Conceitos iniciais - Aulas 1 e 2 (1) (1)

Ana De Campos
15/08/2022
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Vetores e Geometria

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Conceitos Iniciais
Prof. Dr. Matheus Moreira Costa
Vetores e Geometria Anaĺıtica - IFSP/Itapetininga
2o semestre de 2022
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
O Plano Cartesiano
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
O Plano Cartesiano
O plano ou sistema cartesiano é um objeto matemático plano composto por
duas retas reais orientadas perpendiculares (eixos) e recebe esse nome por ter
sido idealizado por René Descartes. Esse sistema também pode ser chamado de
R2. O ponto em que os dois eixos se interceptam é denominado de origem (O)
do sistema e, nesse ponto, os dois eixos possuem valor zero. O eixo horizontal
(eixo x) é denominado de eixo das abscissas e o vertical (eixo y) das ordenadas.
O−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
O Plano Cartesiano
O plano cartesiano é dividido em quatro quadrantes.
No 1o quadrante: x > 0 e y > 0;
No 2o quadrante: x < 0 e y > 0;
No 3o quadrante: x < 0 e y < 0;
No 4o quadrante: x > 0 e y < 0.
1o quadrante2o quadrante
3o quadrante 4o quadrante
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Representação de pontos
Um ponto do plano é representado por um par ordenado (x , y), denominadas
coordenadas do ponto, em que x representa sua abscissa e y sua ordenada.
Por exemplo:
A = (2, 3), B = (0,−2), C = (−3, 1), D = (−2,−2, 5), E = (1, 0) e
F = (3,−3)
A
B
C
D
E
F
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Distância entre dois pontos
A distância d entre dois pontos A = (x1, y1) e B = (x2, y2) é dada por:
d(A,B) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
A
B
C
x2x1
y2
y1
d
y2 − y1
x2 − x1
x
y
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Exemplo
Vamos calcular a distância entre o ponto B = (0,−2) e os pontos:
A = (2, 3)
d(B,A) =
√
(2− 0)2 + (3− (−2))2 =
√
4 + 25 =
√
29
C = (−3, 1)
d(B,C) =
√
(−3− 0)2 + (1− (−2))2 =
√
9 + 9 =
√
18
D = (−2,−2, 5)
d(B,D) =
√
(−2− 0)2 + (−2, 5− (−2))2 =
√
4 + 0, 25 =
√
4, 25
E = (1, 0)
d(B,E) =
√
(1− 0)2 + (0− (−2))2 =
√
1 + 4 =
√
5
F = (3,−3)
d(B,F ) =
√
(3− 0)2 + (−3− (−2))2 =
√
9 + 1 =
√
10
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Exerćıcio
Dados os seguintes pontos:
A = (−1, 3);
B = (−2, 0);
C = (4;−1, 8);
D = (0; 5, 5);
E = (1, 1);
F = (−1, 2;−3, 5).
a Determine o quadrante de cada um deles.
b Represente-os no plano cartesiano.
c Determine a distância entre o ponto B e os demais.
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Matrizes
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Matrizes
Definição:
Dados dois números m e n naturais não nulos, chama-se matriz de ordem m× n
toda tabela A formada por números reais distribúıdos em m linhas e n colunas.
Notação:
Uma matriz deve ser denotada por letras maiúsculas do alfabeto latino e seus
elementos devem vir entre parênteses ou colchetes.
Exemplos:
1 A =
(
3 5 −1
0 4
5
√
2
)
é uma matriz 2 x 3.
2 B =
 4 −33
7
2
4 1
 é uma matriz 3 x 2.
3 C =
(
0 9 −1 7
)
é uma matriz 1 x 4.
4 D =
 51
−3
 é uma matriz 3 x 1.
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Matrizes
Em uma matriz A qualquer, cada elemento é indicado por aij . O ı́ndice i indica
a linha e o ı́ndice j a coluna às quais o elemento pertence. Com a convenção de
que as linhas sejam numeradas de cima para baixo (de 1 até m) e as colunas da
esquerda para a direita (de 1 até n).
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn

Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Matrizes Especiais
Matriz linha
É toda matriz de ordem 1× n, isto é, com uma única linha.
Exemplo: A =
(
12 −1 4 −2, 5
)
Matriz coluna
É toda matriz de ordem m × 1, isto é, com uma única coluna.
Exemplo: B =

3
−2
7
−15

Matriz nula
É toda matriz que tem todos os elementos iguais a zero.
Exemplo: C =
(
0 0 0
0 0 0
)
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Matrizes Especiais
Matriz quadrada
É toda matriz de ordem n× n, isto é, o número de linhas é igual ao de colunas.
Exemplo: D =
(
−1 0
19 −
√
5
)
Matriz diagonal
É toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal
principal são iguais a zero.
Exemplo: E =
 −3 0 00 1 0
0 0 7

Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Matrizes Especiais
Matriz identidade
É toda matriz diagonal, cujos elementos da diagonal da principal são todos iguais
a 1.
Exemplo: F =
 1 0 00 1 0
0 0 1

Matriz transposta
Dada uma matriz A = (aij)m×n, denominamos por transposta de A a matriz
At =
(
a′ji
)
n×m, em que para todo i e para todo j , a
′
ji = aij . Ou seja, a primeira
linha de A é a primeira coluna de At , a segunda linha de A é a segunda linha de
At e assim por diante.
Exemplo: A =
(
1 −3
7 −4
)
⇒ At =
(
1 7
−3 −4
)
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Operações com matrizes
Igualdade
Duas matrizes A = (aij)m×n e B = (bij)m×n são iguais se aij = bij para todo
i = 1, ...,m e j = 1, ..., n. Ou seja, os elementos correspondentes (elementos
com ı́ndices iguais) forem iguais.
Exemplos:
1)
(
1 −3
7 −4
)
=
(
1 −3
7 −4
)
2)
(
1 −3
7 −4
)
̸=
(
1 7
−3 −4
)
Adição
Só é posśıvel somar duas matrizes se ambas tiverem a mesma ordem (mesmo
número de linhas e de colunas). Neste caso, a soma das matrizes A = (aij)m×n
e B = (bij)m×n é a matriz C = (cij)m×n, em que cij = aij + bij para todo
i = 1, ...,m e j = 1, ..., n. Ou seja, a matriz C é formada pela soma dos
elementos correspondentes de A e B
Exemplo:(
1 −3
7 −4
)
+
(
−2 5
3 −1
)
=
(
1 + (−2) −3 + 5
7 + 3 −4 + (−1)
)
=
(
−1 2
10 −5
)
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Operações com matrizes
Matriz Oposta
Dada a matriz A = (aij)m×n, denominamos de oposta de A (indica-se por −A) a
matriz A′ tal que A+ A′ = O, em que O é a matriz nula de mesma ordem que
A.
Exemplo: A =
(
1 −3
7 −4
)
⇒ −A =
(
−1 3
−7 4
)
Diferença
Dadas duas matrizes A = (aij)m×n e B = (bij)m×n, denominamos de diferença
entre A e B a matriz C = A−B. Ou seja, a diferença entre A e B é a soma de
A com a oposta de B.
Exemplo:(
1 −3
7 −4
)
−
(
−2 5
3 −1
)
=
(
1 −3
7 −4
)
+
(
2 −5
−3 1
)
=
(
3 −8
4 −3
)
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Operações com matrizes
Produto de número por matriz
Dado um número real k e uma matriz A = (aij)m×n, denominamos de produto
k · A a matriz B = (bij)m×n, tal que bij = k · aij , para todo i e todo j . Ou seja,
o número k deve multiplicar todos os elementos de A.
Exemplo: 3 ·
(
1 −3
7 −4
)
=
(
3 −9
21 −12
)
Produto de Matrizes
Dadas duas matrizes A = (aij)m×n e B = (bjk)n×p, denominamos de produto
A · B a matriz C = (cik)m×p, tal que
cik = ai1 · b1k + ai2 · b2k + · · ·+ ain · bnk =
∑n
j=1 aij · bjk
Observações:
1) Só é posśıvel multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira
for igual ao número de linhas da segunda.
2) O primeiro elemento da matriz C será a soma dos produtos entre: o primeiro
elemento da primeira linha de A pelo primeiro elemento da primeira coluna de B,
o segundo elemento da primeira linha de A pelo segundo elemento da primeira
coluna de B e assim por diante.
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Operações com matrizes
Produto de Matrizes
Exemplos:
1) Dadas as matrizes A =
(
1 2 3
4 5 6
)
e B =
 78
9

Como A é uma matriz 2× 3 e B tem ordem 3× 1 é posśıvel fazer o produto C = A ·B.
Neste caso, C será uma matriz 2× 1. Note que, nesse caso, não é posśıvel fazer B ·A.
C = A · B =
(
1 · 7 + 2 · 8 + 3 · 9
4 · 7 + 5 · 8 + 6 · 9
)
=
(
7 + 16 + 27
28 + 40 + 54
)
=
(
50
122
)
2) Dadas as matrizes A =
(
1 2
3 4
)
e B =
(
5 6
7 8
)
Como A é uma matriz 2× 2 e B tem ordem 2× 2 é posśıvel fazer o produto C = A ·B
e o produto D = B · A. Neste caso, C e D serão matrizes 2× 2.
C =
(
1 · 5 + 2 · 7 1 · 6 + 2 · 8
3 ·5 + 4 · 7 3 · 6 + 4 · 8
)
=
(
5 + 14 6 + 16
15 + 28 18 + 32
)
=
(
19 22
43 50
)
D =
(
5 · 1 + 6 · 3 5 · 2 + 6 · 4
7 · 1 + 8 · 3 7 · 2 + 8 · 4
)
=
(
5 + 18 10 + 24
7 + 24 14 + 32
)
=
(
23 34
31 46
)
Note que C ̸= D, ou seja, para o produto de matrizes não é válida a propriedade
comutativa.
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Exerćıcios
Dadas as matrizes:
A =
 2 −3 15 0 −2
4 1 0
, B = ( −1 7
2 8
)
, C =
 2 −41 5
3 −1
,
D =
 1 −73 8
−4 5
 e I = ( 1 0
0 1
)
.
1 Determine a ordem dessas matrizes.
2 Determine a transposta dessas matrizes.
3 Calcule B + I , C + D, D − C , 5 · A e −2 · D.
4 Calcule A · C , B · C t , A · D, B · I e D · B.
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Determinantes
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Determinantes
Definição
O determinante de uma matriz é uma função que associa essa matriz em um
número real. Só podemos calcular determinantes de matrizes quadradas. Seja A
uma matriz quadrada de ordem n:
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann

O determinante de A será denotado por:
det A =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Cálculo de Determinantes
Para n = 1
O determinante de uma matriz A de ordem 1 é o valor do único elemento dessa
matriz.
A =
(
a11
)
⇒ det A = a11
Exemplo: A = (6) ⇒ det A = 6.
Para n = 2
O determinante de uma matriz A de ordem 2 é o produto dos elementos da sua
diagonal principal menos o produto dos elementos da sua diagonal secundária.
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
⇒ det A = a11 · a22 − a12 · a21
Exemplo:
∣∣∣∣ 3 −14 2
∣∣∣∣ = 3 · 2− (−1) · 4 = 10.
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Cálculo de Determinantes
Para n = 3
O determinante de uma matriz A de ordem 3
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

é dado por:
det A = a11 ·a22 ·a33+a12 ·a23 ·a31+a13 ·a21 ·a32−a13 ·a22 ·a31−a11 ·a23 ·a32−a12 ·a21 ·a33
Podemos memorizar essa definição da seguinte forma:
a) Repetimos, ao lado da matriz, as suas duas primeiras colunas;
b) Os termos positivos são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas
situadas na direção da diagonal principal;
c) Os termos negativos são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas
situadas na direção da diagonal secundária.
+ + +- - -
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Cálculo de Determinantes
Para n = 3
Exemplo: ∣∣∣∣∣∣
1 3 4
5 2 −3
1 4 2
∣∣∣∣∣∣ = 4− 9 + 80− 8 + 12− 30 = 49
1 3 4 1 3
5 2 −3 5 2
1 4 2 1 4
+4+(-9) +80-8 -(-12) -30
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Exerćıcio
Calcule o determinante das matrizes:
A =
 2 −3 15 0 −2
4 1 0
, B = ( −1 7
2 8
)
, C =
 2 −4 −21 5 −4
3 −1 −1
,
D =
 0 −7 03 8 −1
0 5 0
 e E =
 1 0 00 −1 0
0 0 −2
.
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Sistemas Lineares
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Equações Lineares
Definição:
Chamamos de equação linear, nas incógnitas x1, x2, . . . , xn, toda equação do tipo:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b
Os números a11, a12, . . . , a1n, todos reais, são chamados coeficientes e b é o
termo independente da equação.
Exemplos:
1) 3x1 + 4x2 − 5x3 − x4 = 5
2) 2x − y − z = 0
3) 0a+ 0b + 0c = 4
4) 0m + 0n + 0p + 0q = 0
Obs: não são lineares as equações:
1) 2x21 + 4x2 + x3 = 0
2) 2xy + z + w = 3
3) x +
√
y − z = 4
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Equações Lineares
Solução de uma equação linear:
Dizemos que a sequência ou ênupla ordenada de números reais
(α1, α2, ..., αn)
é uma solução da equação linear
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b
se a11α1 + a12α2 + · · ·+ a1nαn = b for uma sentença verdadeira.
Exemplos:
1) (1, 2, 3,−2) é solução de 2x+3y−z+w = 3, pois 2 ·1+3 ·2−3+(−2) = 3.
2) É facil observar que qualquer tripla (α1, α2, α3) é solução da equação 0x +
0y + 0z = 0.
3) É fácil observar que a equação 0a+ 0b + 0c + 0d = 4 não possui solução.
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Sistemas Lineares
Definição:
Chamamos de sistema linear, nas incógnitas x1, x2, . . . , xn, um conjunto de m
(m ≥ 1) equações lineares nessas incógnitas. Assim, o sistema S , abaixo, é
linear.
S :

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
Solução de um sistema linear:
Dizemos que a sequência ou ênupla ordenada (α1, α2 . . . , αn) de números reais
é solução de um sistema linear S , se for solução de todas as equações de S . Isto
é 
a11α1 + a12α2 + · · ·+ a1nαn = b1
a21α1 + a22α2 + · · ·+ a2nαn = b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1α1 + am2α2 + · · ·+ amnαn = bm
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Sistemas Lineares
Solução de um sistema linear:
Exemplos:
1) (1, 2, 3) é solução do sistema
x + y + z = 6
2x + y − z = 1
3x − y + z = 4
Uma vez que: 
1 + 2 + 3 = 6
2 · 1 + 2− 3 = 1
3 · 1− 2 + 3 = 4
2) O sistema linear 
x + 2y + 3z = 5
x − y + 4z = 1
0x + 0y + 0z = 6
não admite solução, pois a última equação não é satisfeita por nenhuma tripla
(α1, α2, α3).
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Sistemas Lineares
Sistema posśıvel:
Se um sistem S possui ao menos uma solução, dizemos que ele é posśıvel ou
compat́ıvel.
Se essa solução foi única, S é um sistema posśıvel e determinado(SPD). Se
existirem infinitas soluções para S , ele é um sistema posśıvel indeterminado(SPI).
O exemplo (1) do slide anterior é SPD, já o sistema abaixo é SPI{
x + y = 6
0x + 0y = 0
uma vez que existem infinitas soluções para ele, como por exemplo as duplas:
(0, 6), (1, 5), (3, 3), ( 1
2
, 11
2
), (12,−6)
Sistema imposśıvel:
Se um sistem S não possui solução, dizemos que ele é imposśıvel ou incompat́ıvel
(SI). O exemplo (2) do slide anterior é SI.
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Sistemas Equivalentes
Definição:
Dizemos que dois sistemas lineares S1 e S2 são equivalentes se toda solução de
S1 for solução de S2 e vice-versa.
Exemplo:
S1 :
{
x + y = 3
3x − y = 1 e S2 :
{
x + y = 3
4x = 4
são equivalentes,uma vez que ambos são SPD com solução (1, 2).
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Teoremas
Teorema 1:
Multiplicando-se os membros de uma equação qualquer de um sistema linear S
por um número real k, k ̸= 0, o novo sistema S ′ obtido será equivalente a S .
Exemplo:
S1 :
{
x + y = 3
3x − y = 1 e S2 :
{
x + y = 3
6x − 2y = 2
são equivalentes,uma vez que S2 foi obtido de S1, multiplicando a segunda equa-
ção por 2.
Teorema 2:
Se substituirmos uma equação de um sistema linear S pela soma, membro a
membro, dela com uma outro, o novo sistema S ′ obtido será equivalente a S .
Exemplo:
S1 :
{
x + y = 3
3x − y = 1 e S2 :
{
x + y = 3
4x = 4
são equivalentes,uma vez que S2 foi obtido de S1, substituindo a segunda equação
pela soma dela com a primeira equação.
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Matriz de um sistema linear
Definição:
Dado um sistema linear S de m equações e n incógnitas
S :

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
Consideremos as matrizes
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
, X =

x1
x2
...
xn
 e B =

b1
b2
...
bn

S pode ser representado matricialmente pela expressão
A · X = B
Vetores e Geometria Anaĺıtica Conceitos Iniciais
Métodos de Resolução de Sistemas Lineares
1) Método da Adição
Dado um sistema linear S, o métodoconsiste na utilização repetidamente dos Teoremas
1 e 2 em S até que se encontre um sistema S ′ tal que uma de suas equações tenha uma
única incógnita, sendo assim posśıvel determinar o seu valor. Substitui-se o valor dessa
incógnita nas demais equações e repete-se o método até que todas as incógnitas sejam
determinadas.
Exemplo: {
2x + y = 9 (I )
x + 3y = 17 (II )
Fazendo −2 · (II ), obtemos: {
2x + y = 9 (I )
−2x − 6y = −34 (III )
Substituindo (III ) por (I ) + (III ), obtemos:{
2x + y = 9 (I )
−5y = −25 (IV )
De (IV ), temos que y = 5. Substituindo esse valor em (I ), obtemos x = 2. Logo (2,5)
é solução do sistema.
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Métodos de Resolução de Sistemas Lineares
2) Método da Substituição
Dado um sistema linear S, em uma das equações devemos isolar uma variável em função
das demais. Essa expressão deve ser substituida nas outras equações obtendo-se um
sistema S ′ com uma equação e uma incógnita a menos que S. Repete-se o método
até que o sistema obtido tenha uma equação com uma única incógnita, sendo assim
posśıvel determiná-la. Substitui-se esse resultado nas expressões anteriores e determina-
se as demais incógnitas.
Exemplo:  x + y + z = 0 (I )2x + y − 2z = −1 (II )
x + 3y + 4z = −3 (III )
Isolando x em (I ), obtemos : x = −y − z. Substituindo essa expressão em (II ) e (III ),
temos {
−y − 4z = −1 (IV )
2y + 3z = −3 (V )
Isolando y em (IV ), obtemos y = 1−4z. Substituindo essa expressão em (V ), obtemos:
2 · (1− 4z) + 3z = −3 ⇒ 2− 8z + 3z = −3 ⇒ −5z = −5 ⇒ z = 1.
Voltando nas expressões anteriores, obtemos:
y = 1− 4 · 1 ⇒ y = −3 e x = −(−3)− 1 ⇒ x = 2.
Logo (2,-3,1) é solução do sistema.
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3) Regra de Cramer
Dado um sistema linear S, com n equações e n incógnitas, escrito na forma matricial
A · X = B. Seja D =det A. Se D ̸= 0 o sistema é SPD e terá como solução a ênupla
(α1, α2, . . . , αn), em que
αi =
Di
D
, i = 1, 2, ..., n.
sendo Di o determinante da matriz obtida de A trocando-se a sua i-ésima coluna pelos
elementos da matriz B dos termos independentes.
Exemplo:  x + y + z = 02x + y − 2z = −1
x + 3y + 4z = −3
Temos que
A =
 1 1 12 1 −2
1 3 4
, X =
 xy
z
 e B =
 0−1
−3

Calculando os determinantes, obtemos:
D =
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
2 1 −2
1 3 4
∣∣∣∣∣∣ = 5, D1 =
∣∣∣∣∣∣
0 1 1
−1 1 −2
−3 3 4
∣∣∣∣∣∣ = 10,
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3) Regra de Cramer
D2 =
∣∣∣∣∣∣
1 0 1
2 −1 −2
1 −3 4
∣∣∣∣∣∣ = −15, D3 =
∣∣∣∣∣∣
1 1 0
2 1 −1
1 3 −3
∣∣∣∣∣∣ = 5
Temos então que:
x =
D1
D
=
10
5
= 2
y =
D2
D
=
−15
5
= −3
z =
D3
D
=
5
5
= 1
Logo (2,-3,1) é solução do sistema.
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4) Escalonamento
Dizemos que um sistema S está escalonado se o número de coeficientes nulos, antes do
primeiro coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação.
Exemplos:
S1 :
 x + y + 3z = 1y − z = 4
2z = 5
, S2 :
 4x − y + z + t + w = 1z − t + w = 0
2t − w = 1
, S3 :
{
x − 4y + z = 5
2y − z = 0
Para escalonar um sistema, devemos seguir os passos abaixo, todos baseados nos Teo-
remas 1 e 2.
1o passo) Colocamos como primeira equação aquela em que o coeficiente da primeira
incógnita seja diferente de zero.
2o passo) Anulamos o coeficiente da primeira incógnita em todas as equações (com
exceção da primeira), substituindo a i-ésima equação (i ≥ 2) pela soma da mesma com
a primeira multiplicada por um número conveniente.
3o passo) Deixamos de lado a primeira equação e aplicamos os passos 1 e 2 nas equações
restantes.
4o passo) Repetimos os passos anteriores até que o sistema esteja escalonado.
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4) Escalonamento
Exemplo:  x + y + z = 0 (I )2x + y − 2z = −1 (II )
x + 3y + 4z = −3 (III )
Como o coeficiente de x na primeira equação é não nulo, não precisamos mudar a ordem
das equações. Se trocarmos a equação (II ) por −2 · (I ) + (II ), obtemos x + y + z = 0 (I )−y − 4z = −1 (IV )
x + 3y + 4z = −3 (III )
Substituindo (III ) por −1 · (I ) + (III ), temos x + y + z = 0 (I )−y − 4z = −1 (IV )
2y + 3z = −3 (V )
Já deixamos os coeficientes de x da maneira adequada. Para completar o escalonamento,
trocaremos (V ) por 2 · (IV ) + (V ).
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4) Escalonamento  x + y + z = 0 (I )−y − 4z = −1 (IV )−5z = −5 (VI )
Pronto, o sistema está escalonado. De (VI ), temos que z = 1. Voltando em (IV ),
temos y = −3 e substituindo esses valores em (I ), obtemos x = 2.
Podeŕıamos fazer esse mesmo procedimento utilizando matrizes. Para tal, vamos uti-
lizar a matriz M denominada de matriz completa do sistema, composta pela matriz
A adicionando uma coluna com os termos independentes. Para esse mesmo exemplo
temos:
M =
 1 1 1 02 1 −2 −1
1 3 4 −3

Seguindo os mesmos passos teremos: 1 1 1 02 1 −2 −1
1 3 4 −3
 l2=−2l1+l2⇒
 1 1 1 00 −1 −4 −1
1 3 4 −3
 l3=−l1+l3⇒
⇒
 1 1 1 00 −1 −4 −1
0 2 3 −3
 l3=2l2+l3⇒
 1 1 1 00 −1 −4 −1
0 0 −5 −5

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4) Escalonamento
A partir dáı, o sistema está escalonado e o modo de fazer é equivalente ao anterior.
Obs:
1) Utilizamos l1, l2, l3 para representar respectivamente as linhas 1, 2 e 3 da matriz M.
2) Se durante o escalonamento, tivermos uma equação do tipo 0x1+0x2+ ...+0xn = 0,
ou seja, se uma linha da matriz M estiver toda zerada, então essa equação (linha) deverá
ser retirada.
3) Após o escalonamento, se aparecer uma equação do tipo 0x1 + 0x2 + ...+ 0xn = b,
em que b ̸= 0, ou seja, se uma das linhas da matriz M tiver todos os elementos, menos
o último, nulos, então o sistema é SI. Caso isso não ocorra e o número de equações
(linhas da matriz M) seja igual ao de incógnitas, o sistema é SPD. Caso contrário, é
SPI.
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Exerćıcios
1) Escalone os sistemas abaixo e classifique-os como SPD, SPI ou SI.
S1 :
{
x + 2y = 3
−3x − 6y = −8 S2 :

2x + y − z = 0
5x − y + 3z = 0
x + 3y − 2z = 0
S3 :

x + 4y = −8
3x − y = 15
10x − 12y = 7
S4 :

3x − y + z + w = 6
−4x + z = −6
x + 2y − 4w = −19
3z + w = −1
S5 :

x − y + z = 4
3x + 2y + z = 0
5x + 5y + z = −4
S6 :
{
2x + 4y = −5
3x + y = 0
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Exerćıcios
2) Dados os sistemas
S1 :
{
x + 2y = 11
−2x + y = 13 S2 :
{
3x − 6y = −8
5x + y = 5
S3 :

3x + y − 2z = −5
x − 2y + z = −5
−2x − y + 3z = 10
S4 :

2x + y + 3z = 7
−x + 3y − 2z = −16
4x − 2y + 4z = 18
Resolva-os utilizando
a) O método da adição.
b) O método da substituição.
c) A regra de Cramer.
d) Escalonamento.
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Referências
IEZZI, G; HAZZAN, S. Fundamentos da Matemática Elementar, volume 4
- Sequências, Matrizes, Determinantes e Sistemas. 7a edição. São Paulo:
Atual, 2004.
IEZZI, G. Fundamentos da Matemática Elementar, volume 7 - Geometria
Anaĺıtica. 5a edição. São Paulo: Atual, 2005.
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