2
22 βπ−=




 π
−β==σ
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Considerando uma R(β),
determinar:
(1) A moda;
(2) A mediana;
(3) A assimetria;
(4) A curtose;
(5) O coeficiente de variação
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6311,0
2
2
2
)3(
2/33
2
3
1 =





 π
−
π
−π
=
µ
µ
=γ
5227,0
4
2
2
22
=
π
π−
=
π
β





 π
−β
=γ
β=µo
2451,0 
)4(
16246
2
2
2
=
=
π−
+π−π
−=γ
β=−β=µ 3863,1)5,0ln(2e
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Gerar 10000 valores de uma
R(2). Representar os resultados
graficamente e calcular todas as
principais medidas.
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A geração de valores dessa
distribuição é feita através de uma qui-
quadrado.
])uln(2[U −β=
3535
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A origem da distribuição t
foi um artigo publicado em
1908 por Gosset, químico da
cervejaria Guinness de Dublin.
Ele não pode publicar o artigo com o
seu verdadeiro nome daí o pseudônimo.
William 
Sealey 
Gosset
(1876 - 1937)
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A distribuição t, e
principalmente o teste t, se
tornaram bem conhecidos através
do trabalho de Fisher, que foi
quem a batizou de distribuição de
Student. Ela surge em quase todo
trabalho estatístico sempre que se
tenha que estimar o desvio padrão
a partir de dados amostrais.
Sir Ronald 
Aylmer
Fisher 
(1890 -
1962)
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0 
x1
2
.
2
1
)x(f
2
1
2
>ν








υ
+




υ
Γπυ





 +υ
Γ
=
+υ
Uma variável aleatória X tem uma
distribuição “t” ou de Student se sua
fdp for do tipo:
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Determinar a representação gráfica, em
um mesmo diagrama, das seguintes
distribuições: t(1), t(3), t(10), t(25) e Z.
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0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
t(1)
t(3)
t(10)
t(25)
N(0: 1)
3636
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O que é tabelado é a função inversa
(percentis), em relação a área à direita
(unilateral) de cada curva (uma para
cada linha), ou a soma das caudas
(bilateral), isto é, a tabela retorna um valor
“t” tal que P(ΤΤΤΤ ≥≥≥≥ t)))) ==== αααα ((((unilateral)))) ou
P(|T| ≥≥≥≥ t)))) ==== αααα....
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Não existe uma expressão
analítica para F(x) genérica. Ela é
avaliada numericamente.
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A expectância ou valor esperado da
Distribuição t é dado por:
0)X(E ==µ
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A Variância da Distribuição da t é
dada por:
 
2-
 = Var(X)
υ
υ
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Considerando uma t(ν), determinar:
(1) A moda;
(2) A mediana;
(3) A assimetria;
(4) A curtose;
(5) O coeficiente de variação.
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01 =γ
4 
4
63
2 >ν−ν
−ν
=γ
µ==µ eo 0
3737
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Gerar 10000 valores de uma
t(3). Apresentar os resultados de forma
tabular e gráfica, calculando todas as
principais medidas.
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A geração dos valores de uma
distribuição t é feito através do
quociente de uma normal e uma Qui-
Quadrado.
n
Z
~t
2
n
n
χ
Onde Z é a
normal padrão.
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 c.c. 0
b x a se 
ab
1
)x(f




≤≤
−=
Uma VAC X é uniforme no intervalo
[a; b] se assume todos os valores com
igual probabilidade. Isto é, se f(x) for:
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Seja X uma VAC com distribuição
uniforme no intervalo [2; 6], isto é,
X ~ U(2; 6). Então a fdp é dada por:
 
 c. c. 
 x se 
4
1
 
2-6
1
)x(f





≤≤=
=
0
62
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0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 2 4 6 8 10
Fdp da U(2; 6)
3838
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A função F(x) é dada por:
 
 b > x se1
b x a se 
ab
ax
a < x se 0
)x(F







≤≤
−
−
=
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Seja X uma uniforme no intervalo
[2; 6], então a FDA de X é dada por:
 
 6 > x se 
6 x 2 se 
x
2 < x se 
)x(F







≤≤
−
=
1
4
2
0
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0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
FDA da U(2; 6)
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22
22
1 222
ba
)ab(
)ab).(ab(
)ab(
abx
ab
dx
ab
x
dx)x(f.x)X(E 
b
a
b
a
+
=
−
+−
=
=
−
−
=





−
=
=∫
−
=∫=
∞+
∞−
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σ2 = V(X) = E(X2) – E(X)2
=
−
−
=





−
=
=∫
−
=∫=
∞+
∞−
)ab(
abx
ab
dx
ab
xdx)x(f.x)X(E 
b
a
b
a
33
1 33
2
22
3
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A variância será então:
12
4
2
3
23
2
2233
233
22
)ab(
abba
)ab(
ab
ba
)ab(
ab
)X(E)X(E)X(V 2
−
=
=
−+
−
−
−
=
=




 +
−
−
−
=
=−==σ
3939
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Gerador
u)ab(ax
ab
ax
u
ab
ax
)x(F 
−+=
−
−
=
−
−
=
Para gerar uma VAC Uniforme em
um intervalo [a, b], basta fazer:
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A Distribuição de Weibull
(1951) é aplicável a uma série de
fenômenos, sendo uma das
principais áreas os tempos de
falha de componentes elétricos e
mecânicos.
Ernest 
Hjalmar 
Waloddi 
WEIBULL
(1887 - 1979)
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A função densidade de
probabilidade de Weibull é dada por:






≥













 −
−




 −
=
−
c.c. 0
γ x se 
δ
γx
exp
δ
γx
δ
β
)x(f
β1β
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Os parâmetros são γ (-∞ < γ < ∞) o de
locação, δ > 0 o de escala e β > 0 o de
forma.
Quando γ = 0 e β = 1, a Weibull se
reduz a uma exponencial de parâmetro
λ = 1/δ.
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0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0
W(0,1,1)
W(0,2,1)
W(0,3,1)
W(0,4,1)
4040
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A vida de equipamento eletrônico é dada
por Y = X1 + X2 + X3 + X4, a soma das vidas
de seus componentes. Os componentes são
independentes, cada um tendo tempo de falha
exponencial com média entre falhas de 4
horas. Qual é a probabilidade de que o
sistema opere pelo menos 24 horas sem
falhas?
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%12,15 
 )/k!6 e( 
)24(F1)24Y(P
k3
0k
6
=
=∑=
=−=>
=
−
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A função F(x) é dada pela seguinte
expressão relativamente simples:
 
 γ x se 0
γ x se 
δ
γ-x
-exp-1
)x(F
β






<
≥














=
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0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0
W(0,1,1)
W(0,2,1)
W(0,3,1)
W(0,4,1)
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A distribuição do tempo de falha
para um equipamento eletrônico é uma
Weibull com parâmetros γ = 0, β = ½ e δ
= 100. Determine a fração de
equipamentos que espera resistam mais
de 400 horas
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%53,13e 
)100/400exp( 
)400(F1)400X(P
2- ==
=−=
=−=>
4141
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





+Γ+==
β
1
1δγ)X(E µ 
A expectância ou valor esperado de
uma Distribuição de Weibull é dada por:
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A Variância da Distribuição de Weibull
é dada por:




















+Γ−





+Γ==
β
1
1
β
2
1δ V(X)σ 
2
22
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Gerador
Para gerar valores de uma VAC
Weibull, uma possibilidade é utilizar o
seguinte algoritmo:
u -exp-1
δ
γ-x
β
=














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γδxγδx
δγ-x
δ
γ-x
)u1ln(u1 -exp
)]uln([)]u1ln([
)]u1ln([)]u1ln([
δ
γ-x
δ
γ-x
β/1β/1
β/1β/1
ββ
+=⇒+=
=⇒=
=−−⇒−=








−−−
−−−−











