Matrizes: Definições e Operações

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Matr�e�
Definiçã� � tip�� d� matrize�
Definição:
Definisse matriz do tipo mxn uma tabela
com m.n números dispostos em m linhas e n
colunas Amxn
A3x2 é Uma matriz com 3 linhas e 2 colunas
mxn
Lei de formação:
Escreva a matriz A=(aij)2x2 na qual
aij=5i
2+3j2
a1x1=(5.1
2)-(3.12)=5-3=2
a1x2=(5.1
2)-(3.22)=5-12=-7
a2x1=(5.2
2)-(3.12)=20-3=17
a2x2=(5.2
2)-(3.22)=20-12=8
Igualdade entre matrizes:
Quando duas matrizes ai B são de mesmo
tipo, os elementos de mesmo índice, isto
é, aqueles que ocupam a mesma posição,
são determinados elementos
correspondentes
a+2b=9 3a+4b=24 a=5 b=2
Matrizes especiais:
Matriz linha:
É a que possui apenas uma linha
Matriz coluna :
É a que possui apenas uma coluna
Matriz quadrada:
É a que possui número de linhas igual o
número de colunas
Matriz de ordem 3:
Toda matriz quadrada tem duas diagonais
1ª i=j 2ª i+j=n+1
Matriz triangular:
É a matriz que possui todos os elementos
abaixo da diagonal principal o todos os
elementos fora da diagonal principal
iguais a zero
Matr�e�
Definiçã� � tip�� d� matrize�
Matriz identidade:
→ Matriz quadrada que possui todos os
elementos da diagonal principal iguais a
1 e os demais elementos iguais a 0
A.I=I.A=A
1 se i=j
0 se i≠j
→ Toda matriz identidade é, em
particular, triangular e diagonal
Matriz nula:
Uma matriz que tem todos elementos iguais
a zero A+0=A
Matriz diagonal:
Uma matriz é denominada matriz diagonal
se é quadrada e todos os elementos que
não estão na diagonal principal são nulos
Matriz transposta:
Dada uma matriz A do tipo mxn
denominamos matriz transposta de A a
matriz do tipo n×m cujas linhas são,
ordenadamente, iguais às colunas de A
Matriz simétrica:
→ Uma matriz A é simétrica se é quadrada
e coincide com sua transposta,
isto é, se A = At
→ Em uma matriz simétrica, quaisquer dois
elementos simétricos em relação à
diagonal principal são iguais
Matriz oposta:
Matriz que somada com A resulta na matriz
nula de um mesmo tipo,ou seja, A+(-A)=0mxn
Operação com matrizes:
Soma e subtração:
Para somar ou subtrair duas matrizes, é
necessário que ambas tenham as mesmas
dimensões. A operação é realizada com os
elementos correspondentes
Propriedades da adição de matrizes:
Comutativa: A+B=B+A
Associativa: (A+B)+C=A+(B+C)
Existência do elemento neutro:
A + 0mxn = 0mxn + A = A
Existência do elemento oposto:
A + (-A) = (-A) + A = 0mxn
Cancelamento: A+C=B+C A=B
Multiplicação de uma matriz por um número
real:
Para multiplicar uma matriz por um número
real, basta multiplicar um número por
todos os elementos da matriz
Produto das matrizes:
Matr�e�
Definiçã� � tip�� d� matrize�
Para que duas matrizes possam ser
multiplicadas é necessário que o número
de colunas da primeira seja igual o
número de linhas da segunda
OBS: O produto de A.B terá o mesmo número
de linhas de A e o mesmo número de
colunas de B A.B≠B.A
Amn.Bjp= Cmxp
OBS: n=j para a multiplicação ser
possível
01º Multiplicamos, ordenadamente, A 11ª
linha de ar pela 1ª coluna de B
02º Multiplicamos, ordenadamente, a 1ª
linha de A pela 2ª coluna de B
03º Multiplicamos, ordenadamente, a 2ª
linha de A pela 1ª coluna de B
04º Multiplicamos, ordenadamente, a 2ª
linha de A pela 2ª coluna de B
Propriedades da multiplicação de
matrizes:
Associativa: (A.B).C=A.(B.C)
Distributiva à direita: (A+B).C=A.C+B.C
Distributiva à esquerda: C.(A+B)=C.A+C
Cancelamento: A.B=A.C não quer dizer que
B=C
Matriz inversa:
Seja A uma matriz quadrada, se existe uma
matriz B, quadrada de mesma ordem, tal
que A.B = B.A = In então B será matriz
inversa de A, indicada por A-1
As matrizes A e B são inversas, pois
OBS: O det de uma matriz inversa é o
det-1, então é só fazer o determinante
normal e depois inverte-lo
OBS: Quando uma matriz tem inversa, ela é
invertível ou não singular
Então:
Propriedades da matriz inversa:
(A-1)-1=A e (A.B)-1=B-1.A-1