Mackenzie EM 2 Série - Matemática (Caderno de Atividades) - Livro do Professor - Livro 1 - Capítulo 3

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CAPÍTULO 3
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e
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3 | 221
PRIMEIRAS IDEIAS
70. No início da aula de trigonometria, o professor Rafael avisou aos alunos que, para a prova da semana seguinte, sobre adição, diferença, dobro e 
metade de arcos, cada aluno deveria produzir a sua própria tabela trigono-
métrica para os ângulos de 1° a 10°, em sala. Para auxiliá-los na tarefa, o 
professor forneceu os valores para os ângulos de 1° e 2°, e permitiu o uso 
de uma calculadora simples.
Ângulo Seno Cosseno Tangente
1° 0,0175 0,9998 0,0175
2° 0,0349 0,9994 0,0349
3°
4°
5°
6°
7°
8°
9°
10°
Supondo que você seja um aluno dessa turma, preencha a tabela.
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,9986
0,9976
0,9962
0,9945
0,9925
0,9903
0,9877
0,9848
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
M
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e
222 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3
71. Determine os valores de:
A. 
b. 
C. 
d. 
e. 
f. 
72. Dado que cos e que , obtenha o valor da e .
73. Sabendo que sec = −3 e que , determine o valor da seguinte expressão: 
A. 0,4665
B. 0,5
C. 0,732
D. 0
E. 0,4226
F. 0,366
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3 | 223
74. Calcule os valores pedidos.
A. sen 75°
b. cos 105°
C. sen 165°
75. Sendo e , determine 
76. Determine sec por meio das fórmulas de adição. 
77. Sendo sen = −1, cal-cule o valor de sen 2 . 
A.
B.
C.
 1
0
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224 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3
78. Sabe-se que − y = 45°. Qual o resultado de (sen – cos y)² + (cos + sen y)² ? 
79. Sabendo que , determine tg a.
80. O ângulo pertence ao intervalo Sabendo que e que
, determine . 
−2
M
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3 | 225
81. Sabendo que sen = , calcule:
A. sen 2
b. cos 2
C. sen 3
82. Tem-se que sen a + cos a = . Quanto vale sen (2a)?
83. Fatore a seguinte expressão: 
A.
B.
C.
M
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226 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3
84. Simplifique a expressão: . 
85. Escreva na forma fato-rada: y = 1 + cos 70°. 86. Simplifique a expressão: 
87. Sabe-se que tg x = e tg (2x + y) = −1. Calcule o valor de tg 2y. 
88. Determine a solução das equa-ções abaixo, sendo .
A. 
b. 
C. 
d. 
.
2 cos²35°
−cotg 47,5°
M
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3 | 227
A. 
b. 
C. 
d. 
89. Resolva as equações a seguir, sendo 
90. Resolva a equação , sendo 
A.
A.
B.
B.
C.
C.
D.
D.
M
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228 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3
91. Resolva a equação sendo .
92. Resolva a equação sendo 
93. Resolva a equação 
sendo .
94. Resolva a equação sendo 
M
at
er
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is
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3 | 229
95. Resolva a equação 
sendo 
96. Seja a equação Se e forem as raízes dessa equação no intervalo , determine o valor de .
97. Resolva a equação , sendo 
98. Resolva a equação , 
para . 
S = 
M
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230 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3
99. Resolva a equação , para 
100. Resolva a equação , 
sendo .
101. Demonstre as igualdades a seguir:
A. b. 
M
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3 | 231
102. Demonstre as identidades abaixo:
A. 
 
b. 
103. Resolva a inequação , sendo .
104. Resolva a inequação , sendo .M
at
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232 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3
105. Resolva o sistema a seguir, sendo .
106. Determine o intervalo entre 0° e 360° que satisfaz a inequação a seguir:
107. Resolva a inequação , sendo .
108. Resolva a inequação , sendo .M
at
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3 | 233
 109. Calcule 
110. Calcule .
111. Determine o valor de 6 ∙ arc tg 33 .
M
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e
234 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3
112. Determine o valor de 2 ∙ arc cos 0. 
113. Determine o domínio da função .
114. (Enem 2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas 
numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação 
das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada 
uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na fi-
gura como o segmento AB). Estas torres são um 
bom exemplo de um prisma oblíquo de base qua-
drada e uma delas pode ser observada na imagem.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para 
tangente de 15º e duas casas decimais nas opera-
ções, descobre-se que a área da base desse prédio 
ocupa na avenida um espaço
A. menor que 100 m2.
b. entre 100 m2 e 300 m2.
C. entre 300 m2 e 500 m2.
d. entre 500 m2 e 700 m2.
e. maior que 700 m2.
Domínio = 
M
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3 | 235
115. (Fuvest 2011) Sejam e números reais positivos tais que . Sabendo-se que 
, o valor de é igual a
A. 
b. 
C. 
d. 
e. 
116. (Fuvest 1994)
A. Calcule sen 15°.
b. Calcule a área do polígono regular de 
24 lados inscrito no círculo de raio 1. 
A. 
B. u de área.
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Escarpa
Régua
2 m
60º
1,6 m
75º
236 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3
117. (UFSM 2002) Considerando , a expressão é equivalente a
A. 
b. 
C. 
d. 
e. 
118. (Comvest/Vestibular Unicamp 2006) De uma praia, um topógrafo observa uma pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na vertical, uma régua de 2 m de com-
primento. Usando seu teodolito, o topógrafo constatou que o ângulo formado 
entre a reta vertical que passa pelo teodolito e o segmento de reta que une o teo-
dolito ao topo da régua é de 60°, enquanto o ângulo formado entre a mesma reta 
vertical e o segmento que une o teodolito à base da régua é de 75°. Sabendo que 
o teodolito está a uma altura de 1,6 m do nível da base da escarpa, responda às 
questões abaixo. 
A. Qual a distância horizontal 
entre a reta vertical que pas-
sa pelo teodolito e a régua 
sobre a escarpa?
b. Qual a altura da escarpa?
A. 
B. 
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e
A
d
C
B
N
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3 | 237
119. (UFSCar 2010) Suponha que o planeta Terra seja uma esfera de 
centro C e raio R. Na figura, está 
representado o planeta Terra e 
uma nave espacial N. A fração vi-
sível da superfície da Terra por 
um astronauta na nave N é dada 
em função do ângulo �, mostra-
do na figura, pela expressão:
A. Determine o ângulo �, em graus, para o qual é visível da nave a quarta par-
te da superfície da Terra e a distância da nave à superfície da Terra neste 
caso. (Use a aproximação R = 6 400 km.)
b. Se um astronauta numa nave, a uma distância � da Terra, avista a superfície 
da Terra com ângulo � , determine a fração visível da superfície da 
Terra pelo astronauta. (Use as aproximações e .)
120. (Fatec 1997) Se x − y = 60°, então o valor de (sen x + sen y)2 + (cos x + cos y)2 é igual a
A. 0 
b. 1 
C. 2 
d. 3 
e. 4 
�
�
A. � = 30o e � = 6 400 km
B. 
M
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is
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50
AB
A B
Rio
238 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3
121. (Comvest/Vestibular Unicamp 2008) Uma ponte levadiça, com 50 metros de comprimento, estende-se sobre um rio. Para dar passa-
gem a algumas embarcações, pode-se abrir a ponte a partir de seu 
centro, criando um vão , conforme mostra a figura abaixo.
Considerando que os pontos A 
e B têm alturas iguais, não im-portando a posição da ponte, 
responda às questões abaixo.
A. Se o tempo gasto para girar a ponte em 1° equivale a 30 segun-
dos, qual será o tempo necessário para elevar os pontos A e B a 
uma altura de 12,5 m, com relação à posição destes quando a 
ponte está abaixada?
b. Se , quanto mede ? 
122. (Fuvest 2015) Sabe-se que existem números reais A e , sendo A > 0, tais que
para todo real. O valor de A é igual a
A. 
b. 
C. 
d. 
e. 
A. 15 minutos.
B. 
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3 | 239
123. (Comvest/Vestibular Unicamp 2013) Considere o polinômio , em que é 
variável real e um parâmetro fixo, também real.
A. Para qual valor do parâmetro o resto do 
quociente de por é igual a 3?
b. Supondo, agora, , e sabendo que e são 
raízes de , calcule o valor de .
124. (Comvest/Vestibular Unicamp 1994)
A. Utilize a fórmula e a fórmula 
do cosseno da soma de dois ângulos para deduzir 
as seguintes fórmulas do arco metade:
 
e
A. k = 11
B. 
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a 
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240 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3
b. Especifique os intervalos de variação de nos quais se deve usar o sinal “mais” 
e nos quais se deve usar o sinal “menos” em cada uma das fórmulas acima.
125. (Unifesp 2006) Se é a medida de um arco do primeiro quadrante e se , 
então é igual a 
A. . 
A. . 
b. . 
b. . 
C. .
C. .
d. .
d. .
e. .
e. .
126. (Unifesp 2006) A expressão 
é equivalente a 
A. .
b. .
C. .
d. .
e. .
127. (IFSP 2011) Sabendo que , então o valor de (2�) é � �
O tem sinal positivo quando e sinal negati-
vo quando . O tem sinal positivo 
quando e sinal negativo quando
 .
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22,5o
d
5m
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3 | 241
128. (UFSM 2004) Para facilitar o trânsito em um cruzamento muito movimentado, será construída uma ponte sobre a qual passará 
uma das vias. A altura da via elevada, em relação à outra, deverá 
ser de 5,0 m. O ângulo da inclinação da via elevada, em relação 
ao solo, deverá ser de 22,5°. A distância d, em metros, onde deve 
ser iniciada a rampa que dará acesso à ponte, medida a partir da 
margem da outra via, conforme mostra a figura, deverá ser de
Dados: e 
A. 
b. 
C. 
d. 
e. 
129. (Comvest/Vestibular Unicamp 2013) Um recipiente cúbico de aresta a e sem 
tampa, apoiado em um plano horizon-
tal, contém água até a altura a. 
Inclina-se lentamente o cubo, girando-o 
em um ângulo em torno de uma das 
arestas da base, como está representa-
do na figura abaixo.
A. Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água 
começar a derramar, determine a tangente do ângulo .
b. Considerando, agora, a inclinação tal que tg( ) , com 0 < < , 
calcule o valor numérico da expressão cos(2 ) – sen(2 ).
� �
�
A.
B.
M
at
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242 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3
130. (Fuvest 2012) 
A
CB
No triângulo acutângulo ABC, ilus-
trado na figura, o comprimento do 
lado mede , o ângulo interno 
de vértice C mede , e o ângulo in-
terno de vértice B mede . Sabe-se, 
também, que
Nessas condições, calcule
A. o valor de ;
b. o comprimento do lado .
131. (ITA 2013) Se , então um possível valor de é
A. . b. 1. C. . d. . e. 2.
132. (Fuvest 2013) Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15°. A diferença entre a altura 
final e a altura inicial de um ponto determinado 
do caminhão, depois de percorridos 100 m da 
ladeira, será de, aproximadamente,
Dados: ; 
A. 7 m 
b. 26 m
C. 40 m
d. 52 m
e. 67 m
.
A.
B.
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3 | 243
133. (ITA 2012) Determine os valores reais de de mo-do que seja máximo.
134. (UFSM 2012) O pioneiro do abstracionismo nas artes plásticas, Wassily Kandisnky, nasceu em Moscou, em 1866. Optou inicial-
mente pela música, o que refletiu em seu trabalho como pintor, 
conferindo-lhe noções essenciais de harmonia. A figura a seguir, 
adaptada de um quadro de Kandisnky, apresenta um triângulo 
ABC retângulo em A. 
Sabendo-se que a diferença 
entre os ângulos x e y é 60°, o 
valor de sen x + sen y é
A. . 
 
b. . 
 
C. . 
 
d. . 
 
e. . 
135. (CESGRANRIO 1990) Resolva a equação .
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244 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3
136. (PUC-Rio 1999) Quantas soluções de existem para entre e ?
137. (UFSC 2007) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
01. Se , então as raízes da equação são { e }.
02. Duas polias (rodas para correia transmissora de movimento), a maior de 55 cm 
de raio e a menor de 35 cm de raio, giram simultaneamente em torno de seus 
respectivos centros, por estarem ligadas por uma correia inextensível. Supondo 
que não haja deslizamento, o número mínimo de voltas completas da roda 
maior para que a roda menor gire um número inteiro de vezes é 5 voltas.
04. Quando Eugênio entrou em sua sala de aula, havia o seguinte problema no 
quadro-negro: “Numa indústria deseja-se construir uma rampa com inclina-
ção de graus para vencer um desnível de 4 m. Qual será o comprimento da 
rampa?” Mas, o professor já havia apagado os valores de sen e cos , restan-
do apenas tan . Eugênio usou seus conhecimentos de trigonometria e 
determinou que o comprimento da rampa é m.
08. A figura mostra parte do gráfico da função , de em , dada por 
.
16. A figura a seguir representa o desenho de uma casa em construção. A telha 
que vai ser usada nessa construção necessita de um ângulo de inclinação de 
30° para o telhado. Portanto, a altura do telhado para se obter a inclinação 
desejada é de metros.
8 m
x
30º
2
4
y
x
2
8
Tem duas soluções entre e .
Proposições corretas 08 e 16.
M
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e
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3 | 245
138. (ITA 2013) Sejam a um número real e o número de to-das as soluções reais e distintas da equação 
. Das afirmações:
I. Se a = 0, então = 0;
II. Se a = , então = 8; 
III. Se a = 1, então = 7; 
IV. Se a = 3, então = 2 ,
é (são) verdadeira (s)
A. apenas I. 
b. apenas III.
C. apenas I e III.
d. apenas II e IV.
e. todas.
139. (ITA 2013) Encontre os pares que satisfazem simultaneamente as equações 
 e 
. 
 
140. (Fuvest 2012) O número real , com , satisfaz a equação . 
Então, vale 
A. 
A. 0 
b. 
b. 
C. 
C. 
d. 
d. 
e. 
e. 
141. (Mackenzie 2015) A soma das raízes da equação , no intervalo [0, ], é
e
M
at
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l p
ar
a 
an
ál
is
e
246 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3
142. (Mackenzie 2014) O valor de � que satisfaz o sistema para e � reais, com é
A. 0 
A. 
A. .
b. 
b. 
b. .
C. d. 
d. 
d. .
e. 
e. 
e. . 
143. (ITA 2014) Sabendo-se que , e , um possível valor 
para é
C. 
C. .
144. (ITA 2012) Determine os valores de � tais que � �
145. (EsPCEx-SP 2015) Seja . O conjunto solução 
da desigualdade no intervalo [0, 2 ), é igual a 
�
��
,
M
at
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l p
ar
a 
an
ál
is
e
sen
cos
7
4
2
3
4
3
5
3
4
0
3
sen
cos
7
4
2
3
3
4
5
4
4
3
5
3
4
0
3
sen
cos
7
4
2
3
3
4
5
4
4
0
3
sen
cos
11
6
5
6
7
6
6
0
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3 | 247
b. 
C. 
146. (Mackenzie 2014) Em , o domínio da função , definida por , é
e. 
147. (AFA 2012) Sendo a interpretação gráfica no ciclo trigonométrico para o conjunto solução da inequa-
ção é dada por
A. b. 
C. d. 
A. 
d. 
M
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is
e
248 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3
148. (UEPB 2012) Dado , temos que 
A. b. C. 
d. e. 
149. (ITA 2012) Seja 
S = . 
 
Então,
A. S = .
b. S = .
C. S = .
d. S = .
e. S = .
M
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an
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is
e
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 3 | 249A. . b. .
150. (ITA 2015) Considere todos os triângulos retân-gulos com os lados medindo , e . 
Dentre esses triângulos, o de maior hipotenusa 
tem seu menor ângulo, em radianos, igual a
C. .
d. . e. .
A. e . 
 
b. e . 
151. (ITA 2015) Os valores de que satisfa-zem a equação são 
C. e . 
 
d. e . e. e .
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