Atividade 3 - Algebra Linear Computacional

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema Estudo do Produto Escalar e Produto Vetorial no GeoGebra Unidade 01 
Disciplina (s) § Álgebra Linear Computacional Data da última atualização 03/02/2020 
 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio do conteúdo sobre vetores, produto escalar e produto vetorial. 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. 
 
II. Materiais 
Descrição Quantidade 
Software GeoGebra 3D Online 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
III. Introdução 
A compreensão dos conceitos, bem como a execução dos cálculos, que envolvem os temas Produto Escalar e 
Produto Vetorial são de suma importância aos estudantes e profissionais das Engenharias/Ciências. Tal importância 
surge da grande variedade de aplicações desses produtos nas diversas disciplinas e na modelagem de problemas 
típicos dessas áreas. Entre outras aplicações, podemos citar: 
§ Cálculo de ângulos, áreas e volumes. 
§ Determinação do momento de uma força. 
§ Trabalho realizado por uma força. 
§ Fluxo de água através de uma mangueira. 
Nessa atividade, você utilizará o software GeoGebra (https://www.geogebra.org/) para determinação do ângulo e 
do produto vetorial entre dois vetores, além do cálculo da área de um triângulo. 
 
 
 
 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
 
 
 
 
§ Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de determinar o ângulo e o produto vetorial entre dois 
vetores, bem como calcular a área de um triângulo a partir do produto vetorial. 
§ Utilizar o software GeoGebra para determinação do ângulo e do produto vetorial entre dois vetores. Além disso, 
usando a ferramenta de medição, calcular a área de um triângulo. 
 
 V. Experimento 
 
ETAPA 1: determinação do ângulo entre dois vetores 
 
PASSO 1: Esboce, no GeoGebra 3D, os vetores 𝑢"⃗ = (1,1,1) e �⃗� = (1,1,3). O Geogebra reconhece os vetores a partir 
de letras minúsculas. 
 
PASSO 2: Ainda usando o GeoGebra, insira três pontos no espaço, sendo eles a origem do sistema de coordenadas 
cartesianas e as extremidades dos vetores já representados: 𝐴 = (0,0,0), 𝐵 = (1,1,1) e 𝐶(1,1,3). Esses pontos 
servirão para identificarmos o ângulo entre os vetores 𝑢"⃗ e �⃗�, conforme PASSO 3 abaixo. 
 
PASSO 3: Usando a ferramenta de medição ÂNGULO , clique sequencialmente nos pontos 𝐵à𝐴à𝐶. Qual o 
ângulo apresentado? 
 
 
Ângulo (B,A,C) = 29,5° 
 
PASSO 4: Calcule, usando a fórmula abaixo, o ângulo entre os vetores 𝑢"⃗ e �⃗� e compare o resultado com o valor 
encontrado no PASSO 3. 
𝑢"⃗ ∙ �⃗� = |𝑢"⃗ |	|𝑣|	cos	(𝑢"⃗ , �⃗�) 
 
 
u=(1,1,1) 
v=(1,1,3) 
 
 
 
 
u*v=(u1v1+u2v2+u3v3) 
u*v=(1*1)+(1*1)+(1*3)= 1+1+3=5 
5=|u| * |v| * cos (u,v) 
Cos(u,v) = !
"#$√&&
 
Cos (u,v) = !
&,(#)*$#,#&+*
=	 !
!,*,-
 
 
Cos (u,v) = 0,9904 rad 
 
Cos 0,9904 = 31,41° 
 
Resultado = 29,5° 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 2: determinação do produto vetorial 
 
PASSO 5: Calcule, no espaço abaixo, o produto vetorial entre os vetores 𝑢"⃗ e �⃗�. 
 
u = (u1, u2, u3) 
v = (v1, v2,v3) 
onde 
u = (1,1,1) e v = (1,1,3) 
 
u*v = (u2*v3 – u3 *v2)i – (u1*v3 – u3*v1)j – (u1*v2-u2*v1)k 
u*v = (3-1)i – (3-1)j – (-1-1)k 
u*v = 2i – 2j – 0k 
w = (2,-2,0) 
 
PASSO 6: Usando o GeoGebra, represente o vetor 𝑤""⃗ = 𝑢"⃗ × �⃗�. Para isso, digite a função 	𝑤""⃗ = 𝑢"⃗ ⊗ �⃗�. Compare o 
resultado com o vetor determinado no PASSO 5. 
Observação: o operador ⊗ pode ser encontrado a partir do seguinte procedimento: 
 
 
 
 
 
PASSO 7: Usando o mesmo procedimento realizado nos PASSOS 2 e 3, identifique o ângulo entre os pares de 
vetores (𝑢"⃗ , 𝑤""⃗ ) e (�⃗�, 𝑤""⃗ ). O resultado verificado era previsível? Por quê? 
 
Ângulo entre (u,w) = 90° 
Ângulo entre (v,w) = 90° 
Os dois vetores apresentam o mesmo o mesmo ângulo em relação ao vetor w, previsivelmente constatado, pois 
os valores das interseções x e y continuam os mesmos e o vetor w está apenas em duas dimensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 3: determinação da área de um triângulo a partir do produto vetorial 
 
PASSO 8: Utilizando a ferramenta de esboço de polígonos , clique nos pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 para representar o 
triângulo 𝐴𝐵𝐶8 . 
 
PASSO 9: Identifique a área do polígono 𝐴𝐵𝐶8, clicando na ferramenta de medição de área e, em sequência, 
no polígono representado. Qual o valor da área encontrada? 
 
Entre u e v a área do polígono de ABC = 1,41cm2 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO 10: Utilize produto vetorial para comprovar o resultado encontrado no PASSO 9. Lembrete: 𝐴 = &
)
|𝑢"⃗ × �⃗�|. 
 
 
w = u x v = (2, -2, 0) 
 
A = 𝐴 =	 &
)
	𝑥	|2, −2, 0	| = 	 &
)
𝑥	2,83	 ≅ 1,41 
 
 
 
Após a realização do cálculo foi observado que a área da figura possui o mesmo valor do produto vetorial, ou 
seja, a área do paralelogramo dividido por 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
 
§ PAULO WINTERLE. Vetores e geometria analítica, 2ed. Pearson 256 ISBN 9788543002392. 
 
§ SANTOS, Fabiano José dos. Geometria analítica. Porto Alegre ArtMed 2009 1 recurso online ISBN 9788577805037.