Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento - Cálculo 1

Prévia do material em texto

Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento, e os postos máximos e mínimos
relativos a função f(t):
𝑓 𝑡( ) = 2𝑡−1𝑡+1
Aplicando a regra do quociente:
𝑓
𝑔( )
'
= 𝑓'𝑔 − 𝑓𝑔'
𝑔2
;𝑓(𝑡) = 2𝑡 − 1 𝑔(𝑡) = (2𝑡 − 1)
1
2
Aplicando a regra da cadeia
g(𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥))
Seja e , então:𝑦 = 𝑔(𝑢) 𝑢=ℎ(𝑥)
𝑦' =𝑔'(𝑢)×𝑢'
𝑓(𝑡) =(2𝑡 − 1)
1
2
𝑓'(𝑡) = 12 × 2𝑡 − 1( )
1
2 −1 × 2
𝑓'(𝑡) = 2𝑡 − 1( )
− 12
𝑑
𝑑𝑡 2𝑡 − 1( ) = 12𝑡−1
𝑔(𝑡) = 𝑡 + 1
𝑑
𝑑𝑡 𝑡 + 1( ) = 1
𝑓
𝑔( )
'
=
1
2𝑡−1
× 𝑡+1( )− 2𝑡−1×1
𝑡+1( )2
Simplificando a equação temos:
𝑓
𝑔( )
'
=
𝑡+1− 2𝑡−1× 2𝑡−1
2𝑡−1
(𝑡+1)2
𝑓
𝑔( )
'
=
𝑡+1−(2𝑡−1)
2𝑡−1
(𝑡+1)2
𝑓
𝑔( )
'
=
−𝑡+2
2𝑡−1
(𝑡+1)2
𝑓
𝑔( )
'
= −𝑡+2
2𝑡−1×(𝑡+1)2
Encontrando os pontos críticos da função:
−𝑡+2
2𝑡−1×(𝑡+1)2
= 0
Igualando o numerador a zero temos:
− 𝑡 + 2 = 0
𝑡 = 2
Determinando se ponto crítico encontrado é ponto de máximo ou mínimo utilizando o critério
da segunda derivada:
Aplicando a regra do quociente:
𝑓
𝑔( )
''
= 𝑓''𝑔' − 𝑓'𝑔''
𝑔'2
𝑓' 𝑡( ) =− 𝑡 + 2
𝑓'' 𝑡( ) =− 1
𝑔' 𝑡( ) = 2𝑡 − 1 × 𝑡 + 1( )2
Aplicando a regra do produto:
𝑓 × 𝑔( )' = 𝑓'𝑔 + 𝑓𝑔'
;𝑓(𝑡) = 2𝑡 − 1 𝑔(𝑡) = (𝑡 + 1)2
𝑓 × 𝑔( )' = 1
2𝑡−1
× 𝑡 + 1( )2 + 2 × 𝑡 + 1( ) × 2𝑡 − 1
desenvolvendo a equação temos:
𝑔'' 𝑡( ) = 5𝑡
2−4𝑡+1
2𝑡−1
𝑓
𝑔( )
''
=
−1( )× 2𝑡−1× 𝑡+1( )2− −𝑡+2( )× 5𝑡
2−4𝑡+1
2𝑡−1
2𝑡−1× 𝑡+1( )2( )
2
Simplificando a equação temos:
𝑑2
𝑑𝑥2
−𝑡+2
2𝑡+1× 𝑡+1( )2( ) = 3× 𝑡2−4𝑡+1( )2𝑡−1( )× 𝑡+1( )3× 2𝑡−1
Determinando o ponto crítico:
𝑓''(2) = 3× 2
2−4×2+1( )
2×2−1( )× 2+1( )3× 2×2−1
= −9
81 3
= −1
9 3
(para . Ponto de Máximo Global).𝑡 = 2; 𝑓 𝑡( ) < 0
De acordo com as condições de existência da função, onde necessariamente e𝑡 ≥ 12
consequentemente , e o ponto crítico da função definido como máximo global (para𝑓 𝑡( ) ≥ 0
). Chegamos nas seguintes conclusões:𝑡 > 2; 2𝑡 − 1 > 𝑡 + 1 𝑒 𝑡 < 2; 2𝑡 − 1 < 𝑡 + 1
A função é decrescente para 𝑥 ϵ ℝ | 2 < 𝑥{ }
A função é crescente para 𝑥 ϵ ℝ | 12 < 𝑥 < 2{ }
Ponto de mínimo global: 12 ; 0⎡⎣ ⎤⎦
Ponto de máximo global: 2; 33⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
Gráfico da função: 𝑓 𝑡( ) = 2𝑡−1𝑡+1( )