AP1-ALII-2017-1-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Álgebra Linear II – 2017/1
Gabarito
Questão 1 (1,2 pontos): Seja T : R2 −→ R2 o operador linear tal que β = {v1 = (3, 4), v2 =
(4, 5)} é uma base do R2 formada por autovetores de T associados aos autovalores λ1 = −2 e
λ2 = 1. Dê exemplos de uma matriz inverśıvel P que diagonaliza T e de sua correspondente
matriz diagonal D. Determine a matriz de T na base canônica do R2.
Solução:
a) Uma matriz inverśıvel P que diagonaliza T é a matriz de mudança de base, da base β para
a base canônica, dada por P =
[
v1 v2
]
=
[
3 4
4 5
]
e sua correspondente matriz diagonal é
D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
−2 0
0 1
]
,
A matriz que representa T na base canônica do R2 é dada por:
A = PDP−1, onde P =
[
3 4
4 5
]
, D =
[
−2 0
0 1
]
e P−1 = (−1)
[
5 −4
−4 3
]
=
[
−5 4
4 −3
]
.
Logo,
A = PDP−1 =
[
3 4
4 5
] [
−2 0
0 1
] [
−5 4
4 −3
]
=
[
−6 4
−8 5
] [
−5 4
4 −3
]
=
[
46 −36
60 −47
]
.
Questão 2 (0,8 ponto): Determine a matriz que representa, na base canônica do R2, a
rotação no sentido anti-horário de 2π
3
seguida de uma dilatação de (−2
√
3).
Solução: Sejam R 2π
3
e D(−2
√
3), respectivamente, a rotação de
2π
3
no sentido anti-horário e
a dilatação de (−2
√
3). Considere agora R dada pela rotação de 2π
3
seguida da dilatação de
−2
√
3. Então,
R = D(−2
√
3) R 2π
3
= (−2
√
3)
[
1 0
0 1
] [
cos 2π
3
− sen 2π
3
sen 2π
3
cos 2π
3
]
=
[
−2
√
3 0
0 −2
√
3
][
−1
2
−
√
3
2√
3
2
−1
2
]
.
Portanto
R =
[ √
3 3
−3
√
3
]
.
Questão 3 (1,4 pontos): Seja A ∈ M6(R) e p(λ) = (λ − 3)(λ + 5)2(λ − 7)3 seu polinômio
caracteŕıstico.
a) [0,6 pt] Determine todos os posśıveis valores das multiplicidades geométricas dos seus
autovalores.
b) [0,8 pt] Suponhamos que v1, v2, v3 sejam autovetores de A linearmente independentes
associados ao mesmo autovalor c e que {v4} seja uma base para o autoespaço E(λ2 = −5).
Neste caso, determine o autovalor c e se A é diagonalizável. Justifique suas respostas.
1
Solução: Sejam mg(λ) e ma(λ) as multiplicidades geométrica e algébrica do autovalor λ.
a) Segue do polinômio caracteŕıstico que λ1 = 3 com ma(λ1) = 1, λ2 = −5 com ma(λ2) = 2
e λ3 = 7 com ma(λ3) = 3. Sabemos que a multiplicidade geométrica de qualquer autovalor é
positiva e menor ou igual a sua multiplicidade algébrica, sendo assim,
1 ≤ mg(λ1) ≤ ma(λ1) = 1, então mg(λ1) = 1
e
1 ≤ mg(λ2) ≤ ma(λ2) = 2.
e
1 ≤ mg(λ3) ≤ ma(λ3) = 3.
b) Se v1, v2, v3 são autovetores de A linearmente independentes associados ao mesmo autovalor
c, então
[v1, v2, v3] ⊂ E(λ = c) e
3 = dim[v1, v2, v3] ≤ dimE(λ = c) = mg(λ = c).
Portanto, segue das desigualdades acima que o autovalor só pode ser c = λ3 = 7.
Logo, mg(λ3) = 3 = ma(λ3) e A não é diagonalizável, pois
mg(λ2 = −5) = dim E(λ2 = −5) = 1 6= ma(λ2 = −5) = 2
ou, equivalentemente, não é posśıvel construir uma base do R6 formada por autovetores de A.
Questão 4 (2,0 pontos): Consideremos o operador linear T : R3 −→ R3 cujo polinômio
caracteŕıstico é p(λ) = (λ+ 6)2(λ− 10) com autoespaços
E(λ1 = −6) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 9y + 11z = 0 e − 7x+ 63y − 77z = 0} e
E(λ2 = 10) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 7y + 6z = 0 e − 5x+ 36y − 8z = 0}.
a) [1,6 pts] Determine as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores de T e bases
para seus autoespaços.
b) [0,4 pt] T é diagonalizável? Justifique a sua resposta.
Solução:
a) Pelo polinômio caracteŕıstico de T , a multiplicidade algébrica de λ1 = −6 é 2 e a multiplici-
dade algébrica de λ2 = 10 é 1. Para determinar as multiplicidades geométricas dos autovalores,
devemos determinar as dimensões dos seus autoespaços.
– Base de E(λ1 = −6):
Devemos resolver o sistema linear
{
x− 9y + 11z = 0
−7x+ 63y − 77z = 0.
Reduzindo por linhas à forma em escada a matriz associada ao sistema, obtemos:
[
1 −9 11
−7 63 −77
]
L2←L2+7L1∼
[
1 −9 11
0 0 0
]
.
Logo, x− 9y + 11z = 0.
E(λ1 = −6) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 9y + 11z = 0 e − 7x+ 63y − 77z = 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 9y + 11z = 0}
= {(9y − 11z, y, z) ; y, z ∈ R}
= {(9y, y, 0) + (−11z, 0, z) ; y, z ∈ R}
= {y(9, 1, 0) + z(−11, 0, 1) ; y, z ∈ R}.
2
Logo, {(9, 1, 0) , (−11, 0, 1)} é uma base de E(λ1 = −6) e a multiplicidade geométrica de λ1 =
−6 é 2.
– Base de E(λ2 = 10):
Devemos resolver o sistema linear
{
x− 7y + 6z = 0
−5x+ 36y − 8z = 0.
Reduzindo por linhas à forma em escada a matriz associada ao sistema, obtemos:
[
1 −7 6
−5 36 −8
]
L2←L2+5L1∼
[
1 −7 6
0 1 22
]
L1←L1+7L2∼
[
1 0 160
0 1 22
]
.
Logo, x+ 160z = 0 e y + 22z = 0.
E(λ2 = 10) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 7y + 6z = 0 e − 5x+ 36y − 8z = 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ 160z = 0 e y + 22z = 0}
= {(−160z,−22z, z) ; z ∈ R}
= {z (−160,−22, 1) ; z ∈ R} .
Logo {(−160,−22, 1)} é uma base de E(λ2 = 10) e a multiplicidade geométrica de λ2 = 10 é 1
b) T é diagonalizável, pois β = β1 ∪ β2 = {(9, 1, 0), (−11, 0, 1), (−160,−22, 1)} é uma base do
R
3 formada por autovetores de A
ou
a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores é 2 + 1 = 3 = dim R3
Questão 5 (3,0 pontos): Seja A =


2 0 4
0 4 1
5 0 −6

.
a) [2,4 pts] Determine os autovalores de A e bases para seus autoespaços.
b) [0,6 pt] A é diagonalizável? Justifique a sua resposta.
Solução:
a) O polinômio caracteŕıstico de A é:
p(λ) = det(λI3 − A)
= det


λ− 2 0 −4
0 λ− 4 −1
−5 0 λ+ 6

 (desenvolvendo pela 2a coluna )
= (λ− 4) det
[
λ− 2 −4
−5 λ+ 6
]
= (λ− 4)
(
(λ− 2)(λ+ 6)− 20
)
= (λ− 4)(λ2 + 4λ− 32)
= (λ− 4)(λ− 4)(λ+ 8).
Os autovalores de A são λ1 = 4 e λ2 = −8.
Para determinar os autoespaços E(λ1) e E(λ2) devemos resolver os sistemas lineares ho-
mogêneos associados, respectivamente, às matrizes 4I3 − A e (−8)I3 − A.
Reduzindo por linhas à forma escalonada a matriz 4I3 − A, obtemos:
3
4I3 − A =


2 0 −4
0 0 −1
−5 0 10


L1 ←
1
2
L1
L2 ← −L2
L3 ← −
1
5
L3∼


1 0 −2
0 0 1
1 0 −2


L3 ← L3 − L1∼


1 0 −2
0 0 1
0 0 0


L1 ← L1 + 2L2∼


1 0 0
0 0 1
0 0 0

 .
O sistema
(4I3 −A)


x
y
z

 =


0
0
0

 é equivalente a


1 0 0
0 0 1
0 0 0




x
y
z

 =


0
0
0


portanto tem as mesmas soluções. Assim, x = 0 e z = 0 e consequentemente
E(λ1 = 4) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 0 e z = 0}
= {(0, y, 0) ; y ∈ R}
= {y (0, 1, 0) ; y ∈ R}.
Logo, β1 = {(0, 1, 0)} é uma base de E(λ1 = 4).
Reduzindo por linhas à forma escalonada a matriz (−8)I3 −A, obtemos:
(−8)I3 − A =


−10 0 −4
0 −12 −1
−5 0 −2


L3←L3−
1
2
L1∼


−10 0 −4
0 −12 −1
0 0 0


L1 ← −
1
10
L1
L2 ← −
1
12
L2∼


1 0 2
5
0 1 1
12
0 0 0


O sistema
((−8)I3 −A)


x
y
z

 =


0
0
0

 é equivalente a


1 0 2
5
0 1 1
12
0 0 0




x
y
z

 =


0
0
0

 ,
portanto tem as mesmas soluções. Assim, x+ 2
5
z = 0 e y + 1
12
z = 0 e consequentemente
E(λ2 = −8) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ 25z = 0 e y + 112z = 0}
=
{(
−2
5
z,− 1
12
z, z
)
; z ∈ R
}
= {(−2
5
,− 1
12
, 1)z ; z ∈ R}.
Logo, β2 = {(−25 ,− 112 , 1)} é uma base de E(λ2 = −8).
b) A não é diagonalizável, pois
β = β1 ∪ β2 = {(0, 1, 0), (−25,− 112 , 1)} não é uma base do R3 formada por autovetores de A
ou
a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores é 1 + 1 = 2 6= 3 = dimR3
ou
ma(λ1 = 4) = 2 6= mg(λ1 = 4) = 1.
4
Questão 6 (1,6 pontos): Seja T : R2 −→ R2 a reflexão com respeito à reta de equação
5x − y = 0. Dê exemplo de uma base do R2 formada por autovalores de T , indicando os
autovalores e determine a matriz de T na base canônica do R2.
Solução: Seja T a reflexão com respeito à reta ℓ de equação 5x− y = 0.
Como u = (1, 5) ∈ ℓ, temos que T (u) = u.
Como v = (5,−1) é ortogonal a ℓ, então T (v) = −v.
Assim, β = {v1 = u = (1, 5)
︸ ︷︷ ︸
λ1=1
, v2 = v = (5,−1)
︸ ︷︷ ︸
λ2=−1
} é uma base do R2 formada por autovetores da
reflexão.P =
[
v1 v2
]
=
[
1 5
5 −1
]
é a matriz de mudança de base, da base β para a base canônica,
P diagonaliza T e a sua correspondente matriz diagonal é D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
1 0
0 −1
]
.
Temos que
P−1 = − 1
26
[
−1 −5
−5 1
]
=
[
1
26
5
26
5
26
− 1
26
]
.
Logo, a matriz da reflexão na base canônica é
A = PDP−1 =
[
1 5
5 −1
] [
1 0
0 −1
] [
1
26
5
26
5
26
− 1
26
]
=
[
1 −5
5 1
] [
1
26
5
26
5
26
− 1
26
]
=
[
−24
26
10
26
10
26
24
26
]
.
5