AVA 2 - Modelagem de sistemas discretos

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Engenharia de Produção 
Avaliação 2 - Trabalho da Disciplina [AVA 2] 
 
 
 
MODELAGEM DE SISTEMAS DISCRETOS 
Cadeias De Markov E Análise De Market Share 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alvaro Silva Dias Menezes 
Matrícula: 20211302573 
Cadeias de Markov e análise de Market Share 
 
Decisões associadas ao planejamento estratégico de uma empresa 
precisam estar fundamentadas em muitas informações, e, entre elas, a pesquisa 
de mercado é de extrema relevância para conhecer melhor os concorrentes e o 
público-alvo. Nesse sentido, sabendo que o mercado é dinâmico, o profissional 
de engenharia precisa fazer bom uso das ferramentas que se apresentam, por 
exemplo, as Cadeias de Markov. 
Os relatórios “Panoramas Setoriais 2030”, produzidos pelo BNDES, 
apresentam prospecções interessantes sobre determinados setores da 
economia brasileira. Em um dos relatórios, em particular, publicado sobre 
bebidas, visualiza-se “um panorama da evolução recente do setor de bebidas 
por meio da análise de dados oficiais de produção, consumo, investimentos e 
balança comercial”, conforme Cervieri Júnior (2017). 
Uma informação importante para a análise das bebidas alcoólicas é o 
market share no ano de 2015 (FLANDERS INVESTMENT & TRADE, 2015 apud 
CERVIERI JÚNIOR, 2017), isto é, o cenário se apresentava com as seguintes 
parcelas: Ambev/Brasil – 67%; Grupo Petrópolis/Brasil – 13%; 
Heineken/Holanda – 10%; Brasil Kirin/Japão – 8%; e outras – 2%. Sabe-se que 
o mercado é dinâmico e que os consumidores podem “deixar de ser fiéis” a uma 
determinada marca dependendo dos investimentos em marketing que a empresa 
possa vir a fazer ou do lançamento de novos produtos. 
Agora, imagine que você faça parte da equipe de uma empresa do ramo 
de bebidas e seu setor analise constantemente as informações de evolução do 
mercado, como o relatório “Panoramas Setoriais 2030 – Bebidas” e outras 
fontes. A partir dos dados de market share do ano de 2020, você observa que, 
dependendo da região do país, os consumidores passaram a migrar entre os 
grupos de empresas apresentados, mas esse movimento tratou-se de uma 
migração atípica. Com base em uma nova pesquisa para analisar essa tendência 
nessa região especificamente, foi elaborada uma matriz de probabilidades de 
transição sinalizando essas possíveis migrações de preferência dos 
consumidores. 
Observe que uma informação importante surgiu nesse ínterim: em 2017, 
a Heineken anunciou a aquisição da Brasil Kirin, o que alterou a proporção do 
market share entre as empresas. Em uma reportagem 
(https://www.istoedinheiro.com.br/a-transformacao-da-cervejaria/ (Links para um 
site externo.)) analisada por sua equipe, foi possível obter dados mais 
atualizados dessa divisão do mercado, conforme figura a seguir. 
 
 
 
Com base nesse contexto, as probabilidades trabalhadas por sua equipe 
foram detalhadas a partir dessas informações e dos seguintes quesitos: 
 
• Coincidentemente, o percentual do market share representa o mesmo 
percentual de fidelidade dos consumidores com essas empresas. 
• Quando os clientes são consumidores de determinadas marcas, eles nunca 
migram para um grupo específico, e isso é recíproco, ou seja, os 
consumidores da Ambev não migram para o Grupo Petrópolis; os da 
Heineken não migram para o grupo outras. 
• O percentual restante sempre segue a proporção em que 2/3 migram para 
as maiores empresas, e o restante, para as menores, mas considerando 
maiores e menores associados à fatia de mercado. 
 
Com intuito de elaborar o relatório final, você deve: 
 
1. Apresentar a matriz e o diagrama de probabilidade de transição. Não se 
esqueça de identificar os estados relacionados a essa cadeia a partir da 
indicação da variável aleatória em análise. Atribua números ou letras aos 
estados. 
2. Classificar os respectivos estados da matriz. Adicionalmente, indique os 
períodos e as classes. 
3. Definir a classificação da cadeia como ergódica ou não. 
4. Adicionalmente, analisar qual será o cenário no longo prazo. Lembre-se de 
apresentar as equações para o cálculo da probabilidade de estado 
estacionário e calcular essas probabilidades. 
 
Resolução 
 
 Inicialmente se faz necessário entender os contornos da atividade. 
Observa-se que o Market Share está coincidentemente ligado ao gráfico (MS de 
2020) apresentado na proposta. Dessa forma, tem-se: 
 
A = Ambev (55%) = 0,55 
H = Heineken (21%) = 0,21 
GP = Grupo Petrópolis (16%) = 0,16 
O = Outras (8%) = 0,08 
 
 Pode-se também extrair da proposta outras informações que também 
serão úteis e farão parte para a montagem da matriz. 
 
“Quando os clientes são consumidores de determinadas marcas, eles nunca 
migram para um grupo específico, e isso é recíproco, ou seja, os consumidores 
da Ambev não migram para o Grupo Petrópolis; os da Heineken não migram 
para o grupo outras.” 
 
“O percentual restante sempre segue a proporção em que 2/3 (ou seja, 67%) 
migram para as maiores empresas, e o restante, para as menores (ou seja, 
33%), mas considerando maiores e menores associados à fatia de mercado.” 
 
 Com essa observação, se torna possível o início do cálculo de 
probabilidades para posteriormente serem inclusos na Matriz. Inicialmente, 
analisando as relações do mercado com a Ambev, tem-se que: 
 A probabilidade de um consumidor permanecer cliente é 0,55, visto que 
esse percentual representa o MS de 2020 para a empresa. Assim, torna-se claro 
que para o mesmo deixar de ser consumidor é de 0,45, sabendo que a soma das 
probabilidades de entrada e saída da organização, sempre precisam ser iguais 
a 1. Nota-se no enunciado que a probabilidade do cliente deixar a Ambev para 
migrar para o Grupo Petrópolis é nula, ou seja, 0 pois não há transição de 
consumidores entre a Ambev e o Grupo Petrópolis. Tem-se também que o 
percentual restante segue a regra de 2/3 e 1/3 baseados nos 0,45 de 
probabilidade do consumir deixar a Ambev. Sendo assim, tem-se que a 
probabilidade de um consumidor migrar para Heineken é de 2/3 de 0,45, e para 
outras marcas 1/3 de 0,45. 
 Analisando de forma análoga, a empresa Grupo Petrópolis possui a 
probabilidade de permanência do consumidor de 0,16, sendo assim, 0,84 para 
saída. De acordo com o proposto, nenhuma possibilidade de ir para Ambev, 2/3 
de 0,84 de migrar para Heineken e 1/03 de 0,84 de migrar para outras marcas. 
 Para a empresa Heineken tem-se 0,21 são fidelizados, porém 0,79 podem 
sair. Sabe-se que mesmo tendo 0,79 de probabilidade de sair, esses 
consumidores nunca migram para outras marcas, somente para a Ambev em 
uma proporção de 2/3 de 0,79 ou para o Grupo Petrópolis seguindo 1/3 de 0,79. 
 Já para as marcas menores, neste caso denominada de Outras, a 
probabilidade do consumidor ficar é de 0,08 e de sair acaba se tornando muito 
alta sendo 0,92. Esses consumidores nunca migram para Ambev ou para o 
Grupo Petrópolis, sendo assim, seguem a proporção de 2/3 e 1/3 de 0,92 
respectivamente. 
 
Estabelecendo a relação de proporção entre as maiores e menores: 
 
P’A (Ambev) 
0,45 * 0,67 = 0,30 
0,45 * 0,33 = 0,15 
P’H (Heineken) 
0,79 * 0,67 = 0,53 
0,79 * 0,33 = 0,26 
 
P’GP (Grupo Petrópolis) 
0,84 * 0,67 = 0,56 
0,84 * 0,33 = 0,28 
 
P’O (Outros) 
0,92 * 0,67 = 0,61 
0,92 * 0,33 = 0,31 
 
 Com as probabilidades já calculadas, expressaremos em forma de matriz 
4x4 as informações obtidas: 
 
P = 
𝐴
𝐺𝑃
𝐻
𝑂
 
(
 
 
𝐴 𝐺𝑃 𝐻 𝑂
0,55 0 0,30 0,15
0 0,16 0,56 0,28
0,53 0,26 0,21 0
0,61 0,31 0 0,08)
 
 
 
 
 Nota-se que há 4 variáveis que se relacionam entre si, gerando 16 
informações possíveis. Logo, a matriz precisa ser 4x4. 
 
Na forma de Grafo, tem se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
Ambev 
O 
Outros H 
Heineken 
GP 
Grupo 
Petrópolis 
0,55 
 
0,08 
 
0,16 
0,21 
0,30 
Todos os estados pertencem a mesma classe, desta forma trata-se de 
uma cadeia irredutível. Nota-se que os estados da matriz são concorrentes e 
para que tenhamos uma cadeia ergódica, se faz necessário que todos os seus 
estadostambém sejam ergódicos, ou seja, sejam recorrentes e aperiódicos. 
Pode-se observar que isso ocorre nessa cadeia. Calculando o estado 
estável através do método matriz ao quadrado, tem-se para o ano seguinte 
(2021): 
 
(
0,55 0 0,30 0,15
0 0,16 0,56 0,28
0,53 0,26 0,21 0
0,61 0,31 0 0,08
)
2
= (
0,55 0,12 0,23 0,095
0,47 0,26 0,21 0,067
0,40 0,096 0,35 0,10
0,38 0,074 0,36 0,18
) 
 
Calculando para 2022, tem-se: 
(
0,55 0 0,30 0,15
0 0,16 0,56 0,28
0,53 0,26 0,21 0
0,61 0,31 0 0,08
)
3
= (
0,48 0,11 0,28 0,13
0,49 0,12 0,26 0,15
0,47 0,15 0,25 0,10
0,46 0,16 0,23 0,093
) 
 
Calculando para 2023, tem-se: 
(
0,55 0 0,30 0,15
0pa 0,16 0,56 0,28
0,53 0,26 0,21 0
0,61 0,31 0 0,08
)
4
= (
0,49 0,13 0,27 0,11
0,49 0,15 0,26 0,11
0,47 0,12 0,29 0,13
0,46 0,12 0,29 0,13
) 
 
Pode-se observar que como os valores se estabilizam, o novo Market 
Share (a longo prazo) passará a ser, justamente: A = 49%; H = 27%; GP = 13%; 
e O = 11%. 
Vale ressaltar que as diferenças percentuais após o terceiro ano (2022) 
demonstram pouca oscilação, ou seja, após 2022 os resultados passam a se 
comportar de forma mais estável. Analisando 2022 tem-se que 
aproximadamente 48% continuarão na Ambev que perderá um pouco de 
mercado pois tinham 55% no ano de 2020. Por sua vez, 12% estarão no Grupo 
Petrópolis que tendem também a perder mercado descendo dos 16% em 2020. 
Já a Heineken chegará com mias força e 25% estarão consumindo da mesma, 
que ganhará força maior no mercado analisado. Por fim, 9% estarão consumindo 
outras marcas onde, antes eram apenas 8%. Neste caso foi analisado apenas 
para o ano de 2022 sendo também possível realizar analogamente para os anos 
subsequentes. 
 
 
Referências 
 
GOLMAKANI, A.; SILVA, A. A.; FREIRE, E. M. S.; BARBOSA, M. K.; 
CARVALHO, P. H. G.; ALVES, V. L. Cadeias de Markov. VII Bienal da Sociedade 
Brasileira de Matemática - Universidade Federal de Alagoas, 2014. Disponível 
em: https://im.ufal.br/evento/bsbm/download/minicurso/cadeias.pdf. Acesso em 
15 de setembro de 2022. 
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução À Pesquisa Operacional. 9 ed. 
Porto Alegre: AMGH, 2013; 
MONTGOMERY, D. C.; RUNNER, G. C. Estatística Aplicada E Probabilidade 
Para Engenheiros. 7 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2021. 
Plataforma UVA, EAD. Conteúdo programático – Unidade 1,2,3 e 4 – 
Orçamentos e Custos - UVA INSTRUCTURE. 
SANCHEZ, C. Market Share: Saiba o que é e como calcular o da sua empresa. 
Geofusion blog, 2020. Disponível em: 
https://www.geofusion.com.br/blog/market-
share/#:~:text=O%20market%20share%20pode%20ser,em%20seu%20mercad
o%20de%20atua%C3%A7%C3%A3o. Acesso em 15 de setembro de 2022;