Exercicios_de_teorema_fundamental_do_clculo

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Capítulo 5 Integração 3 21 
y 
Área = 2-
12 
y = x3 - x 2 - 2x 
EXEMPLO 8 Determine a área da região entre o eixo x e o gráfico de f(x) = x3 -
x2 - 2x, - 1 < x < 2. 
, 
Area = 
-
8 
3 
8 
3 
2 
Solução Primeiro, determine as raízes de f. Como 
f(x) =x3 - x2 - 2x =x(x2 -x-2) =x(x + l)(x - 2), 
as raízes são x = O, - 1 e 2 (Figura 5.22). As raízes dividem [- 1, 2] em dois subinter-
valos: [- 1, O], em que f > O, e [O, 2], em que f < O. Integramos f ao longo de cada 
subintervalo e adicionamos os valores absolutos das integrais calculadas. 
{ º (x3 - x2 - 2x) dx = [x
4 
- X
3 
- x2]º = O - [l + l_ - 1] = _l__ 1-, 4 3 - 1 4 3 12 
FIGURA 5.22 Região entre a curvay =x3 
- x2 - 2x e o eixo x (Exemplo 8). fo'\x3 - x2 - 2x) dx = [ ~4 - ~ 3 - x 2 J: = [ 4 - ~ - 4] - O = - ~ 
A área total incluída é obtida pela adição dos valores absolutos das integrais calcu-
ladas. 
Exerácios 5.4 
Calculando integrais 
Calcule as integrais nos Exercícios 1-34. 
( º / ''TT/3 
1. J_
2 
(2x + 5) dx 12. }o 4 sec u tg u du 
2.1:(s -~) dx 13. 1;
2 
1 
+ ~os
2
t dt 
3. 12 x(x - 3) dx 
4. 1: (x 2 - 2x + 3) dx 
5. 1• (3x - x:) dx 
6. 1:(x 3 - 2x + 3) dx 
7. fo 1 (x2 + Vx) dx 
r 'TT/3 
9. } 
0 
2 sec2 x dx 
10. l" (1 + cos x) dx 
1
37r/4 
11. cossec O cotg O d(} 
'TT/4 
l 'TT/
3 1 - cos 2t 
14. 
2 
dt 
'TT/3 
15. 1"/4 tg 2 X dx 
16. 1"16 (secx + tgx)2 dx 
( 1rf8 
17. } 
0 
sen 2x dx 
1-1r/4( ) 18. 4 sec2 t + ~ dt 7r / 3 t 
19. 1-I (r + 1)2 dr 
20. ( V3( t + l )(t 2 + 4 )dt 
l-V3 
21. r 1 (u 7 - _1 ) du 
}Vi 2 us 
1
-1 ys _ 2y 
22. 
3 
dy 
3 y 
8 
Área total incluída = 1
5
2 + - -
37 
12 
23. 1\.1'2 s2 + Vs ds s2 
3 
1
8 (x 1/ 3 + 1 )(2 _ x2f3) 
1/ 3 dx 
X 
24. 
25. r 'TT sen 2x d 
J 'TT12 2 sen x 'X 
[ 'TT/3 
26. }o (cosx + secx)2 dx 
27. 1: [x [ dx 
r 'TT 1 
28. }o 2 (cosx + lcosxl) dx 
29. 11" 2 e3x d.x 
30. 120 - e - ' )dx 
31. 11/2 4 ~ dx 
32. X l 
1/v'3 d 
1 + 4x2 
33. ],\ri dx 
34. 1~ ?Tx - 1 dx 
Nos Exercícios 35-38, deduza uma primitiva do integrando. Verifi-
que sua hipótese com derivação e, depois, calcule a integral defini-
da dada. (Dica: tenha em mente a regra da cadeia ao deduzir uma 
primitiva. Você aprenderá como determinar primitivas desse tipo na 
próxima seção.) 
35. 
36. 12 1:x dx 
Derivadas de integrais 
37. 
{
5 xdx 
}2~ 
r 'TT/3 
38. }o sen2 x cos x dx 
Determine as derivadas nos Exercícios 39-44. 
a. calculando a integral e derivando o resultado. 
b. derivando a integral diretamente. 
Paulo Henrique
Nota
Resolver os exercícios de 1 a 63.
3 22 Cálculo 
39. 
d {Vx 
dx} o cos t dt 42. 
d r tgfJ 2 
d() }o sec y dy 
rx3 
:X }o e-, dt 40. d i senx -d 3t2 dt 
X 1 
43. 
r t4 !Jo v'u du d .LVt ( 4 3 ) 44. -d X + .. ~ dx t O V 1 -- X x-2 41. 
Nos Exercícios 45-56, determine dy/dx. 
45. y = i ' Vl+t2 dt 
{ xl 
46. y = l I t dt, X > 0 
41. y = { º sen(t2) dt 
l Vx 
48. y = x 1'' sen(t3) dt 
49. y = 1X (2 df - { X f 2 d( 
1 t 2 + 4 } 3 t 2 + 4 
50. y = (.L' (t 3 + 1) 1º dty 
51. y = r sen x dt lxl < 1T2 lo ~, 
52. y = { º dt 
l tgx l + t 
f e·'2 1 
53. y = lo Vt dt 
54. y = f 1 ~dt 
12-< 
r sen- l X 
55. y = l 
O 
cos t dt 
56. y = 1x'I" sen - I t dt 
# 1 
Area 
Nos Exercícios 57-60, determine a área total entre a região e o eixo x . 
57. y= - x2 - 2x, - 3 <x< 2 
58. y=3x2 - 3, - 2 <x< 2 
59. y=x3 -3x2 +2x, O<x<2 
60. y=x113 -x, - 1 <x< 8 
Determine as áreas das regiões sombreadas nos Exercícios 6 1-64. 
61. 
y 
y = 2 2 ........, ______ _, 
X= 7r 
62. 
y 
1 
y = sen x 
- -#---'--------.......__----'.,.__~ X 
57r 7T 
6 6 
63. 
y 
y = sec fJ tg f) 
7T 7r 
4 4 
-ví 
64. 
/ 
y = sec2 t 
y 
2 
1 
/ 
y = l - t2 
_..___ _____ ____.__-+ I 
7T o 1 
4 
Problemas de valor inicial 
Cada uma das seguintes funções resolve mn dos problemas de valor 
inicial dos Exercícios 65-68. Qual função resolve qual problema? 
Justifique brevemente suas respostas. 
rx 1 
a. y = Ji t dt - 3 
b. y = i x sec t dt + 4 
c. y = 1 x sec t dt + 4 
- 1 
{XI 
d. y = j 11" t dt - 3 
6 dy 1 
5. dx X ' y(1r) = - 3 
67. y' = sec x, y(O) = 4 
1 
68. y ' = X' y( l ) = - 3 
66. y' = sec x, y(- 1) = 4 
Expresse, em termos de integrais, as soluções dos proble1nas de va-
lor inicial nos Exercicios 69 e 70. 
dy 
69. dx = secx, y (2) = 3 
70. dy = \/Í+? y( l ) = -2 
dx ' 
Teoria e exemplos 
71. Fórmula da área para parábolas de Arquimedes Arqui-
medes (287- 212 a.C.), inventor, engenheiro militar, médico 
e o maior matemático da época clássica no mundo ocidental, 
descobriu que a área sob um arco parabólico é dois terços da 
base vezes a altura. Esboce o arco parabólico y = h - ( 4h/b2) 
x2, - b/2 < x < b/2 , supondo que h e b sejam positivos. Em 
seguida, use o cálculo para determinar a área da região com-
preendida entre o arco e o eixo x. 
72. Demonstre que, se k é uma constante positiva, então a área 
entre o eixo x e um arco da curva y = sen kx é 2/ k. 
73. Custo a partir do custo marginal O custo marginal da im-
pressão de mn pôster quando x pôsteres são iinpressos é 
de 1 
dx 2Vx 
dólares. Determine c(lOO) - c(l), o custo da impressão dos 
pôsteres 2-100. 
74. Receita a partir da receita marginal Suponha que a receita 
n1arginal de uma empresa pela fabricação e venda de batedei-
ras seJa 
:: = 2 - 2/ (x + 1 )2 , 
onde ré medido em milhares de dólares ex em milhares de 
unidades. Quanto dinheiro a empresa deve esperar de uma 
produção de x = 3000 batedeiras? Para descobrir, integre are-
ceita marginal de x = O a x = 3.