Trabalho 03 - Apresentação do Problema 7 40 Dinâmica Clássica de Partículas e Sistemas Stephen T Thornton e Jerry N Marion

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
FACULDADE DE FÍSICA
Disciplina: Mecânica Clássica II
Professor: Danilo Teixeira Alves
Discente: Leonardo Carneiro Quaresma
Matrícula: 201708140055 
Resolução do Problema 7.40 – Dinâmica Clássica de Partículas e Sistemas Stephen T. Thornton e Jerry N. Marion 
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Problema 7.40: Um pêndulo duplo é conectado a um carro de massa que se move sem ficção em uma superfície horizontal. Consulte a Figura 7.D. Cada pêndulo tem comprimento e massa . Encontre as equações de movimento. 
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Solução:
Para resolvemos esse problema, teremos que presumir que:
Nesta representação:
Presença da gravidade
Energia Cinética do Pêndulo Duplo
Energia Cinética do Carro 
Energia Potencial Gravitacional do Pêndulo Duplo 
Dessa forma teremos que: 
A representação geral de: 
A Energia Cinética é dada por: 
A Energia Potencial Gravitacional:
Manipulando as relações trigonométricas do esquema, teremos: 
 
Teremos que a posição de cada componente será: 
Para o carro: 
Para o Pêndulo Duplo:
Como a velocidade é igual a derivada da posição em relação ao tempo: 
Com isso teremos que as velocidades das respectivas posições em relação ao tempo será: 
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A Energia Cinética do sistema será: 
Determinando as velocidade e, teremos: 
Para :
Temos que: 
Substituindo , teremos que :
Substituindo , teremos que : 
Com isso::
Utilizando a definição de produto notáveis:
Teremos para: 
Para , teremos; 
Com a relação trigonométrica: 
A expressão será: 
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Agora, para : 
Como Teremos que: 
Substituindo , teremos que :
Substituindo , teremos que : 
A será igual: 
Utilizando a definição de produtos notáveis: 
Dessa forma, obteremos: 
Então, será igual a: 
Com a relações trigonométricas: 
Dessa forma, a expressão ficará:
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Como já obtemos as velocidades que são:
A Energia Cinética do sistema será: 
Desenvolvendo a expressão, é obtido: 
Para a Energia Potencial Gravitacional:
Como o sistema tem presença da gravidade e serão:
 
Dessa maneira, a Energia Potencial Gravitacional será: 
 
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De acordo com o livro de Mecânica – L. Landau e E. Lifchitz, a definição da Função de Lagrange é definida pela diferença entre a Energia Cinética e a Energia Potencial :
Como já definimos a Energia Cinética e a Energia Potencial: 
Substituindo na Lagrangeana: 
Para determinar as Equações de Movimento do sistema, precisaremos utilizar a definição da seção 1.2 do livro de Mecânica – L. Landau e E. Lifchitz, na qual é definido que o Princípio de Ação Mínima ou também chamado de Princípio de Hamilton faz com que sejam obtidas as equação de movimento, através de: 
Na qual esse expressão é definida como a Equação de Euler – Lagrange.
Na qual e são coordenadas generalizadas na qual é definido como um sistema de coordenadas curvilíneas sobre a variedade de configuração de um sistema físico.
Para o sistema físico em que estamos trabalhando as coordenadas generalizadas que existem são , , , , e , Dessa forma, percebemos que para esse sistema físico existem três equações de movimento.
Dessa maneira para determinar as Equações:
Usando a Equação de Euler-Lagrange para determinar a equação de movimento de :
Como a Lagrangeana é: 
Determinando e : 
Substituindo na Equação de Euler-Lagrange: 
Simplificando a expressão: 
Dessa forma, a Equação de movimento de é: 
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Usando a Equação de Euler-Lagrange para determinar a equação de movimento de :
Como a Lagrangeana é: 
Determinando e : 
Substituindo na Equação de Euler-Lagrange:
Simplificando a expressão:
Dessa forma a Equação de movimento para é: 
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Usando a Equação de Euler-Lagrange para determinar a equação de movimento de :
Como a Lagrangeana é: 
Determinando e : 
Substituindo na Equação de Euler-Lagrange:
Dessa forma, a Equação de Movimento para será: 
Simplificando a expressão: 
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Dessa forma, as Equações de Movimentos serão: 
A Equação de Movimento para será: 
A Equação de Movimento para será:
A Equação de Movimento para será: 
 
FIM, OBRIGADO!