MATEMÁTICA FINANCEIRA

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MATEMÁTICA
FINANCEIRA
NÚCLEO DE INOVAÇÃO MATEMÁTICA
Roney Andrade
1° BIMESTRE
NÚCLEO DE INOVAÇÃO MATEMÁTICA
Roney Andrade
Simulado: 10 Trabalho Porcentagem: 10
Av. Diagnóstica do Estado: 2
Av. Diagnóstica: 3
PORCENTAGEM
NÚCLEO DE INOVAÇÃO MATEMÁTICA
Roney Andrade
Núcleo de Inovação Matemática
A seguir, veremos algumas questões que têm o intuito
de entender o que vocês já sabem a respeito de
conceitos relacionados com a Matemática
Financeira.
DICA: procure responder todas as questões, caso
sobre tempo, justifique (com suas palavras) o seu
raciocínio.
Avaliação Diagnóstica
5 - Os valores das diárias de 5 hotéis são de: A=R$100,00;
B=R$200,00; C=R$400,00; D=R$650,00 e E=R$650,00.
Relacione a coluna da direita com a esquerda:
 (a) R$2000,00/5 (1) Mediana
 (b) R$650,00 (2) Média
 (c) R$400,00 (3) Moda
6 - O gráfico apresenta a evolução da taxa de mortalidade
infantil.
Assinale V ou F e justifique:
( )De 2000 a 2009, os óbitos diminuíram.
( )De 2009 a 2011, os óbitos aumentaram.
( )Em 2009, houveram 22,5 óbitos a mais que em 2011
( )Em 2009 foram 22,5 óbitos para cada 1 x 10³ de nascidos.
( )Com o passar do tempo, os óbitos diminuíram, ou seja, o
tempo é inversamente proporcional aos óbitos.
( )O tempo é diretamente proporcional aos óbitos.
A seguir, temos os dados relativos aos acessos dos 5 sites mais
populares de sexta-feira e sábado: (justifique sua resposta)
1 - Para o site X, qual o percentual de acessos na sexta-feira?
a) entre 0% e 10% c) entre 10% e 40%
b) entre 40% e 70% d) mais de 70%
2 - "Apesar do site U ter mais acessos, o site X teve um
aumento mais significativo de sexta para sábado." Justifique
com suas palavras se esta afirmação está correta ou errada.
3 - Para um empréstimo de R$1000, com juros simples de 10%
ao mês, quanto deverá ser pago ao final de 2 meses?
4 - Para um empréstimo de R$1000, com juros composto de 10%
ao mês, quanto deverá ser pago ao final de 2 meses?
Núcleo de Inovação Matemática
Durante a correção, tente explicar (com suas
próprias palavras) qual o raciocínio utilizado na
resolução.
Dica: Lembre-se que durante o ano vamos
desenvolver um projeto completo, então anote
também as resoluções.
Correção de Avaliação
A seguir, temos os dados relativos aos acessos dos 5 sites mais populares de sexta-feira e sábado:
(justifique sua resposta)
1 - Para o site X, qual o percentual de acessos na sexta-feira?
 a) entre 0% e 10% c) entre 10% e 40%
 b) entre 40% e 70% d) mais de 70%
2 - "Apesar do site U ter mais acessos, o site X teve um aumento mais significativo de sexta para
sábado." Justifique com suas palavras se esta afirmação está correta ou errada.
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3 - Para um empréstimo de R$1000, com juros simples de 10% ao mês, quanto deverá ser pago ao
final de 2 meses?
4 - Para um empréstimo de R$1000, com juros composto de 10% ao mês, quanto deverá ser pago ao
final de 2 meses?
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5 - Os valores das diárias de 5 hotéis são de: A=R$100,00; B=R$200,00; C=R$400,00; D=R$650,00 e
E=R$650,00. Relacione a coluna da direita com a esquerda:
 (a) R$2000,00/5 (1) Mediana
 (b) R$650,00 (2) Média
 (c) R$400,00 (3) Moda
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6 - O gráfico apresenta a evolução da taxa de mortalidade infantil.
Assinale V ou F e justifique:
( )De 2000 a 2009, os óbitos diminuíram.
( )De 2009 a 2011, os óbitos aumentaram.
( )Em 2009, houveram 22,5 óbitos a mais que em 2011
( )Em 2009 foram 22,5 óbitos para cada 1 x 10³ de nascidos.
( )Com o passar do tempo, os óbitos diminuíram, ou seja, o tempo é inversamente proporcional aos
óbitos.
( )O tempo é diretamente proporcional aos óbitos.
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Núcleo de Inovação Matemática
Onde é narrada a singular aventura dos 35 camelos
que deviam ser repartidos por três árabes. 
Beremiz Samir efetua uma divisão que parecia
impossível, contentando plenamente os três
querelantes. 
O lucro inesperado que obtivemos com a transação.
Divisão dos Camelos
Encontramos, perto de um antigo caravançará. meio abandonado, três homens que
discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos.
Por entre pragas e impropérios gritavam possessos, furiosos:
— Não pode ser!
— Isto é um roubo!
— Não aceito!
O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava:
— Somos irmãos — esclareceu o mais velho — e recebemos, como herança, esses 35
camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo receber a metade , o meu irmão
Hamed Namir uma terça parte e ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte.
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Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos e a cada parti lha proposta segue-
se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio. Como fazer a parti lha se a terça
parte e a nona parte de 35 também não são exatas?
— É muito simples — atalhou o Homem que Calculava. — Encarrego-me de fazer, com justiça,
essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal
que, em boa hora, aqui nos trouxe!
Neste ponto, procurei intervir na questão:
— Não posso consentir em semelhante loucura! Como poderíamos concluir a viagem, se
ficássemos sem o camelo?
— Não te preocupes com o resultado, ó Bagdali! — replicou-me em voz baixa Beremiz.
— Sei muito bem o que estou fazendo.— Vou, meus amigos — disse ele, dirigindo-se aos três
irmãos —, fazer a divisão justa e exata dos camelos que são agora, como veem, em número de
36.
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E, voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:
— Deverias receber, meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. Receberás a metade
de 36 e, portanto, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão!
E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:
— E tu, Hamed Namir, deverias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais receber
um terço de 36, isto é, 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na
transação.
E disse, por fim, ao mais moço:
— E tu, jovem Harim Namir, segundo a vontade de teu pai, deverias receber uma nona
parte de 35, isto é, 3 e tanto. Vais receber uma nona parte de 36, isto é, 4. O teu lucro foi
igualmente notável. Só tens a agradecer-me pelo resultado!
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Recapitulando
Núcleo de Inovação Matemática
Porcentagem é usada para calcular descontos, acréscimo de preços, lucros, etc. É uma
fração em que o denominador é igual a 100. O símbolo para representar uma
porcentagem é % e vem precedido por um número.
Definição
Ao número p associamos a razão p⁄100, ou seja, tomamos p partes de um todo que foi
dividido em 100 partes iguais.
O nome tem origem do latim (per centum) e quer dizer por cento, ou seja, uma razão de
base 100. É frequentemente uti l izado para cálculos de transações comerciais, entre
outros.
Porcentagens
https://matematicabasica.net/razao-e-proporcao/
Podemos reprentar o valor percentual de diferentes maneiras:
Porcentagens
Núcleo de Inovação Matemática
TREINANDO
Digamos que você vai em uma loja
no shopping ou numa loja virtual e
encontre um produto com desconto
de 12,5%. Seu custo inicial era de
R$ 50,00.
Quantos reais de desconto você
ganhou e quanto ficou o valor final
do produto?
Como você deve ter notado, por vezes, o meio mais fácil de resolver problemas que
envolvem porcentagens é uti l izando frações. Sendo assim:
Fração é a forma de dividir algo através da razão de dois números inteiros. Dessa
forma, nada mais é do que uma divisão onde o dividendo é numerador e o divisor é o
denominador.Exemplos:
Porcentagens
https://matematicabasica.net/divisao/
Por outro lado, se entendermos as frações como a operação de divisão, então fica
pergunta:
"Se diferentes divisões chegam a iguais resultados, então existem diferentes frações que
resperentam a mesma quantidade?"
A resposta é sim. Veja alguns exemplos ao lado.
Dessa forma, 2⁄6, 3⁄9, 4⁄12 e 5⁄15 são equivalentes a 1⁄3. 
Isto quer dizer que se reduzirmos as frações encontradas chegaremos a 1⁄3.
Porcentagens
DICA:
Bom, para verificar se duas frações são equivalentes, basta multiplicarmos as duas
frações em cruz ou de forma cruzada:
Como chegamos a uma igualdade, temos que 1⁄3 e 5⁄15 são equivalentes.
Porcentagens
https://matematicabasica.net/fracao/
Um momento! Se 1/3 e 5/15 representam a mesma porção, eu posso usar qualquer uma
das duas duas?
A resposta é "depende".
Apesar de equivalente, não é usual ouvir a expressão "cinco quinze avos da pizza é
minha!"
Sendo assim, é necessário buscar pela maneira mais Reduzida possível de uma fração.
Exemplo:
Considere a fração 20⁄100=20%. Podemos simplificá-la dividindo o numerador e
denominador pelo mesmo valor, esse valor é o máximo divisor comum (MDC):
Porcentagens
Certo, já sabemos l idar com frações iguais, mas como comparar frações diferentes?
Considerem-se as frações: 3⁄5 e 1⁄5
Os denominadores são iguais, então vamos analisar somente os numeradores. Então,
como 3 é maior que 1, assim:
Considerem-se as frações: 5⁄2 e 7⁄3
Estas frações têm denominadores diferentes e não podemos uti l izar o primeiro caso.
Para transformá-las em frações com denominadores iguais, pegamos o denominador de
uma fração e multiplicamos na outra. Veja:
Porcentagens
Núcleo de Inovação Matemática
ATIVIDADE AVALIATIVA
Como tarefa final, você deverá
tentar resolver os exercícios a
seguir.
Esta tarefa representa 10 pontos do
bimestre e será avaliada entre os
dias 09/05 e 13/05.
Util ize o resumo ao lado jutamente
com as aulas anteriores para
facil itar a resolução. Caso as
dúvidas persistam, contate o
representante de sala que
providenciarei um vídeo com dicas.
1. Represente as frações abaixo na forma
percentual. 
a) 7/10. 
b) 1/5. 
c) 3/20. 
2. Calcule: 
a) 30% de 1500. 
b) 12% de 120. 
c) 27% de 900. 
3. Sabendo que 45% de um número
equivalem a 36, determine esse número. 
4. Segundo o censo do IBGE, em 2010, o
Brasil t inha 147,4 milhões de pessoas com
10 anos ou mais que eram alfabetizadas, o
que correspondia a 91% da população
nessa faixa etária. Determine o número de
brasileiros com 10 anos ou mais em 2010. 
5. Uma televisão que custava R$ 900,00
teve um aumento de R$ 50,00. Qual foi o
percentual de aumento? 
6. Um terreno que custava R$ 50.000,00 há
dois anos teve uma valorização de 16,5%
nos últimos 24 meses. Qual o valor atual do
terreno?
2° BIMESTRE
NÚCLEO DE INOVAÇÃO MATEMÁTICA
Roney Andrade
Simulado: 8
Sumulado (correção): 2
Trabalho funções: 6
Extra: 2
OBMEP: 2
Av. Trimestral: 2
Regra de 3: 5
FUNÇÕES E EQUAÇÕES
NÚCLEO DE INOVAÇÃO MATEMÁTICA
Roney Andrade
Núcleo de Inovação Matemática
A letra que representa números desconhecidos ganha
nomes distintos em funções ou equações. Para as funções,
essa letra é chamada de variável, e, nas equações, recebe o
nome de incógnita.
Essa distinção dá-se pela diferença entre os números que
elas representam. Nas equações, as incógnitas representam
números fixos.
Já nas funções, as variáveis podem assumir o valor de
qualquer número, desde que ele esteja dentro do conjunto do
domínio e/ou do contradomínio.
Funções e Equações
Núcleo de Inovação Matemática
Para a primeira atividade em grupo, vocês deverão acessar a
"Atividade Exploratória de Função Afim" que se encontra
dentro da plataforma do GeoGebra.
Os grupos deverão ler, discutir e responder às 6 questões
representando 6 pontos. As respostas serão (caso tenhamos
tempo) expostas aos demais grupos.
Utilize as imagens ao lado para acessar
a atividade ou utilize o QR code:
Remebrando com a ajuda do
GeoGebra
Núcleo de Inovação Matemática
1-No Plano Cartesiano, os pontos são representados por
coordenadas. Inicialmente, o ponto "P" tem as coordenadas
(2,4). Mova o ponto "X" e oberserve as coordenadas dos
pontos X, Y e P. O que acontece com as coordenadas dos 3
pontos ao mover o ponto X?
2-Marque a caixa "Coeficientes". Posicione o coeficiente "a"
igual a 2. Posicione o coeficiente "b" igual a 1. Ao mover o
ponto "X", qual a influência do movimento no ponto "Y"?
3-Marque a caixa "Coeficientes". Posicione o coeficiente "a"
igual a -2. Posicione o coeficiente "b" igual a 1. Ao mover o
ponto "X", qual a influência do movimento no ponto "Y"?
Primeiros passos
Núcleo de Inovação Matemática
4-Marque a caixa "Coeficientes". Altere o parâmetro "a".
Qual a influência desse parâmetro no comportamento do
gráfico?
5-Marque as caixas "Coeficientes" e "Ponto de interseção
com o Eixo Y". Altere o parâmetro"b". Qual a influência desse
parâmetro no comportamento do gráfico?
Desafios
6-Existem diversas aplicações para a funçãoa fim, uma delas
é o cálculo da conta de energia. Sendo assim, escolha uma
conta e relacione cada elemento da função afim com algo da
própria conta (o que é o f(x), a, b, x?).
Em seguida, utilize os valores dessa conta para simular o valor
a pagar para o consumo de 50kWh, 100kWh e 150kWh.
Dicas:
1°)No detalhamento da conta você encontra valores variáveis
(como o quanto você consumiu de energia e o valor da conta)
e os valores fixos (coeficientes). Tente encontrar quais valores
correpondem ao coeficiente "a" e quais correspondem ao
coeficiente "b".
2°)Faça uma simulação com o seu próprio consumo e veja se
sua função f(x)=ax+b resulta em um valor próximo ao da
conta.
Núcleo de Inovação Matemática
Para casa:
Função é uma relação entre dois conjuntos A e B, não vazios, de forma que todo
elemento de A tem um elemento correspondente em B e um elemento de A só possui um
único correspondente no conjunto B.
Definição:
Seja dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos função a correspondência f ou relação
binário entre os conjuntos A e B, nessa ordem, de forma que qualquer elemento x ∈ A
possui um único correspondente y ∈ B, sendo a imagem de x.
Equações e Funções
https://matematicabasica.net/conjuntos/
Outra maneira de descrever essa relação, além da algébrica e pela l ingua falada, é na
forma gráfica.
O gráfico de f: R → R é formado pelo conjunto de todos os pontos (x, y) do plano
cartesiano de forma que y = f(x).
Equações e Funções
https://matematicabasica.net/plano-cartesiano/
Para x = 0: 2(0) – 2 = -2
Para x = 1: 2(1) – 2 = 0
Para x = 2: 2(2) – 2 = 2
Para x = 3: 2(3) – 2 = 4
Para x = 4: 2(4) – 2 = 6
Para x = 5: 2(5) – 2 = 8
Exemplo:
Seja a função f: A → R, tal que f(x) = 2x – 2. Sendo A = [0, 5], represente esta função no
plano cartesiano e desenhe o seu respectivo gráfico.
Resolução:
Para encontrar os pares ordenados (x, y) do plano cartesiano, devemos atribuir os valores
do domínio A que estão no intervalo [0, 5]. Assim:
Equações e Funções
Crescente: uma função é crescente quando para
quaisquer valores x1 e x2 do domínio, sendo x1 < x2,
temos que f(x1) < f(x2).
Podemos classificar as funções de acordo com seu gráfico
em: crescente, decrescente e constante.
Isto quer dizer que se os valores de x aumentam, os valores
de y também aumentam.
Equações e Funções
Decrescente: uma função é decrescente quando para
quaisquer valores x1 e x2 do domínio, sendo x1 < x2,
temos que f(x2) < f(x1).
Podemos classificar as funções de acordo com seu gráfico
em: crescente, decrescente e constante.
Isto quer dizer que se os valores de x aumentam, os valores
de y diminuem.
Equações e Funções
Constante: uma função é constante quando para
quaisquer valores x1 e x2 do domínio, temos que f(x1) =
f(x2).
Podemos classificar as funções de acordo com seu gráfico
em: crescente, decrescente e constante.
Isto que dizer que quando os valores de x aumentam, os
valores de y permanecem iguais.
Equações e Funções
GRÁFICOSE
DIAGRAMAS
ESTATÍSTICOS
NÚCLEO DE INOVAÇÃO MATEMÁTICA
Roney Andrade
Núcleo de Inovação Matemática
A seguir, veremos um programa que mostra de maneira
objetiva que para cada conjunto de informações um
determinado tipo de gráfico pode ser mais adequado.
Existem gráficos mais apropriados para variáveis numéricas,
enquanto outros são melhores para valores qualitativos. 
Assista ao vídeo a seguir. Em seguida, leia a teoria e realize a
atividade com 5 questões, com valor de 5 pontos.
Gráficos e Diagramas
Estatísticos
Gráficos e Diagramas Estatísticos
Gráficos e Diagramas Estatísticos
Um histograma é uma representação gráfica da
distribuição de frequências de uma quantidade de
medidas. No vídeo, dois histogramas são usados
para representar diferentes faixas salariais para
cada sexo (homens e mulheres). Para efeitos de
comparação, os salários são divididos em intervalos
iguais. 
Gráficos e Diagramas Estatísticos
Outro exemplo de gráfico apresentado é gráfico de
linha ou série temporal, usado para representar
evolução de uma variável. Através de uma linha, o
crescimento ou diminuição dessa variável no
decorrer de determinado período pode ser
acompanhado. No caso do vídeo, a variável
analisada é a expectativa de vida, para diferentes
regiões.
Gráficos e Diagramas Estatísticos
Para analisar mais de uma variável qualitativa e a
relação entre elas, o gráfico de barras é mais
adequado, também descrito no programa. As
barras podem aparecer deitadas ou em colunas
verticais. Sejam barras horizontais ou colunas,
quanto maior o comprimento de uma barra, maior o
valor que representa. 
Gráficos e Diagramas Estatísticos
O gráfico em pizza ou de setores é elaborado com
um círculo e repartido conforme as diferentes
categorias. Esse tipo de gráfico é muito bom para
se ter uma noção das proporções dessas categorias
entre si. Por essa razão, ele é mais indicado quando
o número de categorias é pequeno. No vídeo, o
gráfico de pizza possui apenas duas categorias –
homens e mulheres. 
Gráficos e Diagramas Estatísticos
1-Os gráficos ao lado mostram a evolução aproximada, de
julho a julho, do mercado de telefonia celular no Brasil, no
período de 1998 até 2004. 
a. Qual é o total de usuários que, em julho de 2004, utilizam
celulares no plano pós-pago? 
b. Qual é o total de celulares com tecnologia Analógica em
julho de 2004? 
c. Supondo que os porcentuais da divisão do mercado por
plano se aplicam aos celulares com tecnologia TDMA, calcule
o total de usuários desses celulares no plano pós-pago. 
Exercícios:
Gráficos e Diagramas Estatísticos
2-No gráfico abaixo está representado, no eixo das abscissas,
o número de fitas de vídeo alugadas por semana numa
videolocadora, e no eixo das ordenadas a correspondente
freqüência (isto é, a quantidade de pessoas que alugaram o
correspondente número de fitas):
a.Qual a porcentagem de pessoas que alugaram 4 ou mais
fitas? 
b.Se cada fita é alugada por R$4,00, qual a receita semanal
da videolocadora?
Exercícios:
REGRA DE 3
NÚCLEO DE INOVAÇÃO MATEMÁTICA
Roney Andrade
Núcleo de Inovação Matemática
A técnica da regra de três é bem mais antiga do que
você possa imaginar. De acordo com os registros
históricos, acredita-se que ela tenha surgido na
Índia, entre os séculos XIII e V a.C, porém o seu
desenvolvimento só se deu no século V d.C. 
A regra já era conhecida na China, no século I d.C.,
e foi introduzida no mundo árabe por volta do século
VIII. Na Europa da Idade Média era conhecida por
regra de ouro, onde era utilizada para resolver todo
tipo de problema derivado das atividades comerciais. 
Regra de 3
— Qual é, afinal, a origem da dúvida? — perguntou
Beremiz.
— Esse homem (e apontou para o joalheiro) veio da
Síria vender joias em Bagdá; prometeu-me que
pagaria, pela hospedagem, 20 dinares se vendesse as
joias por 100 dinares, pagando 35 se as vendesse por
200.
Ao cabo de vários dias, tendo andado daqui para
ali, acabou vendendo tudo por 140
dinares. Quanto deve pagar, consoante a nossa
combinação, pela hospedagem?
Núcleo de Inovação Matemática
Cálculos:
Beremiz esclareceu o caso do seguinte modo:
— De acordo com a combinação feita, o sírio seria
obrigado a pagar 20 dinares pela hospedagem, se
vendesse as joias por 100, e seria obrigado a pagar 35
se as vendesse por 200.
Temos assim:
Reparem que a diferença de 100, no preço da venda,
corresponde a uma diferença de 15 no preço da
hospedagem! Não é claro?
Núcleo de Inovação Matemática
Cálculos:
A regra de três é uma ferramenta matemática muito uti l izada quando se tem quatro
valores, sendo um deles desconhecido. 
Existem duas formas distintas de regra de três: 
• a simples; 
• a composta. 
A regra de três simples envolve apenas duas grandezas; já a regra de três composta
envolve três ou mais grandezas. Na maioria dos exercíos, basta aplicar várias "regras de
3 simples" para resolver a regra de 3 composta.
Regra de 3
A regra de três simples, na matemática, é uma forma de descobrir um valor a partir de
outros três, divididos em pares relacionados cujos valores têm mesma grandeza e
unidade.
Para realizar os cálculos é necessário se verificar a relação entre os pares de grandezas:
se são diretamente ou inversamente proporcionais.
Retomando a atividade do GeoGebra com Função Afim, basta observar o comportamento
do ponto Y em relação ao movimento do ponto X. 
Regra de 3
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Grandeza
https://pt.wikipedia.org/wiki/Unidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_direta
https://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_inversa
https://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_inversa
Caso o Y aumente quando se aumenta o X, então é
uma proporção diretamente proporcional:
x1----------->y1
x2----------->y2
 
Exemplo 1: Quando uma pessoa fala que seu
veículo faz 13 por 1, ela está querendo dizer que
este veículo percorre 13 km com 1 l itro de
combustível. Em uma viagem de 1600 km, quantos
litros de combustível serão gastos?
Regra de 3
Perceba que as grandezas que estão sendo relacionadas são diferentes entre si. Estamos
relacionando uma medida de comprimento, que é o quilômetro, e uma medida de
capacidade, que é o l itro.
Geralmente, para solucionar questões como essa, uti l izamos a famosa regra de três,
montando o esquema
13 km equivale 1 L
1600 km equivale x L
Resultando em:
Ou seja, serão gastos aproximadamente 123 l itros de combustível para fazer uma viagem
de 1600 km.
Perceba como ao aumentarmos o percurso, a quantidade de combustível também
aumentou. Esse aumento ocorreu de uma forma diretamente proporcional. A recíproca
também é verdadeira: se diminuirmos o percurso, o consumo de combustível também é
menor.
Regra de 3
https://cursoenemgratuito.com.br/medidas-de-comprimento/
https://cursoenemgratuito.com.br/medidas-de-capacidade/
https://cursoenemgratuito.com.br/proporcionalidade-matematica-enem/
1. Responda as perguntas a seguir e verifique se a resposta dada está correta:
a)Em uma sala de aula há 30 alunos, dos quais 40% são meninas. Quantas meninas têm
na sala? R: 12 meninas
b)Convertendo a fração 2/5, qual o resultado em porcentagem? R: 40%
c)25 representa quantos por cento de 200? R: 12,5%
d)Na divisão entre dois irmãos, o mais velho comeu 28 dos 50 doces. Se o irmão mais
novo comer 20% do total de doces, quantos doces sobram? R: nenhum
2.(desafio) No problema dos camelos apresentado em sala, vimos que dos 35 camelos,
não era possível realizar a parti lha da herança de maneira justa. Com 36 camelos (um
deles doado por Beremiz), foi possível dividir a herança de forma que os três irmãos
ficaram satisfeitos e ainda sobraram dois camelos para o Beremiz. Com suas palavras,
explique como foi possível que todos saíssem “no lucro” nessa divisão.
Regra de 3
Lista avaliativa
Caso o Y aumente quando se aumenta o X, então é
uma proporção inversamente proporcional:
x1----------->y1
x2----------->y2
 
Exemplo 2: Qual é avelocidade de um trem que
gasta 2 horas em um percurso, sabendo que
gastaria 6 horas nesse mesmo percurso se
estivesse a 30 km/h?
Regra de 3
Para solucionar esse exemplo você precisa lembrar das regrinhas
util izadas na regra de três.
Então, construímos uma proporção entre a velocidade do automóvel e o
tempo gasto no percurso. essa proporção é:
Por se tratar de grandezas inversamente proporcionais, uti l izamos uma
técnica de resolução onde inverte-se uma das razões da proporção
apresentada acima. Depois, calcula-se normalmente a regra de 3:
Aplicando a propriedade fundamental 
das proporções, teremos:
Regra de 3
3° BIMESTRE
NÚCLEO DE INOVAÇÃO MATEMÁTICA
Roney Andrade
Simulado: 10 Medidas de tendência central: 6
Medidas de Dispersão: 2
Trabalho: Medidas de Dispersão + Distribuição Normal: 5
Av. Trimestral: 2
Extra: ?
Núcleo de Inovação Matemática
Na Estatística estudada nos ensinos fundamental e médio, existem dois tipos de medidas usadas
para a análise das informações: as medidas de tendência central e as medidas de dispersão. As
medidas de tendência central são usadas para representar todos os números de uma lista, como a
média das notas dos alunos que representa todo o desempenho de um ano.
Por outro lado, as medidas de dispersão são aplicadas para determinar o grau de variação dos
números de uma lista com relação à sua média. De certa forma, as medidas de dispersão analisam
a distância dos números de um conjunto até a média desse conjunto. São elas: amplitude, desvio,
variância e desvio padrão.
Ferramentas Estatísticas
MEDIDAS DE
TENDÊNCIA CENTRAL:
MÉDIA, MODA E
MEDIANA.
NÚCLEO DE INOVAÇÃO MATEMÁTICA
Roney Andrade
Núcleo de Inovação Matemática
Média, moda e mediana são as três principais
medidas de tendências centrais estudadas na
estatística. 
Quando há um conjunto de dados numéricos, é
comum buscarmos um número que representa os
dados desse conjunto, por isso utilizamos a média, a
moda e a mediana, valores que auxiliam na
compreensão do comportamento do conjunto e na
tomada de decisões após a análise desses valores.
Medidas de Tendencia
Central
https://www.preparaenem.com/matematica/estatistica.htm
Medidas de Tendencia Central
Moda:
A moda de um determinado conjunto de dados é o resultado que mais aparece no
conjunto, ou seja, o que possui maior frequência absoluta. É importante destacar que em
um conjunto pode haver mais de uma moda. Para calcular a moda, é necessário apenas
analisar qual dado do conjunto mais se repete.
Ex: Em uma loja de calçados femininos, o estoque é reposto mensalmente. Para entender
melhor o consumo de seus clientes, o dono da loja decidiu anotar o tamanho escolhido
pelos 35 primeiros clientes em uma lista:
N = {35, 37, 36, 34, 38, 35, 37, 37, 33, 36, 38, 37,35, 37, 34, 33, 37, 36, 35, 38, 36, 35, 36,
37, 38, 39, 37, 37, 36, 37, 33, 37, 35, 37, 39}
Medidas de Tendencia Central
Mediana:
Dado um conjunto numérico, conhecemos como mediana o valor que ocupa a posição
central dos valores quando organizamos esses dados em ordem. Para encontrar a
mediana, é possível l istar os termos em ordem crescente ou decrescente e encontrar o
termo que ocupa a posição central.
Para isso, podemos distinguir dois casos: quando há uma quantidade ímpar de elementos
no conjunto e quando há uma quantidade par de elementos no conjunto.
Ex: A l ista a seguir contém o peso de alguns funcionários de uma determinada empresa:
{65, 92, 80, 74, 105, 85, 68, 85, 79}
Note que nesse conjunto há 9 elementos, então existe uma quantidade ímpar de valores no
conjunto. Qual é a mediana do conjunto?
Medidas de Tendencia Central
Média:
Entre as medidas centrais, a mais uti l izada é a média. Existem vários tipos de média, mas
as mais comuns são a média aritmética simples e a média aritmética ponderada.
A média aritmética é calculada pela soma de todos os elementos do conjunto dividida
pela quantidade de elementos do conjunto.
Medidas de Tendencia Central
Média:
Entre as medidas centrais, a mais uti l izada é a média. Existem vários tipos de média, mas
as mais comuns são a média aritmética simples e a média aritmética ponderada.
A média ponderada ocorre quando se atribui peso para os valores do conjunto. A
util ização de média ponderada é comum em notas escolares, pois, dependendo do critério
adotado, algumas notas possuem peso maior que as outras, o que causa um impacto maior
na média final.
 p1, p2, ... pn → pesos
 x1, x2, ... xn → valores do conjunto
https://www.preparaenem.com/matematica/media-ponderada.htm
Exercícios:
(Enem 2021) O gerente de uma concessionária
apresentou a seguinte tabela em uma reunião
de dirigentes. Sabe-se que ao final da reunião,
a fim de elaborar metas e planos para o
próximo ano, o administrador avaliará as
vendas com base na mediana do número de
automóveis vendidos no período de janeiro a
dezembro.
Medidas de Tendencia Central
Exercícios:
Responda as perguntas abaixo e verifique se a
resposta está de acordo com os dados:
a) Qual o valor da Média? (resposta: 44,16)
b) Qual o valor da Mediana? (resposta: 42,25)
c) Qual o valor da Moda? (resposta: 35,00)
Medidas de Tendencia Central
Exercícios:
(UNEB 2013) Brasileiros dispostos a pagar
diárias que podem chegar a € 11 mil (R$ 30,69
mil) por uma suíte são a bola da vez no
mercado mundial de hotelaria de luxo.
Medidas de Tendencia Central
Disputada pelos mais requintados hotéis, a clientela do Brasil ocupa a terceira posição do
ranking de reservas do The Leading Hotels of the World (LHW). O selo reúne alguns dos
mais sofisticados estabelecimentos do mundo.
De 2010 para 2011, o faturamento local do LHW cresceu 16,26%.
Exercícios:
No ano passado, o escritório brasileiro bateu o
recorde de US$ 31 milhões (R$ 66,96 milhões)
em reservas.
Medidas de Tendencia Central
a) Qual o valor da Média? (resposta: 239/80 milhoes de dolares)
b) Qual o valor da Mediana? (resposta: 3,996 milhoes de reais)
c) Qual o valor da Moda? (resposta: 1,85 milhao de dolares)
Núcleo de Inovação Matemática
Tanto nas avaliações quanto no dia-a-dia, é
fundamental entender as propriedades da média,
mediana e moda.
Revisão: propriedades da
média, mediana e moda
Seja o seguinte conjunto de observações: 2,0,5,3. A
média desses valores é dada por:x = 2,5 . O desvio
(d) deles em relação à média é dado por:
(1) Soma dos desvios de um conjunto de dados em
relação a média é nula, ou seja:
Média
Medidas de Tendencia Central
Demonstração:
(2) Somando-se ou subtraindo-se uma constante (k)
a todas as observações, a média também fica
somada ou subtraída deste valor, ou seja,
Média
Medidas de Tendencia Central
Demonstração:
(3) Multiplicando ou dividindo todas as observações
por uma constante (k) a média também fica
multiplicada ou dividida por essa constante, ou seja,
Média
Medidas de Tendencia Central
Demonstração:
Medidas de Tendencia Central
Mediana Moda
MEDIDAS DE
DISPERSÃO:
AMPLITUDE,
VARIÂNCIA E 
DESVIO-PADRÃO
NÚCLEO DE INOVAÇÃO MATEMÁTICA
Roney Andrade
A utilização de uma medida de posição para
substituir um conjunto de dados é insuficiente
para sintetizar a informação nele contida, como
pode ser observado a seguir:
Calculando a média, mediana e moda desses três
conjuntos tem-se:
Núcleo de Inovação Matemática
Medidas de Dispersão
Núcleo de Inovação Matemática
Assim, verifica-se que os três conjuntos (A,B,C)
apresentam médias, medianas e modas iguais a 10
unidades, porém observando-os, percebe-se que eles
são bem diferentes entre si, pois enquanto no
conjunto A os dados são todos iguais, os demais
apresentam uma certa variação, sendo que esta
variação é maior no conjunto C. Deste modo, para
sintetizarmos eficientemente a informação de um
conjunto de dados temos que associar à medida de
posição utilizada, uma medida de dispersão, que vai
informar como estesdados se comportam em torno
da medida de posição em questão.
Medidas de Dispersão
Medidas de Dispersão
Amplitude:
A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor observado,
A = MVO -mvo
em que:
MVO é o maior valor observado, e mvo é o menor valor observado.
Para os conjuntos A, B e C tem-se:
Aa=10-10=0
Ab=18-1=17
Ac=24-1=23
Nota-se, então, que a amplitude do conjunto C é bem maior que nos demais. A amplitude
é uma medida fácil de ser calculada e é certamente a maneira mais natural e comumente
util izada para descrever a variabil idade de um conjunto de dados. Porém sua
interpretação depende do número de observações, mas, no seu calculo não são
consideradas todas as observações, pois só uti l iza os valores extremos.
Variância:
Uma boa medida de dispersão deve basear-se em todos os dados, ser facilmente
calculável e compreensível, além de prestar-se bem ao tratamento algébrico. Uma medida
com todas estas características é obtida considerando-se os desvios de cada observação
em relação a média, chamados erros:
Para obter um único número que represente a dispersão dos dados, pensou-se inicialmente
em obter-se a média destes desvios, mas deve-se lembrar que a soma dos desvios de um
conjunto de dados em relação a sua média é nula. Então, optou-se por uti l izar a soma dos
quadrados dos desvios, pois elevando-se cada desvio ao quadrado elimina-se o sinal
negativo, que estava trazendo complicações, e dividindo-se a soma dos quadrados dos
desvios pelo número de observações obtém-se a variância populacional que é uma medida
quantitativa da dispersão de um conjunto de dados entorno da sua média, além do fato,
de esta soma de quadrados de desvios ser mínima.
Medidas de Dispersão
Variância:
Para os exemplos anteriores tem-se:
Medidas de Dispersão
Variância:
Para os exemplos anteriores tem-se:
Medidas de Dispersão
Variância:
População: é o conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característica comum;
Amostra: é um subconjunto finito de uma população.
Observação: Quando estiver trabalhando com amostras, a variância é dada pela soma dos
quadrados dos desvios dividida por n -1 (número de observações menos um) que é
denominado graus de l iberdade. Assim, a variância amostral é dada por:
Medidas de Dispersão
Desvio Padrão:
Um inconveniente da variância é que ela é expressa em unidades ao quadrado, ou seja,
caso esteja-se trabalhando com o peso corporal de indivíduos, tomados em kg, a variância
destes pesos é expresso em kg , o que causa algumas dificuldades de interpretação. 
No intuito de resolver este problema trabalha-se com o desvio padrão que é definido como
a raiz quadrada positiva da variância, o qual é expresso na mesma unidade em que os
dados foram coletados.
Medidas de Dispersão
2
Desvio Padrão:
A variância e o desvio padrão são medidas que só podem assumir valores não negativos
(positivo e igual a zero) e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados, ou seja,
maior será a variabil idade dos dados. Em outras palavras o desvio padrão e a variância
medem a dispersão dos dados em torno da média.
Medidas de Dispersão
Núcleo de Inovação Matemática
Revisão: propriedades da
amplitude, variância e 
desvio-padrão
i.A variância de uma constante é nula.
V(k) = 0, k=constante
ii. A variância de uma soma ou diferença entre variáveis é a soma das variâncias das variáveis se
estas forem independentes.
V(X ±Y) =V(X ) + V (Y) se X e Y forem independentes
iii. Somando-se ou subtraindo-se uma constante (k) a todos dos dados a variância não se altera.
x* = x ± k ⇒V (x*) =V (x)
iv. Multiplicando-se todos os dados por uma constante (k), a variância fica multiplicada por k2.
x* = x × k ⇒V (x* ) = k ×V(x)
Desvio Padrão
2
Medidas de Dispersão
i. Somando-se ou subtraindo-se uma constante (k) a todos dos dados o desvio padrão não se
altera.
x* = x ± k ⇒ s(x*) = s(x)
ii. Multiplicando-se todos os dados por uma constante (k), o desvio padrão fica multiplicado por k.
x* = x × k ⇒ s(x* ) = k × s(x)
Variância
Medidas de Dispersão
DISTRIBUIÇÃO
NORMAL E SUAS
PROPRIEDADES
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Roney Andrade
4° BIMESTRE
NÚCLEO DE INOVAÇÃO MATEMÁTICA
Roney Andrade
Simulado: 8
Sumulado (correção): 2
Trabalho funções: 6
Extra: ?
Regra de 3: 5
JUROS: 
SIMPLES E COMPOSTO
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ACRÉSCIMOS,
DESCONTOS E
APLICAÇÕES
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AMORTIZAÇÕES
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ANÁLISE DE
INVESTIMENTOS
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