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U Sentenças Abertas e Quantificadores ma sentença aberta p(x) é aquela cujo valor lógico depende de uma variável x (ou mais de uma). Por exemplo: • p(x): x + 1 = 7 Para x = 6 é verdadeira, mas para x = 5 é falsa. • p(y): y é um número natural e y > 2 Para y = 5 é verdadeira, mas para y = 1 é falsa. • p(Q): Q é um polígono que possui um ângulo interno de 90º. Se Q é um triângulo retângulo, um quadrado... é verdadeira, mas se Q for um triângulo equilátero, então a sentença é falsa. • p(x,y): x, y ∈ R e x > y Para (x, y) = (2, 1) é verdadeira, mas para (x, y) = (0, 5) é falsa. O conjunto-verdade Vₚ de uma sentença aberta p(x) é o conjunto de todos os elementos/valores/objetos a tais que p(a) é uma proposição verdadeira. Nos exemplos anteriores temos que os conjuntos-verdade são, respectivamente, Vₚ = {6}, Vₚ = {y ∈ N ; y > 2} = {3, 4, 5, 6...}, Vₚ = polígonos que possuem um ângulo interno reto , Vₚ = {(x, y) ∈ R²; x > y} Sendo A o conjunto de todos os possíveis valores/objetos da variável x da sentença aberta p(x), temos três possibilidades: • p(x) é verdadeira para todo x ∈ A. Neste caso Vₚ = A e p(x) é uma propriedade universal no conjunto A. • p(x) é verdadeira somente para alguns x ∈ A. Neste caso Vₚ é um subconjunto próprio de A e p(x) é uma propriedade possível no conjunto A. • p(x) é falsa para todo x ∈ A. Neste caso, Vₚ = Ø e p(x) é uma propriedade impossível no conjunto A. Para atribuir um valor-lógico às sentenças abertas, usamos os quantificadores. O quantificador universal é indicado pelo símbolo e lê- se: “para todo”, ou “qualquer que seja”. Por exemplo: • (∀x ∈ N) (x + 5 = 7) “Para todo número natural x, temos que x + 5 = 7.” Valor-lógico: Falso. • ∀y ∈ R, y² + 1 > 0 “Para todo número real y, temos que y² + 1 > 0.” Valor-lógico: Verdadeiro. • 2z > z, ∀z∈N “O dobro de z é maior do que z, para todo número natural z.” Valor-lógico: Verdadeiro. Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador a torna uma proposição (∀x ∈ A) (p(x)). • Se Vₚ = A, a proposição é verdadeira; • Se Vₚ ≠ A, a proposição é falsa. O quantificador existencial é indicado pelo símbolo ∃! e lê-se: “existe”, ou “existe pelo menos um”. • (∃ x ∈ N) (x + 5 = 7) “Existe um número natural x tal que x + 1 = 7.” Valor-lógico: Verdadeiro. • ∃ y ∈ R; y² + 1 < 0 “Existe um número real y tal que y² + 1 < 0.” Valor-lógico: Falso • ∃ z ∈ Z; 2z < z “Existe um número inteiro z tal que o dobro de z é menor do que z” Valor-lógico: Falso Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador ∃ a torna uma proposição (∃ x ∈ A) (p(x)). • Se Vₚ = Ø, a proposição é verdadeira; • Se Vₚ ≠ Ø, a proposição é falsa. Quando o quantificador existencial é escrito ∃! significa que além da existência, é garantida a unicidade, e lê-se “existe e é único” ou “existe apenas um”. • (∃! x ∈ N) (x + 5 = 7) “Existe um único número natural x tal que x + 1 = 7.” Valor-lógico: Verdadeiro • ∃! y ∈ R; y² + 1 < 0 “Existe um único número real y tal que y² + 1 < 0.” Valor-lógico: Falso • ∃! z ∈ Z; 2z < z “Existe apenas um número inteiro z tal que o dobro de z é menor do que z." Valor-lógico: Falso Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador ∃! a torna uma proposição (∃x! ∈ A) (p(x)). • Se Vₚ = {a} a proposição é verdadeira; • Se Vₚ ≠ {a} , a proposição é falsa. Atividade extra No livro “Iniciação à Lógica Matemática”, de Edgard de Alencar Filho, o autor esmiúça o estudo das sentenças abertas com várias variáveis. A atividade extra desta aula é a leitura do capítulo 14 deste livro. Referência Bibliográfica Iezzi, Gelson Carlos Murakami. Fundamentos de Matemática Elementar, 1: Conjuntos, Funções. 9ª edição. Editora Atual. São Paulo, 2013. Alencar Filho, Edgard de. Iniciação a Lógica Matemática. Editora Nobel. São Paulo, 2002. Ir para questão
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