AD1-ALII-2015-1-aluno

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – A´lgebra Linear II – 2015/1
AVISO: E´ obrigato´rio, nas resoluc¸o˜es de sistemas lineares, reduzir por linhas a` forma em escada a matriz
associada ao sistema.
Questa˜o 1 (1,5 pontos) Seja A ∈ M3(R) com polinoˆmio caracter´ıstico p(λ) = (λ − 4)(λ + 5)2 e
autoespac¸os
E(λ1 = 4) = {(x, y, z) ∈ R3; x+ 2y + 3z = 0 e x− y + 9z = 0}
E(λ2 = −5) = {(x, y, z) ∈ R3; 7x− y + 13z = 0}.
a) (1,1 pts) Determine as multiplicidades alge´brica e geome´trica dos autovalores e bases para os
autoespac¸os.
b) (0,4 pt) A e´ diagonaliza´vel? Justifique a sua resposta.
Questa˜o 2 (1 ponto): Sejam P =
[
3 5
2 3
]
e D =
[
6 0
0 1
]
tais que P diagonaliza A ∈ M2(R) e
D e´ a sua correspondente matriz diagonal.
a) (0,4 pt) Determine A
[
3
2
]
e A
[
5
3
]
, justificando a sua resposta e sem calcular A.
b) (0,6 pt) Determine A.
Questa˜o 3 (3,0 pontos) Seja A =

 0 0 −21 2 1
1 0 3

 .
a) (1,8 pts) Calcule os autovalores e determine bases para seus autoespac¸os.
b) (0,6 pt) Deˆ uma base do R3 formada por autovetores de A, indicando seus autovalores.
c) (0,6 pt) Determine uma matriz invers´ıvel P e uma matriz diagonal D tais que A = PDP−1.
Questa˜o 4 (2,0 pontos) Em cada item fac¸a o que se pede:
a) (1,0 pt) Mostre que se λ e´ um autovalor de uma matriz A ∈ Mn(R) associado ao autovetor v enta˜o
λk e´ um autovalor da matriz Ak com k ∈ N = {1, 2, 3, . . .}
b) (1,0 pt) Mostre que se uma matriz A ∈ Mn(R) e´ tal que A2 = 0 enta˜o o u´nico autovalor de A e´
λ = 0. Dica: use o item (a) para k = 2.
Questa˜o 5 (2,5 pontos): Seja A =
[
3 1
1 3
]
.
a) (1,2 pts) Determine os autovalores e bases de seus autoespac¸os.
b) (0,5 pt) Determine uma matriz invers´ıvel P e uma matriz diagonal D tais que A = PDP−1.
c) (0,8 pt) Determine uma matriz B tal que A = B2. Uma matriz B com esta propriedade e´ chamada
raiz quadrada de A. Dica: Tome B = P
√
DP−1