Exercícios - Matrizes (UVA)

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Lista de Operações Matriciais
Problemas Propostos
1. Determine os valores de x, y, z, t tais que:
x+ y 2z + t
x− y z − t
 =
3 7
1 5

2. Dadas as matrizes
A =
y + 4 2
9 x2 + 4
 e B =
12 2
9 53
,
calcule y e x de modo que A seja igual a B.
3. Considere as matrizes A =
1 −2 3
0 4 5
 e B =
4 6 8
1 −3 −7
. Calcule:
(a) A+B
(b) 3A
(c) 2A− 3B
4. Considere as matrizesA =

2 3 8
−5 9 −6
7 4 −1
, B =

−3 7 1
−4 2 5
0 9 4
 e C =

7 −8 3
4 −3 2
9 −5 1
.
Determine:
1
(a) A+B
(b) C − A
(c) 3A− 2B + 4C
5. Calcule:
(a)
[
8 −4 5
]
3
2
−1

(b)
[
6 −1 7 5
]

4
−9
−3
2

(c)
[
3 8 −2 4
]
5
−1
6

6. Calcule o produto das matrizes:
A(2,4) =
−8 4 −6 1
2 −5 7 3
 e B =

0 4
2 −2
1 −5
3 8

7. Dadas as matrizes A =

2 3
0 1
−1 4
 e B =
 1 2 3
−2 0 4
, calcule:
(a) A.B
2
(b) B.A
8. Calcule o produto AB para as matrizes A e B em cada caso:
(a) A =
1 3
2 −1
 e B =
2 0 4
5 −2 6

(b) A =
1 2
3 4
 e B =
5 6
0 2

9. Considere as matrizes A =
2 5
1 3
 e B =
 3 −5
−1 2
. Calcule os produtos
AB e BA. O que podemos afirmar sobre essas matrizes?
10. Encontre a transposta de cada uma das matrizes a seguir:
(a) A =
1 −2 3
7 8 −9

(b) B =

1 2 3
2 4 5
3 5 6

(c) C =
[
1 −3 5 −7
]
(d) D =

2
−4
6

11. Mostre que as matrizes A =

1 0 2
2 −1 3
4 1 8
 e B =

−11 2 2
−4 0 1
6 −1 −1
 são inversas
entre si.
3
12. Dadas as matrizes
A =
9 5
7 4
 e B =
 4 n
m 9

Calcular m e n para que B seja a inversa de A.
13. Dadas as matrizes
A =

4 −5
3 −7
−2 4
, B =
−4 6 −3
−3 5 8
, C =
4 −3
1 2
 e D =

1 −5 0
0 0 2
1 1 0
.
Calcule:
(a) (AB)T
(b) BTC
(c) (AB)TD
14. Dada a matriz
A =

2 5 9
4 7 1
3 6 2

Mostre que a matriz S = A+ AT é uma matriz simétrica.
4
Gabarito
1. x = 2, y = 1, z = 4, t = −1
2. y = 8 e x = ±7
3. (a)
A+B =
1 + 4 −2 + 6 3 + 8
0 + 1 4 + (−3) 5 + (−7)
 =
5 4 11
1 1 −2

(b)
3A =
3(1) 3(−2) 3(3)
3(0) 3(4) 3(5)
 =
3 −6 9
0 12 15

(c)
2A− 3B =
2 −4 6
0 8 10
−
12 18 24
3 −9 −21

=
−10 −22 −18
−3 17 31

4. (a) A+B =

−1 10 9
−9 11 −1
7 13 3

(b) C − A =

5 −11 −5
9 −12 8
2 −9 0

(c) 3A− 2B + 4C =

40 −37 34
9 11 −20
57 −26 −7

5
5. (a) 11
(b) 22
(c) Esse produto não é definido.
6.
5 2
6 7

7. (a)

−4 4 18
−2 0 4
−9 −2 13

(b)
−1 17
−8 10

8. (a) AB =
17 −6 14
−1 2 −14

(b) AB =
 5 2
15 10

9. AB = BA =
1 0
0 1
. Como os resultados de ambos são a matriz identidade,
as matrizes A e B são inversas entre si.
10. (a) AT =

1 7
−2 8
3 −9

(b) BT =

1 2 3
2 4 5
3 5 6

6
(c) CT =

1
−3
5
−7

(d) DT =
[
2 −4 6
]
11. Uma vez que o produto entre as matrizes tem como resultado a matriz
Identidade, podemos dizer que as matrizes são inversas entre si.
12. m = −7 e n = −5.
13. (a)

−1 9 −4
−1 −17 8
−52 −65 38

(b)

−19 6
29 −8
−4 25

(c)

−5 1 18
7 13 −34
14 298 −130

14. Tendo em vista que S = ST , S é uma matriz simétrica.
7