Autoestudo I - 1 Juros Simples_EAD

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
INTRODUÇÃO. 
 
 A Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações e nos 
pagamentos de empréstimos, bem como fornecer instrumentos para o estudo e avaliação dos 
mesmos. 
 Do ponto de vista da Matemática Financeira, R$ 300,00 hoje não são iguais a R$ 300,00 
em qualquer outra data, pois o poder aquisitivo do dinheiro varia ao longo dos períodos, devido à 
taxa de juros por período. 
 Devido ao longo período de tempo em que a sociedade brasileira tem convivido com a 
inflação, as pessoas davam uma certa preferência pela liquidez. A forma mas antiga e também a 
mais usada até os dias de hoje é acenar para o proprietário do capital com uma promessa atrativa 
de pagamento futuro. 
 A essa remuneração paga pela imobilização do capital por um dado período de tempo é 
que se convencionou chamar de juros. Assim, os juros representam os custos da imobilização do 
capital num dado período. Geralmente os juros são expressos por uma taxa que incide sobre o 
valor imobilizado. A taxa de juros pode ser vista como a remuneração de uma unidade do capital 
imobilizado ao longo de uma unidade de tempo. 
 Uma vez que o valor do dinheiro no tempo e a existência dos juros são elementos 
interligados e indispensáveis ao desenvolvimento do estudo da Matemática Financeira, é 
conveniente a utilização do fluxo de caixa que corresponde ao conjunto de entradas e saídas de 
dinheiro ao longo do tempo. 
 Esquematicamente, a representação do fluxo de caixa pode ter dois pontos de vista: 
i) do tomador de crédito, 
ii) do fornecedor/financiador e é feita como na figura 1. 
 
 
 Dessa forma, a Matemática Financeira tem como objetivos principais: 
a) a transformação e o manuseio de fluxos de caixa, com a aplicação das taxas de juros de 
cada período, para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo; 
b) a obtenção da taxa interna de juros que está implícita no fluxo de caixa; 
c) a análise e a comparação de diversas alternativas de fluxos de caixa. 
 
 2 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO. 
 
 Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por período, o 
montante (capital acrescido dos juros) poderá crescer de acordo com duas convenções, 
chamadas regimes de capitalização. Tem-se o regime de capitalização simples (ou juros 
simples) e o regime de capitalização composta (ou juros compostos). 
 Tanto os juros simples como os juros compostos são fixados através de uma taxa 
percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, mês, dia. 
 Por exemplo, um capital de R$ 10.000,00, aplicado à taxa de 8% ao ano, proporcionará, no 
final de um ano, um total de juros equivalentes a R$ 800,00, pois: 8% de 
R$ 10.000,00 = 
100
8
 . 10.000 = R$ 800,00. 
 
a) Regime de capitalização simples 
 
 O juro é simples quando é produzido unicamente pelo capital inicial. 
 
Exemplo: Considere o caso de um indivíduo que, no início do ano depositou R$ 100,00 em um 
banco X que lhe prometeu juros simples, à razão de 10% ao ano. Qual será o seu saldo credor no 
final de cada um dos próximos quatro anos? 
 
Crescimento de R$ 100,00 a juros simples de 10% ao ano 
 
Tempo (ano) Saldo no início de cada ano R$ Juro Saldo no final de cada ano 
1 100,00 0,1 . 100 = 10,00 110,00 
2 110,00 0,1 . 100 = 10,00 120,00 
3 120,00 0,1 . 100 = 10,00 130,00 
4 130,00 0,1 . 100 = 10,00 140,00 
 
 
b) Regime de capitalização composta 
 
O juro é composto quando é calculado sempre em função do saldo existente no início o 
período correspondente. 
 
Exemplo: Imagine se o mesmo indivíduo do exemplo anterior tivesse colocado, no início do ano, 
outros R$ 100,00 em um banco Y, que paga juros compostos, à razão de 10% ao ano. Como se 
comportaria o seu saldo credor ao longo dos quatro anos? 
 
 
 
 
 3 
Crescimento de R$ 100,00 a juros compostos de 10% ao ano 
 
Tempo (ano) Saldo no início de cada ano R$ Juro Saldo no final de cada ano 
1 100,00 0,1 . 100 = 10,00 110,00 
2 110,00 0,1 . 110 = 11,00 121,00 
3 121,00 0,1 . 121 = 12,10 133,10 
4 133,10 0,1 . 133,1 = 13,31 146,41 
 
 
 Ao capital empregado dá-se o nome de principal, e a soma do principal mais os juros, dá-
se o nome de montante. 
 A juros simples, apenas o principal rende juros, ao passo que a juros compostos os 
rendimentos são calculados sobre os montantes, havendo portanto uma incidência de juros sobre 
juros. 
 Observando os dois exemplos, os montantes disponíveis para o indivíduo no final do quarto 
ano, seriam: 
 
 No banco Y, a juros compostos R$ 146,41 
 No banco X, a juros simples R$ 140,00 
Diferença R$ 6,41 
 
Essa diferença de R$ 6,41 corresponde ao pagamento de juros sobre juros, devido a juros 
compostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rendimento de R$ 100,00
-
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
140,00
160,00
1 2 3 4
tempo
m
o
n
ta
n
te
juro simples
juro composto
Juro Simples X Juro Composto 
 
 4 
CAPÍTULO I 
 
JUROS SIMPLES 
 
Cálculo dos Juros Simples 
 
 No regime de juros simples os juros de cada período são calculados sempre sobre o 
mesmo principal. Não existe capitalização de juros nesse regime, pois os juros de um determinado 
período não são incorporados ao principal para que essa soma sirva de base de cálculo dos juros 
do período seguinte. 
 Se a taxa de juros ( i ) for constante e incidir apenas sobre o capital aplicado ( c ), então o 
juro ( J ) por período será também constante e igual a: 
icJ .  
 
Nesse caso, observa-se um crescimento linear do capital: 
 
 Juro Simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se a Matemática Financeira objetiva estudar o relacionamento entre valores monetários 
posicionados em pontos distintos no tempo, então para um capital “ c ” 
aplicado a uma taxa de juros “ i ” durante “ n ” períodos de tempo, sob o regime de juros simples 
pode ser calculado: J = c.i.n. 
 Nesse regime a taxa de juros pode ser convertida para outro prazo qualquer com base em 
multiplicações e divisões, sem alterar seu valor intrínseco, ou seja, mantém a proporcionalidade 
existente entre valores realizáveis em diferentes datas. Portanto, no cálculo de juros, a taxa e o 
tempo devem estar na mesma unidade de medida. 
 Quando o prazo da operação é dado considerando-se anos constituídos por meses de 30 
dias, os juros são chamados comerciais; quando o número de dias corresponde àqueles do ano 
civil (365 dias), são chamados juros exatos. 
 O mercado financeiro trabalha com base na taxa de juros percentual, porém é necessário 
colocá-la na forma fracionária para realizar os cálculos financeiros. 
 O regime de juros simples é utilizado no mercado financeiro, notadamente nas operações 
de curto prazo, em função da simplicidade de cálculo. 
 
100 
200 
300 
montante 
1 2 3 4 
período 
 
 5 
Exemplos: 
1. Calcular o juro produzido por R$ 500,00, aplicado à taxa de 10% ao semestre durante 3 
semestres. 
 
00,150
3.1,0.500
..



J
J
nicJ
 
 
2. Calcular o juro produzido por R$ 40.000,00 à taxa de 72% ao ano, durante 45 dias. 
 
00,3600
45.002,0.40000
..



J
J
nicJ
 
 
00,3600
125,0.72,0.40000
..



J
J
nicJ
 
Cálculo do Montante 
 
 Quando um investidor aplica um capital por certo tempo à determinada taxa, no final desse 
período de tempo ele tem à sua disposição não só o valor inicial aplicado, mas também os juros 
que lhe são devidos. Esse total, soma de capital e juros, é chamado montante. 
 O valor de resgate M , chamado de montante é calculado por: 
Tempo (n) Juro (J) Montante(M) 
1 ic . cicM 1 )1( 1 icM  
2 ic . )21( 2212 icMcicicMJMM  
3 ic . )31( 2 3323 icMcicicMJMM  
... ... ... 
n ic . )1( ... nicMcicicM nn  
 
Portanto: M = C.(1 + i.n) 
 
Exemplos: 
1. Qual é o montante resultante de uma aplicaçãode R$ 29.800,00 à taxa de 12% ao mês, 
durante 6 meses? 
 
$00,256.51
)6.12,01(29800
)1(
RM
M
incM



 
 
 
 
Capital = 500 
Taxa = 10% ao semestre 
Tempo = 3 semestres 
Capital = 40000 
Taxa = 72% ao ano = 0,2% ao dia 
Tempo = 45 dias 
Capital = 40000 
Taxa = 72% ao ano 
Tempo = 45 dias = 0,125 ano 
Capital = 29800 
Taxa = 12% ao mês 
Tempo = 6 meses 
Na HP-12C 
500 [CHS] [PV] 
20 [i] Anos 
540 [n] Dias 
[f] [INT]Juros 
Na HP-12C 
40000 [CHS] [PV] 
72 [i] Anos 
45 [n] Dias 
[f] [INT]Juros 
Na HP-12C 
29800 [CHS] [PV] 
144 [i] Anos 
180 [n] Dias 
[f] [INT]Juros 
[+] Montante 
 
 6 
2. Para uma aplicação de R$ 3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% ao ano, o montante 
recebido foi R$ 4.800,00. Determine o prazo da aplicação. 
anos 6
3001800
30030004800
).1,01(30004800
)1(





n
n
n
n
incM
 
 
3. Qual é a taxa anual de juros simples ganho por uma aplicação de R$ 1.500,00 que 
produz após um ano um montante de R$ 1.950,00? 
ano ao %30
100)(x 3,0
1500450
150015001950
)1.1(15001950
)1(






i
i
i
i
i
incM
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Qual o juro de R$ 25.000,00 em 2 anos e 6 meses à taxa de 8% ao ano? 
R: R$ 5.000,00 
2. Calcular o juro de R$ 5.000,00 à taxa de 3,6% ao ano em 1 ano, 1 mês e 10 dias. 
R: R$ 200,00 
3. Calcular o juro produzido por R$ 9.000,00 em 1 ano, 5 meses e 20 dias, à taxa de 1% ao 
mês. 
R: R$1.590,00 
4. A que taxa anual deve ser empregado o capital de R$ 16.000,00 para produzir R$ 2.520,00 
de juro, em 2 anos e 3 meses? 
R: 7% ao ano 
5. Um certo capital ficou empregado por 1 ano e 3 meses a uma taxa de 12% ao ano e 
rendeu um juro de R$ 650,00. Qual foi o capital empregado? 
R: R$ 4.333,33 
6. Qual é o capital que, acrescidos dos seus juros produzidos em 270 dias, à taxa de 14% ao 
ano, se eleva a R$ 45.071,50? 
R: R$ 40.788,69 
7. Uma pessoa aplicou R$ 110.000,00 do seguinte modo: R$ 68.000,00 a 5% ao ano e R$ 
42.000,00 a uma taxa desconhecida. Sabendo-se que, no fim de meio ano, a primeira 
importância tinha rendido R$ 125,00 a mais do que a segunda, pergunta-se a que taxa esta 
última foi aplicada? 
R: 7,5% ao ano 
8. A soma de um capital com seus juros aplicado durante 110 dias, à taxa de 17% ao ano é 
igual a R$ 2.553,47. Determinar o valor dos juros, considerando-se o ano de 360 dias. 
R: R$ 126,08 
Capital = 3000 
Taxa = 10% ao ano 
Montante = 4800 
Capital = 1500 
Tempo = 1 ano 
Montante = 1950 
Na HP-12C 
3000 [CHS] [PV] 
10 [i] Anos 
2160 [n] Dias 
[f] [INT]Juros 
[+] Montante 
Na HP-12C 
1500 [CHS] [PV] 
30 [i] Anos 
360 [n] Dias 
[f] [INT]Juros 
[+] Montante 
 
 7 
9. Certo capital, acrescido dos juros resultante de sua aplicação durante 8 meses eleva-
se a R$ 23.100,00. O mesmo capital, acrescido de juros resultantes de 13 meses de 
aplicação, à mesma taxa, eleva-se a R$ 23.475,00. Calcular o capital e a taxa anual. 
R: R$ 22.500,00 e 4% ao ano 
10. Determinar a que taxa mensal esteve aplicado um capital de R$ 48.000,00 que, em 3 
meses e 20 dias, rendeu R$ 440,00 de juros. 
R: 0,25% ao mês 
11. Dois capitais diferem em R$ 86.000,00. O maior, empregado durante 10 meses, rendeu R$ 
1.542,00. O menor, empregado durante 15 meses, rendeu, à mesma taxa, R$ 1.926,00. Quais 
foram os capitais empregados e qual a taxa anual? 
R: 0,36% ao ano, R$ 514.000,00 e R$ 428.000,00 
12. Dois capitais, um de R$ 240.000,00 e o outro de R$ 400.000,00 foram postos a juros 
segundo uma mesma taxa. O primeiro rendeu em 50 dias, R$ 10.000,00 a mais do que o 
segundo em 21 dias. Calcular a taxa de juros anual. 
R: 100% ao ano 
 
Taxa Média 
 
 A taxa média representa a taxa que aplicada ao capital total ofereça a mesma rentabilidade 
das aplicações efetuadas em cotas. A taxa média é a média ponderada das taxas. 
T
nn
c
icicic
i
...... 2211  
Exemplo: 
1. Um investidor resolveu diversificar seu capital de R$ 100.000,00 aplicando partes dele em 
diversos bancos, obtendo taxas diferentes para cada aplicação, de acordo com a tabela 
abaixo: 
Capital Taxa 
R$ 50.000,00 2% ao mês 
R$ 10.000,00 3% ao mês 
R$ 20.000,00 1,5% ao mês 
R$ 20.000,00 2% ao mês 
 Calcule a taxa média de suas aplicações. 
mês ao %2
100000
200000
100000
2 . 200005,1 . 200003 . 100002 . 50000


i 
 
Capital R$ Taxa C.i 
50.000,00 2% ao mês 100.000, 
10.000,00 3% ao mês 30.000, 
20.000,00 1,5% ao mês 30.000, 
20.000,00 2% ao mês 40.000, 
100.000,00 200.000, 
2
,000.100
,000.200.



C
iC
im % 
 
 8 
Prazo Médio 
 Entende-se por prazo médio o tempo (prazo) que aplicado ao capital total, ofereça a mesma 
rentabilidade das aplicações efetuadas em cotas. 
T
mm
c
ncncnc
n
...... 2211  
Exemplo: 
1. Considerando uma taxa de 0,2% ao dia para os diferentes prazos de aplicação dos capitais 
fornecidos pela tabela abaixo, calcule o prazo médio das aplicações desses capitais. 
Capital Prazo 
R$ 10.000,00 20 dias 
R$ 8.000,00 30 dias 
R$ 27.000,00 40 dias 
dias 34
45000
1520000
45000
40 . 2700030 . 800020 . 10000


n 
 
Capital R$ Prazo C.n 
10.000,00 20 dias 200.000, 
8.000,00 30 dias 240.000, 
27.000,00 40 dias 1080.000, 
45.000, 1520.000, 
dias
C
nC
nm 34
,000.45
,000.1520.



 
EXERCÍCIOS 
1. Calcular a taxa média obtida nas seguintes aplicações, que foram efetuadas pelo mesmo 
prazo. 
Capital Taxa 
R$ 10.000,00 2,5% ao mês 
R$ 8.000,00 3% ao mês 
R$ 27.000,00 1% ao mês 
 amii mm %6889,1
45000
1.000,273.80005.2.000.10


 
2. Um capital de R$ 70.000,00 foi dividido em duas aplicações. A primeira, no valor de R$ 
50.000,00, recebeu taxa de 4% ao mês. Calcular qual deverá ser a taxa atribuída à 
segunda aplicação para que a taxa média seja de 3% ao mês. 
maii
i
.%5,0.000.20000.200000.210
000.70
.000.204.000.50
%3 


 
3. Uma nota promissória de R$ 50.000,00 vence em 30 dias e outra de R$ 75.000,00 
vence em prazo desconhecido. Sabendo-se que o prazo médio delas é de 32 dias, qual é o 
prazo da segunda promissória? 
 diasnnn
n
33000.752500000.000.75000.500.1000.000.4
000.125
.000.7530.000.50
32 

 
 
 9 
Desconto Simples 
 
 A ideia de desconto está associada com o abatimento dado a um valor monetário em 
determinadas condições. Assim, por exemplo, quando uma compra é feita em grande quantidade 
é comum o vendedor conceder algum desconto no preço por unidade. No comércio é bastante 
comum também o vendedor conceder um prazo para o pagamento; caso o comprador queira 
pagar à vista geralmente é proporcionado um desconto sobre o preço oferecido. Nestas situações, 
o desconto costuma ser expresso por um percentual aplicado sobre o preço. 
 Uma outra situação envolvendo o conceito de desconto ocorre quando uma empresa vende 
um produto a prazo; neste caso, o vendedor emite uma duplicata que lhe dará o direito de receber 
do comprador, na data futura, o valor combinado. A duplicata é, portanto, um título emitido por 
uma pessoa jurídica contra o cliente para o qual ela vendeu mercadorias à prazo ou prestou 
serviços para serem pagos no futuro, segundo um contrato. A emissão da duplicata só é legal se 
for feita tendo por base a nota fiscal proveniente do serviço prestado. 
 Chamamos de desconto de um título ao abatimento que se dá sobre o seu valor pela 
antecipação do seu pagamento. 
 Pela sistemática de capitalização simples, os valores do desconto são obtidos por meio de 
cálculos lineares. O desconto é estudado sob duas modalidades: desconto comercial simples e 
desconto racional simples. 
 
Desconto comercial, bancário ou “por fora” 
 
 É aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o valor nominal do título. É 
utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizada, principalmente, nas chamadas operações de 
“desconto de duplicatas”. O desconto comercial é obtido multiplicando-se o valor de resgate 
(nominal)do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja: 
 
n . . iNd  onde: d = desconto comercial, bancário, “por fora” 
 N = valor nominal do título 
 i = taxa de desconto 
 n = prazo 
 
Para se obter o valor presente (valor do título após o desconto), também chamado de valor 
atual, basta subtrair o valor do desconto do valor nominal do título. 
dNA  e ainda 
).1(
..
niNA
niNNA


 
 
Exemplos: 
1. Um título de valor nominal R$ 24.000,00 sofre um desconto bancário à taxa de 30% ao ano, 
60 dias antes do seu vencimento. Qual o valor do desconto e qual o seu valor atual? 
 
 
2. Um título de R$ 100,00 será 
3. 
 
Valor nominal = 24.000 
Taxa = 30% a.a. = 2,5% a.m. 
Prazo = 60 dias = 2 meses 
 
 
 
d = N.i.n 
d = 24.000x2,5/100x2 = 1.200, 
A = N – d = 24.000, - 1.200, = 22.800, 
 
 10 
2. Um título de R$ 100,00 será descontado a 1% ao mês, 120 meses antes do vencimento. 
Qual o valor do desconto? 
00,120
120.01,0.100
..



d
d
niNd
 
OBS.: O desconto comercial é utilizado para operações de curto prazo, para prazos longos, seu 
cálculo se torna impraticável, pois o valor do desconto se torna tão elevado que pode, inclusive, 
ultrapassar o próprio valor nominal do título. 
 
Desconto racional ou “por dentro” 
 
 É aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor atual do título ou valor líquido. 
ni
niN
d
niNnidd
nidniNd
nidNd
niAd
.1
..
'
...'.'
.'...'
.).'('
 . . '






 
ni
N
A
ni
niNniNN
A
ni
niN
NA
dNA
.1
.1
....
.1
..
'








 
 
Exemplo: 
1. Calcular o valor do desconto por dentro de um título de R$ 2.000,00 com vencimento para 
90 dias, à taxa de 2,5% ao mês. 
53,139
3.025,01
3.025,0.2000
'
.1
..
'





d
ni
niN
d
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Qual o valor do desconto por fora de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 90 
dias, à taxa de 2,5% ao mês? 
 
,150
30
90
100
5,2
.2000.%5,2
90
2000



ddmai
dn
N
 
2. Qual o valor a ser pago hoje por um título de R$ 50.000,00 cujo vencimento ocorrerá daqui 
a 3 meses, supondo que a taxa de desconto bancário seja de 5,5% ao mês? 
 
,750.41,250.83.
100
5,5
.000.50.%5,5
3
000.50



AdNAddmai
mesesn
N
 
Valor nominal = 100 
Taxa = 1% ao mês 
Prazo= 120 meses 
Valor nominal = 2000 
Taxa = 2,5% ao mês 
Prazo = 90 dias = 3 meses 
 
 11 
 
3. Calcular a taxa mensal de desconto por dentro utilizada numa operação de 120 dias, cujo 
valor de resgate do título é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00. 
 
maiiii
iin
N
AA
N
dn
.%4,303409,0000.13520880000.1)41(880
41
000.1
880
1
880
,000.1
120
'!
!







 
 
4. Sabendo-se que o desconto de um título no valor de R$ 6.800,00 resultou em um crédito de 
R$ 6.000,00 na conta do cliente, e que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês, 
calcular o prazo do título, com desconto por dentro. 
 
diasndmnmesesnn
n
in
N
Amai
A
N
1255416,4800192
100
2,3
1
800.6
000.6
1
.%2,3
000.6
800.6
'
!







 
 
5. Uma nota promissória de valor nominal de R$ 24.000,00 sofre um desconto por fora à taxa 
de 30% ao ano, 30 dias antes do vencimento. Qual o valor do desconto e qual o seu valor 
atual? 
 
,400.23600
360
30
100
30
.000.24.%30
30
000.24



AdNAddaai
dn
N
 
 
6. Uma duplicata de valor nominal de R$ 39.600,00 é negociada à taxa de 30% ao ano, 120 
dias antes do vencimento. A quanto importou o desconto que foi racional? Qual o seu valor 
atual? 
 
,000.36,3600
1,1
,3960
360
120
.
100
30
1
360
120
.
100
30
.600.39
120
.%30
,600.39
'''' 




Addddn
aai
N
 
7. Qual o desconto bancário, a 5% ao mês, sobre um título de R$ 750,00 pago 2 meses e 10 
dias antes do vencimento? 
 
50,87
30
70
100
5
.750102
,750
.%5



dddmn
N
mai
 
 
8. Um título no valor de R$ 1.200,00 pago 5 meses antes do vencimento, ficou reduzido a R$ 
900,00. Qual foi a taxa mensal considerando o desconto bancário e o desconto racional? 
 
 12 
  
dentropormaiii
i
forapormaiiiA
mesesn
N


".667,6
4500
300
12004500900
51
1200
900
"".%5
6000
300
.5.12009001200,900
5
,1200






 
 
9. Determine o valor atual produzido por uma letra que, descontada por dentro, 60 dias antes 
do seu vencimento, à taxa de 9% ao mês, produziu R$ 140,00 de desconto. 
 
78,77778,917
30
60
.
100
9
.1
30
60
.
100
9
.
140140
.%9
60
'' 




AN
N
d
mai
dn
 
10. Calcular o desconto por dentro de um título com vencimento daqui a 8 anos, no valor 
nominal de R$ 1.000,00, se descontado hoje à taxa anual de 20%. Repita o cálculo 
verificando o desconto por fora e analise as respostas encontradas. 
 
16008..2,0..100038,615
2,0.81
2,0.8.1000
.%20
,1000
8
'' 




ddddaai
N
anosn
 
 
 
Equivalência de Capitais Diferidos 
 
 Dois ou mais capitais são diferidos quando são exigíveis em datas diferentes. Dessa forma, 
títulos de créditos que têm vencimentos distintos são capitais diferidos. Dois ou mais capitais 
diferidos são equivalentes em certa época se, nessa época, seus valores atuais forem iguais. 
 Por exemplo: um título de valor nominal R$ 100,00 tem vencimento para 3 meses e outro 
título de valor nominal R$ 109,31 tem vencimento para 7 meses. Atualizando os valores desses 
títulos à taxa de 2% ao mês, temos: 
 
 
 
 
 
 
).1( niNAT  
94)7.02,01(31,109
94)3.02,01(100
2
1


T
T
A
A
 
 
21
 TT AA  
 Como os valores atuais dos títulos são iguais, pode-se afirmar que o capital R$ 100,00 para 
3 meses é equivalente ao capital R$ 109,31 para 7 meses, à taxa de 2% ao mês. 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 
2T
 
1T 
 
 13 
 O problema de equivalência de capitais diferidos aplica-se quando há substituição de um 
título (ou mais) por outro (ou outros) com vencimento diferente. 
 Consideremos, por exemplo, N o valor nominal de um título para n meses e N’ o valor 
nominal de outro título, equivalente ao primeiro, com vencimento para n’ meses; os valores atuais 
(An e A’n’) dos títulos são iguais, portanto: 
 
).1( niNAn  )'.1('' ' niNA n  
 
'.1
).1(
'
)'.1(').1(
ni
niN
N
niNniN




 
Exemplo: 
1. Um título de valor nominal equivalente a R$ 1000,00, vencível em 3 meses, vai ser 
substituído por outro, com vencimento para 5 meses. Admitindo-se que esses títulos podem 
ser descontados à taxa de 1% ao mês, qual o valor nominal do novo título? 
 
05,1021
95,0
970
'
95,0'.301000
)5.01,01'.()3.01,01.(1000



N
N
N
 
 
 
EXERCÍCIOS 
Obs.: Desenhar o Fluxo de Caixa 
1. Um título de valor nominal R$ 200,00 para 45 dias vai ser substituído por outro para 65 
dias. Considerando-se uma taxa de 20% ao ano, qual o valor nominal do novo título? 
 
31,202)
360
65
100
20
1()
360
45
100
20
1.(200
.%20


NN
aai
 
 
2. Um título de valor nominal R$ 400,00, pagável em 40 dias, vai ser substituído por outro com 
vencimento para 100 dias. Admitindo-se que o credor possa resgatar o título à taxa de 24% 
ao ano, determinar o valor nominal do novo título. 
 
14,417)
360
100
.
100
24
1.()
360
40
.
100
24
1.(400
.%24


NN
aai
 
 
3. Um título de valor nominal equivalente a R$ 144,00, vencível em 50 dias, foi substituído por 
outro de valor nominal R$ 151,00. Calcular o prazo do novo título, sabendo-se que a taxa 
empregada nessa transação foi de 2% ao mês. 
 
diasmesesnn
mai
273).
100
2
1.(151)
30
50
.
100
2
1.(144
.%2


 
 
Título existente: 
Valor nominal = 1000 
Taxa = 1% ao mês 
Prazo = 3 meses 
Novo título: 
Taxa = 1% ao mês 
Prazo = 5 meses 
 
 
 14 
4. Uma empresa deve pagar dois títulos: um de R$ 720,00para 2 meses e outro de R$ 960,00 
para 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor 
substituí-los por um único título para 4 meses. Calcular o valor nominal do novo título 
empregando a taxa de 1,2% ao mês. 
 
25,710.1)4.
100
2,1
1.()3.
100
2,1
1.(960)2.
100
2,1
1.(720
.%2,1


NN
mai
 
 
5. Um título de valor nominal equivalente a R$ 70,40 com vencimento para 5 meses, substituiu 
outro de valor nominal equivalente a R$ 66,00, vencível em 2 meses. Qual a taxa dessa 
transação? 
 maiiiii .%202,02204,4)21.(66)51.(40,70  
 
6. Dois títulos de R$ 100,00 exigíveis em 3 e 4 meses respectivamente, serão substituídos por 
dois novos títulos, de mesmo valor nominal, para 5 e 6 meses, respectivamente. Sendo de 
9% ao ano, a taxa do desconto, calcular o valor nominal dos novos títulos. 
 
56,1019175,175,194)
12
6
.
100
9
1()
12
5
.
100
9
1()
12
4
.
100
9
1.(100)
12
3
.
100
9
1.(100
.%9


NNNN
aai
 
 
7. Uma empresa devedora de dois títulos de R$ 3.000,00, vencíveis em 3 e 4 meses, deseja 
resgatar a dívida com um único pagamento no fim de 5 meses. Calcular o valor desse 
pagamento empregando a taxa de 1,5% ao mês. 
 
95,145.6925,05685)015,0.51.()015,0.41.(3000)015,0.31.(000.3
.%5,1
543



NNN
mai
AAA
 
 
 15 
Formulário Juros Simples. 
 
 
Juros Simples niCJ . .  
 
Montante )1( inCM  
Na HP-12C 
X [CHS] [PV] Y [i] ANOS Z [n] DIAS [f] [INT] Juros [+] Montante 
 
Taxa Média 
T
nn
c
icicic
i
...... 2211  



C
iC
im
.
 
Prazo Médio 
T
mm
c
ncncnc
n
...... 2211  



C
nC
nm
.
 
Desconto Comercial, Bancário ou “POR FORA” n . . iNd  
 
Valor Atual dNA  
).1(
..
niNA
niNNA


 
 
Desconto Racional ou “POR DENTRO” 
ni
niN
d
niAd
.1
..
'
 . . '



 
 
Valor Atual 
ni
N
A
dNA
.1
'



 
Equivalência de Capitais Diferidos 
 
).1( niNAn  )'.1('' ' niNA n  
'.1
).1(
'
)'.1(').1(
ni
niN
N
niNniN



