matemática provinha de raciocínio lógico

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Raciocínio Lógico para Concursos Públicos:
Teoria e Prática (Questões Enunciadas e
Resolvidas)
Nível: Superior
Bancas:
• CESGRANRIO
• CESPE / CEBRASPE
• Fundação Carlos Chagas (FCC)
• Fundação Getúlio Vargas (FGV)
Autor: Prof. Dr. Thiago José Machado
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Capítulo 1
Noções Básicas de Raciocínio Lógico
Definição.
Uma proposição (ou sentença) lógica é toda oração declaratória que possui valor lógico, ou seja,
pode ser classificada em Verdadeira (V) ou Falsa (F).
Exemplo.
Considere as seguintes orações:
(1) P1: “Todo número par é divisível por quatro.”
(2) P2: “Sete é maior que três.”
(3) P3: “A raiz quadrada de um número é igual à sua metade.”
(4) P4: “Cinco é menor que quatro?”
As duas primeiras frases são orações declaratórias que possuem valores lógicos fixos, sendo a primeira
falsa e a segunda, verdadeira. Estas podem ser chamadas de sentenças fechadas. A frase P3, apesar de ser
uma oração declaratória, não é uma proposição pois não possui valor lógico fixo, sendo verdadeira para
alguns números e falsa para outros. Dizemos que P3 trata-se de uma sentença aberta. Por fim, temos que
P4 não é uma oração declaratória.
1.1 Negação, Conjunção e Disjunção
Definição.
Dada uma proposição lógica P , temos que a negação de P , denotada por ∼ P , é também uma
proposição lógica e possui valor lógico oposto ao valor de P . Logo, a tabela-verdade de ∼ P é dada pelo
seguinte:
P ∼ P
V F
F V
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4 CAPÍTULO 1. NOÇÕES BÁSICAS DE RACIOCÍNIO LÓGICO
Exemplos.
Considere as seguintes proposições com suas respectivas negações:
(1) P : Quatro é múltiplo de cinco.
∼ P : Quatro não é múltiplo de cinco.
(2) Q: Doze é maior que nove.
∼ Q: Doze é menor ou igual a nove.
Definição.
Dadas as proposições lógicas P e Q, sua conjunção (operador AND) é também uma proposição
lógica, denotada por P ∧ Q. Uma conjunção será verdadeira apenas quando as duas proposições forem
verdadeiras. Portanto, a tabela-verdade da conjunção entre as proposições P e Q é dada por:
P Q P ∧Q
V V V
V F F
F V F
F F F
Definição.
Dadas as proposições lógicas P e Q, sua disjunção (operador OR) é também uma proposição lógica,
denotada por P ∨Q. A disjunção será falsa apenas quando as duas proposições forem falsas. Logo, temos
o seguinte tabela-verdade para a disjunção:
P Q P ∨Q
V V V
V F V
F V V
F F F
Definição.
Duas operações são logicamente equivalentes quando os resultados destas operações apresentam os
mesmos valores lógicos. Utiliza-se o símbolo ≡ para denotar tal equivalência.
Observação.
Dadas as proposições P , Q e R, são válidas as seguintes equivalências lógicas envolvendo os operadores
negação, conjunção e disjunção:
(1) Associatividade da Conjunção:
(P ∧Q) ∧R ≡ P ∧ (Q ∧R).
1.2. CONDICIONAL 5
(2) Comutatividade da Conjunção:
P ∧Q ≡ Q ∧ P.
(3) Associatividade da Disjunção:
(P ∨Q) ∨R ≡ P ∨ (Q ∨R).
(4) Comutatividade da Disjunção:
P ∨Q ≡ Q ∨ P.
(5) Distributividade: {
P ∨ (Q ∧R) ≡ (P ∨Q) ∧ (P ∨R)
P ∧ (Q ∨R) ≡ (P ∧Q) ∨ (P ∧R)
(6) Leis de De Morgan: {
∼ (P ∨Q) ≡ (∼ P ) ∧ (∼ Q)
∼ (P ∧Q) ≡ (∼ P ) ∨ (∼ Q)
Todas as equivalências apresentadas acima podem ser demonstradas comparando as respectivas tabelas-
verdade.
1.2 Condicional
Definição.
Uma condição lógica entre duas proposições P e Q é uma operação que afirma que, se P ocorre
então Q também ocorre, sendo denotada por P ⇒ Q. Temos que a tabela-verdade da condicional é:
P Q P ⇒ Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Em uma condicional da forma P ⇒ Q, a proposição P pode ser chamada de Premissa, An-
tecedente ou Condição Suficiente, enquanto que a proposição Q pode ser chamada de Conclusão,
Consequente ou Condição Necessária.
Observação.
Desde que a condicional P ⇒ Q significa que: “se P ocorre, então Q também ocorre”, então a
negação desta condicional seria afirmar que P ocorre, mas Q não ocorre. Desta forma, temos a seguinte
equivalência lógica:
∼ (P ⇒ Q) ≡ P ∧ (∼ Q) (1.1)
6 CAPÍTULO 1. NOÇÕES BÁSICAS DE RACIOCÍNIO LÓGICO
Comparando as tabelas-verdades, temos o seguinte:
P Q P ⇒ Q ∼ (P ⇒ Q) P ∧ (∼ Q)
V V V F F
V F F V V
F V V F F
F F V F F
Portanto, fica demonstrada a equivalência (1.1). Além disso, aplicando a negação em ambos os lados de
(1.1) e considerando a lei de De Morgan, obtemos o seguinte:
P ⇒ Q ≡ (∼ P ) ∨Q (1.2)
Definição.
O operador bicondicional, denotado por P ⇔ Q, é definido como sendo a conjunção das condicionais
P ⇒ Q e Q ⇒ P . A tabela-verdade deste operador é:
P Q P ⇒ Q P ⇐ Q P ⇔ Q
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V
Note que a bicondicional será verdadeira apenas quando P e Q possuírem valores lógicos coincidentes.
1.3 Quantificadores
No começo do capítulo foram apresentados quatro sentenças, sendo que as duas primeiras são
sentenças fechadas, a terceira é uma sentença aberta e última trata-se de uma oração não declaratória.
Considere as seguintes questões:
• É possível transformar uma oração não declaratória em uma oração declaratória?
• A sentença aberta pode se tornar uma sentença fechada?
Com relação à primeira questão, a resposta é negativa, pois não é possível modificar uma oração
interrogativa ou exclamativa para que ela se torne uma oração declaratória.
Por outro lado, a resposta à segunda questão é afirmativa. Para isto, é possível adicionar à sentença
aberta um elemento que permite fixar o seu valor lógico, transformando-a em uma sentença fechada. Este
elemento é conhecido como quantificador. Os dois tipos de quantificador são:
– Quantificador Universal: ∀ = PARA TODO;
– Quantificador Existencial: ∃ = EXISTE.
Exemplo.
Este exemplo consiste em apresentar duas possíveis formas de transformar a sentença P3 em uma
proposição, usando os quantificadores apresentados acima.
1.3. QUANTIFICADORES 7
• Reescrevendo P3 de maneira algébrica, temos o seguinte:
√
x =
x
2
. (Valor Lógico: ?)
• Utilizando o quantificador universal, obtemos a seguinte proposição:
∀x ∈ R :
√
x =
x
2
. (Valor Lógico: F)
• Utilizando o quantificador existencial, temos que:
∃x ∈ R :
√
x =
x
2
. (Valor Lógico: V)
Observação.
Se uma proposição contém um quantificador universal, então a sua negação deve conter um quanti-
ficador existencial. A recíproca também é válida. Abaixo seguem alguns exemplos:
(1) P = (∀x ∈ Q : x2 ≥ 0) ⇒ ∼ P = (∃x ∈ Q : x2 < 0)
(2) P = (∃a, b ∈ Z : ab = ba) ⇒ ∼ P = (∀a, b ∈ Z : ab ̸= ba)
8 CAPÍTULO 1. NOÇÕES BÁSICAS DE RACIOCÍNIO LÓGICO
Capítulo 2
Questões Resolvidas
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10 CAPÍTULO 2. QUESTÕES RESOLVIDAS
Exercício 1 (CESPE/CEBRASPE – 2021 – IBGE – Supervisor de Coleta e Qualidade).
Os irmãos Pedro, Mateus e José foram entrevistados por um agente do IBGE que obteve
deles as seguintes informações:
(1) Pedro disse: –“Apenas um dos meus irmãos tem mais de 25 anos de idade”;
(2) Mateus disse: –“Apenas um dos meus irmãos tem mais de 30 anos de idade”;
(3) José disse: –“Meus dois irmãos têm mais de 28 anos de idade”.
Considerando que as três afirmações estão corretas conclui-se, a respeito das idades dos três
irmãos, que
(a) Pedro tem menos de 30 anos, Mateus tem mais de 25 anos e José tem mais de 30 anos de
idade.
(b) Pedro tem mais de 28 anos, Mateus tem mais de 28 e José tem mais de 25 anos de idade.
(c) Pedro tem 25 anos, Mateus tem 28 e José tem 30 anos de idade.
(d) Pedro tem mais de 30 anos, Mateus tem mais de 28 anos e José tem no máximo 25 anos de
idade.
(e) Pedro tem menos de 28 anos, Mateus tem mais de 30 anos e José tem mais de 25 anos de
idade.
Solução.
Vamos denotar por P , M e J as idades de Pedro, Mateus e José, respectivamente. Das
afirmações dadas, obtemos as seguintes equações:
M > 25 e J ≤ 25︸ ︷︷ ︸
Cenário 1.1
ou J > 25 e M ≤ 25︸ ︷︷ ︸
Cenário 1.2
;
P > 30 e J ≤ 30︸ ︷︷ ︸
Cenário 2.1
ou J > 30 e P ≤ 30︸ ︷︷ ︸
Cenário 2.2
;
P > 28 e M > 28.
Da afirmação feita por José, temos que:
P > 28 invalida o Cenário 2.2, enquanto que M > 28 torna inválido o Cenário 1.2.
Ou seja, além das equações associadas à afirmação de José, devemos considerar também os
Cenários 1.1 e 2.1. Desta forma, segue que:
M > 25 e M > 28 ⇒ M > 28
J ≤ 25 e J ≤ 30⇒ J ≤ 25
P > 30 e P > 28 ⇒ P > 30
Alternativa Correta: Letra (d)
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Exercício 2 (CESPE/CEBRASPE – 2021 – IBGE – Supervisor de Coleta e Qualidade).
Se a informação “Todas as casas das ruas A e B foram visitadas” é falsa, então
(a) todas as casas da rua A não foram visitadas ou todas as casas da rua B não foram visitadas.
(b) alguma casa da rua A não foi visitada ou alguma casa da rua B não foi visitada.
(c) pelo menos uma casa da rua A não foi visitada e pelo menos uma casa da rua B não foi
visitada.
(d) nenhuma casa da rua A foi visitada e nenhuma casa da rua B foi visitada.
(e) todas as casas da rua A não foram visitadas ou todas as casas da rua B não foram visitadas.
Solução.
Sabemos que a negação da afirmação dada é verdadeira. A afirmação dada contém um
quantificador universal, o que implica que sua negação deve conter um quantificador existencial,
ou seja,
“Existe alguma casa das ruas A ou B que não foi visitada”
Alternativa Correta: Letra (b)
12 CAPÍTULO 2. QUESTÕES RESOLVIDAS
Exercício 3 (CESPE/CEBRASPE – 2021 – Secretaria de Educação do Estado (PR) – Profes-
sor).
Considere verdadeira a seguinte proposição: “Se Fábio compareceu a todas as aulas e
estudou, então ele foi aprovado”. Supondo-se que Fábio não tenha sido aprovado, é correto
concluir que ele
(a) não estudou nem compareceu às aulas.
(b) não estudou ou não compareceu a nenhuma das aulas.
(c) estudou, mas não compareceu a todas as aulas.
(d) não estudou ou não compareceu a alguma das aulas.
(e) estudou, mas não compareceu a algumas aulas.
Solução.
Defina as proposições:
P : “Fábio compareceu a todas as aulas”
Q : “Fábio estudou”
R : “Fábio foi aprovado”
Neste caso, a afirmação dada pode ser escrita como a implicação
(P ∧Q) ⇒ R.
Por hipótese, sabemos que a proposição (∼ R) é verdadeira. Sendo assim, usando a contra-
positividade da implicação acima juntamente com uma das leis de De Morgan, temos o seguinte:
(∼ R) ⇒∼ (P ∧Q) ≡ (∼ P ) ∨ (∼ Q).
Como a afirmação P contém um quantificador universal, então sua negação consiste em dizer
que “Fábio não compareceu a alguma aula”. Portanto, podemos concluir que
“Fábio não compareceu a alguma aula ou não estudou”
Alternativa Correta: Letra (d)
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Exercício 4 (FGV – 2021 – Prefeitura de Paulínia (SP) – Diversos Cargos).
Considere a sentença: “Todo advogado é um bom orador”. A negação lógica dessa sentença
é:
(a) Nenhum advogado é bom orador.
(b) Todo bom orador é advogado.
(c) Nenhum bom orador é advogado.
(d) Algum advogado não é bom orador.
(e) Algum bom orador não é advogado.
Solução.
Considere que P seja o conjunto dos advogados e Q seja o conjunto dos bons oradores.
A partir daí, temos que a sentença “Todo advogado é um bom orador” significa que
P ⊂ Q.
Sendo assim, a negação disso é que existe algum elemento que está contido em P e que não
está em Q. Em outras palavras, a negação da sentença pode ser escrita como:
“Algum advogado não é bom orador.”
Alternativa Correta: Letra (d)
14 CAPÍTULO 2. QUESTÕES RESOLVIDAS
Exercício 5 (FGV – 2021 – Prefeitura de Paulínia (SP) – Diversos Cargos).
Sabe-se que a sentença “Se Antônio é advogado, então Carla é engenheira ou Diana não
é médica” é falsa. É correto concluir que
(a) Antônio é advogado e Diana é médica.
(b) Antônio não é advogado e Carla é engenheira.
(c) Se Carla não é engenheira, então Diana não é médica.
(d) Se Diana é médica, então Antônio não é advogado.
(e) Carla é engenheira ou Diana não é médica.
Solução.
Considere as proposições:
P : “Antônio é advogado”
Q : “Carla é engenheira”
R : “Diana não é médica”
Logo, a sentença “Se Antônio é advogado, então Carla é engenheira ou Diana não é médica”
pode ser escrita como:
P ⇒ (Q ∨R)
Como esta condicional é falsa, então sua negação é correta. Sabemos que a negação de uma
condicional consiste na conjunção da hipótese com a negação da tese. Logo:
∼ [P ⇒ (Q ∨R)] ≡ P∧ ∼ (Q ∨R) ≡ P ∧ (∼ Q) ∧ (∼ R),
onde a última equivalência foi obtida através da lei de De Morgan. Para que uma conjunção
seja verdadeira, cada proposição desta conjunção deve ser verdadeira. Logo, temos que
“Antônio é advogado”
“Carla não é engenheira”
“Diana é médica”
Alternativa Correta: Letra (a)
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Exercício 6 (FGV – 2021 – Prefeitura de Paulínia (SP) – Diversos Cargos).
Em um grupo de sapos, alguns são amarelos e alguns são felizes. Sabe-se que:
(1) Todo sapo feliz sabe pular.
(2) Nenhum sapo amarelo sabe tocar gaita.
(3) Todo sapo que não sabe tocar gaita também não sabe pular.
É correto concluir que
(a) todo sapo amarelo sabe pular.
(b) nenhum sapo feliz sabe tocar gaita.
(c) todo sapo amarelo é feliz.
(d) todo sapo que sabe pular é amarelo.
(e) nenhum sapo feliz é amarelo.
Solução.
Considere as seguintes proposições:
F : “O sapo é feliz”
P : “O sapo sabe pular”
A : “O sapo é amarelo”
G : “O sapo sabe tocar gaita”
De (i), (ii) e (iii), segue que:
F ⇒ P, A ⇒ (∼ G) e (∼ G) ⇒ (∼ P ).
Usando a contra-positividade da primeira implicação e conjugando as outras duas implicações,
temos o seguinte:
A ⇒ (∼ G) ⇒ (∼ P ) ⇒ (∼ F ).
Tomando as implicações contra-positivas, segue que:
F ⇒ P ⇒ G ⇒ (∼ A).
Portanto, podemos concluir que
“Se o sapo é feliz, então ele é amarelo.”
Alternativa Correta: Letra (e)
16 CAPÍTULO 2. QUESTÕES RESOLVIDAS
Exercício 7 (FGV – 2021 – Fundação Regional de Saúde (CE) – Diversos Cargos).
Considere a sentença: “Todo urso branco é amigo da onça”. A negação lógica dessa
sentença é:
(a) Nenhum urso branco é amigo da onça.
(b) Algum urso branco não é amigo da onça.
(c) Todo urso marrom é amigo da onça.
(d) Nenhuma onça é amiga de urso branco.
(e) Algum urso não é branco e é amigo da onça.
Solução.
Sejam P o conjunto dos ursos brancos e Q o conjunto dos amigos da onça. Logo, a
sentença “Todo urso branco é amigo da onça” significa que
P ⊂ Q.
Sendo assim, a negação da inclusão acima é que existe algum elemento de P que não pertence
a Q, ou seja:
“Existe algum urso branco que não é amigo da onça.”
Alternativa Correta: Letra (b)
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Exercício 8 (FGV – 2021 – Fundação Regional de Saúde (CE) – Diversos Cargos).
Considere a sentença: “Se a cobra é verde, então ela não morde ou ela é venenosa”. A
sentença logicamente equivalente à sentença dada é:
(a) Se a cobra morde e não é venenosa, então ela não é verde.
(b) Se a cobra não é verde, então ela morde e não é venenosa.
(c) Se a cobra não é verde, então ela não morde ou não é venenosa.
(d) A cobra é verde e não morde ou é venenosa.
(e) A cobra não é verde e morde e não é venenosa.
Solução.
Considere as proposições: 
P : “A cobra é verde”
Q : “A cobra não morde”
R : “A cobra é venenosa”
Logo, a sentença “Se a cobra é verde, então ela não morde ou ela é venenosa” pode ser escrita
sob a forma da implicação:
P ⇒ (Q ∨R).
Da contra-positividade desta implicação, segue que:
∼ (Q ∨R) ⇒∼ P.
Por fim, usando a lei de De Morgan, obtemos:
(∼ Q) ∧ (∼ R) ⇒∼ P,
ou seja,
“Se a cobra morde e não é venenosa, então ela não é verde”.
Alternativa Correta: Letra (a)
18 CAPÍTULO 2. QUESTÕES RESOLVIDAS
Exercício 9 (FGV – 2021 – Fundação Regional de Saúde (CE) – Diversos Cargos).
Considere a afirmação tradicional: “Cão que ladra não morde”. Essa afirmativa é equi-
valente a:
(a) Cão que não morde, ladra.
(b) Cão que não ladra, morde.
(c) Cão que morde, não ladra.
(d) Um cão não ladra ou morde.
(e) Um cão ladra ou morde.
Solução.
Primeiramente, note que a afirmação pode ser reescrita como a seguinte forma condicional:
P ⇒ Q,
onde as sentenças P e Q são dadas por:{
P : “Um cão ladra”
Q : “Um cão morde”
Conforme apresentado na parte teórica, temos a seguinte equivalência lógica:
P ⇒ Q ≡ (∼ P ) ∨Q
Portanto, a afirmação dada é equivalente a:
“Um cão não ladra ou morde”.
Alternativa Correta: Letra (d)
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Exercício 10 (FGV – 2021 – Fundação Regional de Saúde (CE) – Diversos Cargos).
Considere a sentença: “Se todo sapo é amarelo, então alguma perereca é vermelha”. A
negação lógica dessa sentença é
(a) Se todo sapoé amarelo, então nenhuma perereca é vermelha.
(b) Todo sapo é amarelo e nenhuma perereca é vermelha.
(c) Se nem todo sapo é amarelo, então alguma perereca é vermelha.
(d) Se nenhum sapo é amarelo, então toda perereca é vermelha.
(e) Nem todo sapo é amarelo ou alguma perereca é vermelha.
Solução.
Neste caso, temos uma sentença condicional da forma P ⇒ Q, onde a condição suficiente
contém um quantificador universal e a condição necessária contém um quantificador existencial:{
P : “Todo sapo é amarelo”
Q : “Alguma perereca é vermelha”
A negação da condicional P ⇒ Q é dada por
P ∧ (∼ Q).
Sabemos que a negação de um quantificador existencial fornece um quantificador universal,
então a negação de Q consiste no seguinte: “Todas as pererecas não são vermelhas” ou, equi-
valentemente, “Nenhuma perereca é vermelha”. Portanto, podemos concluir que a negação da
sentença dada é:
“Todo sapo é amarelo e nenhuma perereca é vermelha”.
Alternativa Correta: Letra (b)
20 CAPÍTULO 2. QUESTÕES RESOLVIDAS
Exercício 11 (FGV – 2021 – Indústria de Material Bélico do Brasil – Diversos Cargos).
Considere a sentença “Se o casaco é de couro, então está frio”. Uma sentença logicamente
equivalente à sentença dada é
(a) Se o casaco não é de couro, então não está frio.
(b) Se está frio, então o casaco é de couro.
(c) Se não está frio, então o casaco é de couro.
(d) O casaco é de couro e não está frio.
(e) O casaco não é de couro ou está frio.
Solução.
Temos uma sentença condicional da forma P ⇒ Q, onde:{
P : “O casaco é de couro”
Q : “Está frio”
Sabemos que a condicional P ⇒ Q é equivalente a (∼ P ) ∨Q. Portanto, segue que a sentença
logicamente equivalente à sentença dada é:
“O casaco não é de couro ou está frio”.
Alternativa Correta: Letra (e)
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Exercício 12 (FGV – 2021 – Indústria de Material Bélico do Brasil – Advogado).
Um professor afirmou:
“Quem acertar todas as questões de múltipla-escolha vai tirar conceito A”.
Alberto é um de seus alunos. Uma consequência lógica da sentença do professor é:
(a) se Alberto tirou conceito A, então ele acertou todas as questões de múltipla-escolha.
(b) se Alberto não tirou conceito A, então ele acertou todas as questões de múltipla-escolha.
(c) se Alberto não tirou conceito A, então ele errou todas as questões de múltipla-escolha.
(d) se Alberto não tirou conceito A, então ele errou exatamente uma questão de múltipla-
escolha.
(e) se Alberto não tirou conceito A, então ele errou pelo menos uma questão de múltipla-escolha.
Solução.
A afirmação do professor pode ser escrita como uma sentença condicional P ⇒ Q, onde{
P : “Um aluno acertou todas as questões de múltipla-escolha”
Q : “Um aluno tirou conceito A”
Da contra-positividade, temos a seguinte equivalência lógica:
P ⇒ Q ≡ (∼ Q) ⇒ (∼ P )
Portanto, a afirmação do professor pode ser reescrita como
“Se um aluno não tirou conceito A, então ele não acertou todas as questões de
múltipla-escolha”.
Alternativa Correta: Letra (e)
22 CAPÍTULO 2. QUESTÕES RESOLVIDAS
Exercício 13 (FCC – 2020 – Assembleia Legislativa (AP) – Analista Legislativo).
Em um circo, todo trapezista é também malabarista. Sabendo que, nesse circo, se um
artista é contorcionista e não é equilibrista, então ele não é malabarista, é correto concluir que
se um artista é trapezista, então ele
(a) não é contorcionista nem equilibrista.
(b) não é malabarista.
(c) é equilibrista ou não é contorcionista.
(d) é equilibrista ou contorcionista.
(e) é malabarista e não é equilibrista.
Solução.
Considere as seguintes proposições:
T : “O artista é trapezista”
M : “O artista é malabarista”
C : “O artista é contorcionista”
E : “O artista é equilibrista”
Logo, considerando as hipóteses dadas, temos as seguintes implicações:
(1) T ⇒ M ;
(2) (C ∧ (∼ E)) ⇒ (∼ M).
Usando a contra-positividade da implicação (2) e, em seguida, uma das leis de De Morgan,
temos que:
M ⇒ ∼ (C ∧ (∼ E)) ≡ (∼ C) ∨ E
Portanto, pela transitividade da condicional, então
T ⇒ M ⇒ (∼ C) ∨ E.
Ou seja, se o artista é trapezista, então ele não é contorcionista ou é equilibrista.
Alternativa Correta: Letra (c)
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Exercício 14 (FCC – 2019 – SANASA Campinas (SP) – Analista de Tecnologia da Informa-
ção).
A central de segurança de um condomínio comercial recebe Selo Verde se o zelador tiver,
para toda porta no condomínio, pelo menos uma chave que a tranque; caso contrário, a central
de segurança recebe Selo Vermelho. Se a central de segurança de um condomínio comercial
recebeu Selo Vermelho, então, necessariamente, nesse condomínio,
(a) o zelador tem pelo menos uma chave que não tranca todas as portas.
(b) nenhuma porta pode ser trancada por todas as chaves do zelador.
(c) o zelador tem pelo menos uma chave que não tranca nenhuma porta.
(d) existe pelo menos uma porta que não pode ser trancada por nenhuma chave do zelador.
(e) todas as chaves do zelador trancam todas as portas.
Solução.
A condição para que uma central de segurança receba Selo Verde contém um quantificador
universal e um quantificador existencial:
“Para toda porta no condomínio, existe pelo menos uma chave que a tranque”.
Como a central não recebeu Selo Verde, isto significa que ocorreu o contrário da condição acima.
Uma vez que a negação de um quantificador universal contém um quantificador existencial e,
vice-versa, então a negação da condição dada é:
“Existe pelo menos uma porta no condomínio para a qual qualquer chave não a tranque”.
Alternativa Correta: Letra (d)
24 CAPÍTULO 2. QUESTÕES RESOLVIDAS
Exercício 15 (FCC – 2019 – Tribunal Regional Federal (RS) – Analista Judiciário).
Sabendo-se que é verdadeira a afirmação “Todos os filhos de José sabem inglês”, então é
verdade que
(a) José sabe inglês.
(b) José não sabe inglês.
(c) se Mário sabe inglês então ele é filho de José.
(d) se Murilo não sabe inglês então ele não é filho de José.
(e) se Marcos não é filho de José então ele não sabe inglês.
Solução.
A afirmação dada pode ser escrita como a condicional P ⇒ Q, onde P : “Ele é filho de José”Q : “Ele sabe inglês”
Da contra-positividade da condicional acima, temos que (∼ Q) ⇒ (∼ P ), ou seja,
“Se ele não sabe inglês, então ele não é filho de José”
Alternativa Correta: Letra (d)
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Exercício 16 (FCC – 2019 – Secretaria da Fazenda (BA) – Auditor Fiscal).
Em seu discurso de posse, determinado prefeito afirmou: “Se há incentivos fiscais, então
as empresas não deixam essa cidade”. Considerando a afirmação do prefeito como verdadeira,
então também é verdadeiro afirmar:
(a) Se não há incentivos fiscais, então as empresas deixam essa cidade.
(b) Se as empresas não deixam essa cidade, então há incentivos fiscais.
(c) Se as empresas deixam essa cidade, então não há incentivos fiscais.
(d) As empresas deixam essa cidade se há incentivos fiscais.
(e) As empresas não deixam essa cidade se não há incentivos fiscais.
Solução.
Temos uma condicional da forma P ⇒ Q, onde:
P : Há incentivos fiscais
Q : As empresas não deixam essa cidade
Da contra-positividade da condicional, temos que (∼ Q) ⇒ (∼ P ), ou seja,
“Se as empresas deixam essa cidade, então não há incentivos fiscais”.
Alternativa Correta: Letra (c)
26 CAPÍTULO 2. QUESTÕES RESOLVIDAS
Exercício 17 (FCC – 2019 – Prefeitura de Recife (PE) – Analista de Gestão Contábil).
Considere a seguinte proposição: “Todos os profissionais formados pela Faculdade Alfa
estão empregados”. Admitindo que ela seja falsa, então certamente
(a) Todos os profissionais formados pela Faculdade Alfa estão desempregados.
(b) Existe pelo menos um profissional formado pela Faculdade Alfa que não está empregado.
(c) Se o profissional Roberto está desempregado, então ele é formado pela Faculdade Alfa.
(d) Nenhum profissional formado pela Faculdade Alfa está empregado.
(e) Alguns profissionais formados pela Faculdade Alfa estão empregados.
Solução.
A proposição dada contém um quantificador universal. Logo, a sua negação deve conter
um quantificador existencial, ou seja,
“Existe pelo menos um profissional formadopela Faculdade Alfa que não está empregado”.
Alternativa Correta: Letra (b)
27
Exercício 18 (FGV – 2019 – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – Agente Censitário
Operacional).
Considere a sentença: “Se corro ou faço musculação, então fico cansado”. Uma sentença
logicamente equivalente a essa é:
(a) Se não corro ou faço musculação, então não fico cansado;
(b) Se não corro e não faço musculação, então não fico cansado;
(c) Não corro e não faço musculação ou fico cansado;
(d) Corro ou faço musculação e não fico cansado;
(e) Não corro ou não faço musculação e fico cansado.
Solução.
A sentença dada é uma condicional da forma (P ∨Q) ⇒ R, onde:
P : “Eu corro”
Q : “Eu faço musculação”
R : “Eu fico cansado”
Sabemos que uma condicional da forma A ⇒ B é equivalente a ∼ A ∨B. Logo, segue que:
(P ∨Q) ⇒ R ≡ ∼ (P ∨Q) ∨R ≡ (∼ P ∧ ∼ Q) ∨R
A segunda equivalência foi obtida aplicando a lei de De Morgan. Portanto, uma sentença
logicamente equivalente à sentença original é:
“Não corro e não faço musculação ou fico cansado”.
Alternativa Correta: Letra (c)
28 CAPÍTULO 2. QUESTÕES RESOLVIDAS
Exercício 19 (FGV – 2019 – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – Agente Censitário
Operacional).
Considere a sentença: “Rubens tem mais de 18 anos e sabe dirigir”. A negação lógica
dessa sentença é:
(a) Rubens não tem mais de 18 anos e não sabe dirigir;
(b) Rubens não tem mais de 18 anos ou não sabe dirigir;
(c) Rubens tem mais de 18 anos e não sabe dirigir;
(d) Rubens não tem mais de 18 anos e sabe dirigir;
(e) Rubens tem mais de 18 anos ou sabe dirigir.
Solução.
A sentença dada é uma conjunção da forma P ∧Q, onde:{
P : “Rubens tem mais de 18 anos”
Q : “Rubens sabe dirigir”
A partir da lei de De Morgan, temos que
∼ (P ∧Q) ≡ (∼ P ) ∨ (∼ Q).
Portanto, ao negar a sentença dada, obtemos o seguinte:
“Rubens não tem mais de 18 anos ou não sabe dirigir”.
Alternativa Correta: Letra (b)
29
Exercício 20 (FGV – 2019 – Ministério Público Estadual (RJ) – Analista do Ministério Pú-
blico).
Considere a sentença: “Se não estou cansado, então vejo televisão ou vou ao cinema”. A
negação lógica dessa sentença é:
(a) Se estou cansado, então não vejo televisão e não vou ao cinema;
(b) Se estou cansado, então vejo televisão ou vou ao cinema;
(c) Se não vejo televisão e não vou ao cinema, então estou cansado;
(d) Não estou cansado e não vejo televisão e não vou ao cinema;
(e) Estou cansado ou vejo televisão ou vou ao cinema.
Solução.
A sentença dada é uma condicional da forma P ⇒ (Q ∨R), onde:
P : “Eu não estou cansado”
Q : “Eu vejo televisão”
R : “Eu vou ao cinema”
Sabemos que a negação de uma condicional da forma A ⇒ B é dada por A ∧ (∼ B). Sendo
assim, temos que:
∼ [P ⇒ (Q ∨R)] ≡ P ∧ ∼ (Q ∨R) ≡ P ∧ (∼ Q) ∧ (∼ R)
Portanto, a negação lógica da sentença dada é
“Não estou cansado e não vejo televisão e não vou ao cinema”.
Alternativa Correta: Letra (d)
30 CAPÍTULO 2. QUESTÕES RESOLVIDAS
Exercício 21 (FGV – 2019 – Ministério Público Estadual (RJ) – Analista do Ministério Pú-
blico).
Considere as proposições a seguir.
I. 30% de 120 = 36 e 25% de 140 = 36.
II. 30% de 120 = 36 ou 25% de 140 = 36.
III. Se 25% de 140 = 36, então 30% de 120 = 36.
É correto concluir que:
(a) apenas a proposição I é verdadeira;
(b) apenas a proposição II é verdadeira;
(c) apenas as proposições II e III são verdadeiras;
(d) todas são verdadeiras;
(e) nenhuma é verdadeira.
Solução.
Primeiramente, devemos notar que P : “30% de 120 = 36” é uma sentença verdadeira,
enquanto Q : “25% de 140 = 36” é uma sentença falsa. Logo:
• A primeira proposição é falsa, pois I = P ∧Q;
• A segunda proposição é verdadeira, pois II = P ∨Q;
• A terceira proposição é verdadeira, pois III = Q ⇒ P .
Alternativa Correta: Letra (c)
31
Exercício 22 (FGV – 2019 – Prefeitura de Salvador (BA) – Diversos Cargos).
Considere a afirmativa: “Este mês tem 31 dias e o mês que vem também terá”. A negação
dessa afirmativa é
(a) Este mês tem 30 dias e o mês que vem terá 31.
(b) Este mês não tem 31 dias e o mês que vem também não terá.
(c) Este mês tem 31 dias e o mês que vem não terá.
(d) Este mês tem 30 dias ou o mês que vem também terá.
(e) Este mês não tem 31 dias ou o mês que vem não terá 31 dias.
Solução.
A sentença dada é uma conjunção da forma P ∧Q, onde:{
P : “Este mês tem 31 dias”
Q : “O mês que vem terá 31 dias”
Pela lei de De Morgan, segue que
∼ (P ∧Q) ≡ (∼ P ) ∨ (∼ Q).
Portanto, a negação da afirmação dada é:
“Este mês não tem 31 dias ou o mês que vem não terá 31 dias”.
Alternativa Correta: Letra (e)
32 CAPÍTULO 2. QUESTÕES RESOLVIDAS
Exercício 23 (CESGRANRIO – 2018 – Transpetro – Analista de Sistemas Júnior).
A proposição P ∧ ∼ (Q ∧R) é equivalente a
(a) (P ∧ (∼ Q)) ∧ (P ∧ (∼ R))
(b) (P ∨ (∼ Q)) ∧ (P ∨ (∼ R))
(c) (P ∧ (∼ Q)) ∨ (P ∧ (∼ R))
(d) ((∼ P ) ∨Q) ∧ ((∼ P ) ∨R)
(e) ((∼ P ) ∧Q) ∨ ((∼ P ) ∧R)
Solução.
Da lei de De Morgan, temos o seguinte:
∼ (Q ∧R) ≡ (∼ Q) ∨ (∼ R).
Substituindo na proposição original e usando a distributividade da conjunção, segue que:
P ∧ ∼ (Q ∧R) ≡ P ∧ [(∼ Q) ∨ (∼ R)] ≡ [P ∧ (∼ Q)] ∨ [P ∧ (∼ R)]
Alternativa Correta: Letra (c)
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Exercício 24 (CESGRANRIO – 2018 – Transpetro – Analista de Sistemas Júnior).
Sejam P e Q duas proposições lógicas simples tais que o valor lógico da implicação
(∼ P ) ⇒ (∼ Q) é FALSO. O valor lógico da proposição P ∨ (∼ Q) é igual ao valor lógico da
proposição
(a) (∼ Q) ⇒ P
(b) (∼ Q) ⇒ (∼ P )
(c) (∼ P ) ∨ (∼ Q)
(d) (∼ P ) ∧Q
(e) P ∧Q
Solução.
Para que uma condicional seja falsa, a única opção é que a premissa seja verdadeira e a
conclusão seja falsa. Logo, se a condicional (∼ P ) ⇒ (∼ Q) é falsa, então{
(∼ P ) (Verdadeira)
(∼ Q) (Falsa) ⇒ P︸︷︷︸
F
∨ (∼ Q)︸ ︷︷ ︸
F
(Falsa)
É necessário verificar o valor lógico de cada uma das opções apresentadas. Temos que:
(a) (∼ Q)︸ ︷︷ ︸
F
⇒ P︸︷︷︸
F
(Verdadeira)
(b) (∼ Q)︸ ︷︷ ︸
F
⇒ (∼ P )︸ ︷︷ ︸
V
(Verdadeira)
(c) (∼ P )︸ ︷︷ ︸
V
∨ (∼ Q)︸ ︷︷ ︸
F
(Verdadeira)
(d) (∼ P )︸ ︷︷ ︸
V
∧ Q︸︷︷︸
V
(Verdadeira)
(e) P︸︷︷︸
F
∧ Q︸︷︷︸
V
(Falsa)
Alternativa Correta: Letra (e)
34 CAPÍTULO 2. QUESTÕES RESOLVIDAS
Exercício 25 (CESGRANRIO – 2018 – Transpetro – Analista de Sistemas Júnior).
Considere o seguinte argumento, no qual a conclusão foi omitida:
• Premissa 1: P ⇒ [(∼ R) ∨ (∼ S)]
• Premissa 2: [P ∨ (∼ Q)]∧ [Q∨ (∼ P )]
• Premissa 3: R ∧ S
• Conclusão: XXXXXX
Uma conclusão que torna o argumento acima válido é
(a) ∼ (P ∨Q)
(b) (∼ Q) ∧ P
(c) (∼ P ) ∧Q
(d) P ∧Q
(e) P ∨Q
Solução.
Da Premissa 3, temos que a conjunção R∧S é verdadeira, de onde podemos concluir que
tanto R quanto S são também verdadeiras.
Voltando a nossa atenção para a Premissa 1, primeiramente vamos utilizar a lei de De
Morgan, o que fornece o seguinte:
P ⇒ [(∼ R) ∨ (∼ S)] ≡ P ⇒ ∼ (R ∧ S)︸ ︷︷ ︸
F
Como a condicional P ⇒∼ (R ∧ S) deve ser verdadeira, então a proposição P não pode ser
verdadeira.
Por fim, como a Premissa 2 é uma conjunção e deve ser verdadeira, então cada termo
deve ser verdadeiro. Em particular, a disjunção P ∨ (∼ Q) deve ser verdadeira. Sabendo que
P é falsa, então podemos concluir que a proposição Q é falsa.
Devemos ter uma conclusão verdadeira. Dentre as alternativas apresentadas, a única que
tem valor lógico verdadeiro é
∼ (P ∨Q)
Alternativa Correta: Letra (a)
35
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