GABARITO DA ATIVIDADE AVA2

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GABARITO DA ATIVIDADE AVA2 – CÁLCULO INTEGRAL E DIFERENCIAL I 
 
Integrais triplas 
Nas questões abaixo, vamos exercitar os conceitos aprendidos nesta unidade. 
1ª questão 
Calcular a integral tripla 
∭(y+x²)zdV 
sobre a região de integração definida pelo paralelepípedo 
1≤x≤2,0≤y≤1,−3≤z≤5 
2ª questão 
Calcular a integral 
∭(x2+y2)dV 
em que T é a região de integração interior ao cilindro x²+y²=1 e à 
esfera 4x²+y²+z²=4 (fazer a transformação para o sistema de coordenadas que mais 
simplifica a resolução). 
3ª questão 
Calcular o volume do tetraedro mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você deve seguir uma linha de raciocínio coerente, e suas respostas devem ser dadas com 
clareza. O texto deve seguir as regras da ABNT. Sobre os gráficos, podem ser feitos em 
softwares gratuitos como o WinPlot ou o mecanismo Wolfram Alpha (on-line). 
 
RESOLUÇÕES 
1ª Questão 
Calcular a integral tripla 
∭(y+x²)zdV 
sobre a região de integração definida pelo paralelepípedo 
1≤x≤2, 0≤y≤1,−3≤z≤5 
 
∫∫∫(𝑌 + 𝑋²)𝑍 . 𝐷𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍
2
1
1
0
5
−3
 
 
∫∫∫(𝑌𝑍 + 𝑋2𝑍) . 𝐷𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍
2
1
1
0
5
−3
 
 
∫∫(𝑌𝑋𝑍 +
𝑋³𝑍
3
) |
2
1
𝐷𝑌𝐷𝑍
2
1
5
−3
 
∫∫[(2𝑌𝑍 +
8𝑍
3
)] − [𝑌𝑍 +
𝑍
3
]𝐷𝑌𝐷𝑍
2
1
5
−3
 
 
∫∫[𝑌𝑍 +
7𝑍
3
]𝐷𝑌𝐷𝑍
2
1
5
−3
 
∫(
𝑌2𝑍
2
+
7𝑍𝑌
3
) |
1
0
𝐷𝑍
5
−3
 
∫
𝑍
2
+
7𝑍
3
]𝐷𝑍
5
−3
 
 
∫
3𝑍
6
+
14𝑍
6
]𝐷𝑍
5
−3
∫
17𝑍
6
]𝐷𝑍
5
−3
 
 
17𝑍2
12
|
5
−3
 
17. (5)²
12
−
17. (−3)2
12
 
425
12
−
153
12
 
272
12
 
=
68
3
= 
2ª questão 
Calcular a integral 
∭(x²+y²)dV 
em que T é a região de integração interior ao cilindro x²+y²=1 e à 
esfera x²+y²+z²=4 (fazer a transformação para o sistema de coordenadas que 
mais simplifica a resolução). 
 
A esfera em coordenadas cilíndricas pode ser representada por 𝑧 = √4 − 𝑟² ou 𝑧 = −√4 − 𝑟² 
O Cilindro em coordenadas cilíndricas r² =1 
Daí teremos 
𝐼 = ∬ ∫ 𝑟. (𝑟2)𝑑𝑧𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
√4−𝑟²
−√4−𝑟²
𝑅
 
𝑅 ∶ {
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
0 ≤ 𝑟 ≤ 1
 
 
𝐼 = ∫ ∫ ∫ 𝑟³𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑟
2𝜋
0
√4−𝑟²
−√4−𝑟²
 
1
0
 
𝐼 = 2𝜋∫ ∫ 𝑟³𝑑𝑧𝑑𝑟
√4−𝑟²
−√4−𝑟²
1
0
 
𝐼 = 2𝜋 ∫ 𝑟3. (2.√4 − 𝑟2)𝑑𝑟
𝜋
0
 
 
𝐼 = 4𝜋∫ 𝑟3. (√4 − 𝑟2)𝑑𝑟
𝜋
0
 
Integrando por partes temos: 
U = r³ 
dV = √4 − 𝑟² dr 
 
𝐼 = 4𝜋 [
(4 − 𝑟2)
5
2
5
−
4(4 − 𝑟2)
3
2
3
] |
1
0
 
 
𝐼 = 4𝜋[[
(3)
5
2
5
−
4. (3)
3
2
3
] − [
(4)
5
2
5
− 4.
(4)
3
2
3
] 
 
𝐼 = 4𝜋 [[
9√3
5
−
12√3
3
] + [
64
15
]] 
 
𝐼 = 4𝜋 [[
9√3
5
− 4√3] + [
64
15
]] 
 
 
𝐼 = 4𝜋 [[
−11√3
5
] + [
64
15
]] 
 
𝐼 = 𝜋. (
256
15
−
44√3
5
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª questão 
Segundo o gabarito 1 
Calcular o volume do tetraedro mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
|
−2 1 0
−2 0 3
𝑥 𝑦 − 1 𝑧
| = 0 
 
 
|
−2 1 0
−2 0 3 
𝑥 𝑦 − 1 𝑧
−2 1
−2 0
𝑥 𝑦
| = 0 3x + 6(y − 1) + 2z = 0 ⇒ 𝑧 = −
3𝑥
2
− 3(𝑦 − 1) 
 
2 
1 
𝑦 = −
1
2
𝑥 + 1 
Reta AB Plano ABC 
Vetor AB = B-A = (0;1;0)-(2;0;0)= (-2;1;.0) 
Vetor AC = C-A = (0;0;3)-(2;0;0)= (-2;0;.3) 
Ponto P = (0;1;0) 
Podemos considerar A (2;0;0) ; B(0;1;0) ; C(0;0;3) e D(0;0;0) vértices do tetraedro. 
{
 
 
 
 
0 ≤ 𝑥 ≤ 2
0 ≤ 𝑦 ≤ −
1
2
𝑥 + 1
0 ≤ 𝑧 ≤ −
3𝑥
2
− 3. (𝑦 − 1)
 
 
𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
−
3𝑥
2 −3(𝑦−1)
0
−
1
2𝑥+1
0
2
0
 
 
𝑉 = ∫ ∫ 𝑧 |−
3𝑥
2
− 3. (𝑦 − 1)
0
𝑑𝑦𝑑𝑥
−
1
2𝑥+1
0
2
0
 
 
𝑉 = ∫ ∫ −
3𝑥
2
− 3(𝑦 − 1)𝑑𝑦𝑑𝑥
−
1
2
𝑥+1
0
2
0
 
 
𝑉 = ∫ ∫ (−
3𝑥
2
− 3𝑦 + 3) 𝑑𝑦𝑑𝑥
−
1
2𝑥+1
0
2
0
 
 
𝑉 = ∫(−
3𝑥𝑦
2
−
3𝑦2
2
+ 3𝑦) ⌊−
1
2
𝑥 + 1
0
𝑑𝑥
2
0
 
 
𝑉 = ∫(−3𝑥.
(−
1
2
𝑥 + 1)
2
− 3.
(−
1
2
𝑥 + 1)
2
2
+ 3 . (−
1
2
𝑥 + 1) 𝑑𝑥
2
0
 
 
𝑉 = ∫
(
3𝑥2
2
− 3𝑥)
2
− 3.
(
1
4
𝑥2 − 𝑥 + 1)
2
+ (−
3
2
𝑥 + 3) 𝑑𝑥
2
0
 
 
𝑉 = ∫
3
4
𝑥2 −
3
2
𝑥 − 3 [
1
8
𝑥2 −
1
2
𝑥 +
1
2
] + [−
3
2
𝑥 + 3]𝑑𝑥
2
0
 
 
 𝑉 = ∫
3
4
𝑥2 −
3
2
𝑥 + [−
3
8
𝑥2 +
3
2
𝑥 −
3
2
] + [−
3
2
𝑥 + 3] 𝑑𝑥 
2
0
 
 
𝑉 = ∫
3
4
𝑥2 −
3
2
𝑥 + [−
3
8
𝑥2 +
3
2
𝑥 −
3
2
] + [−
3
2
𝑥 + 3] 𝑑𝑥 
2
0
 
 
𝑉 = ∫ (
3
8
𝑥2 −
3
2
𝑥 +
3
2
) 𝑑𝑥
2
0
 
 
𝑉 =
1
8
𝑥3 −
3
4
𝑥2 +
3
2
𝑥 ⌊
2
0
 
 
𝑉 = 
1
8
(8) −
3
4
(4) +
3
2
(2) 
 
𝑉 = 1 − 3 + 3 
 
𝑉 = 1 𝑢. 𝑣