P1 20221 A1

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Nome: Turma: A1 (Prof. Ralph)
P1 de Métodos Matemáticos I (10/05/2022)
Questão 1 2 3 4 Total
Pontuação
Máximo 18 24 30 28 100
1) Complete a lacuna a seguir, justificando brevemente a sua resposta: "Se f (x) = 1+2 cosx+3 sin 2x+4 cos 3x
e g (x) = 5 cos 2x+ 6 cos 3x+ 7 sin 4x, então 〈f, g〉 =
∫ π
−π f (x) g (x) dx = _________".
2) Considere as funções f1, f2, f3 e f4 abaixo, todas periódicas de período 2, tais que:
f1 (x) =
{
x3, se 0 ≤ x ≤ 1
−x3, se − 1 < x < 0 f2 (x) = x
2, se 0 ≤ x < 2
f3 (x) =
{
3x+ 5, se 0 ≤ x ≤ 1
3x− 5, se − 1 < x < 0 f4 (x) =
{
x, se 0 ≤ x ≤ 1
−x+ 1, se 1 < x < 2
e suas séries de Fourier correspondentes.
a) Quais das séries terão apenas senos? Brevemente, por quê?
b) Quais das séries terão apenas cossenos? Brevemente, por quê?
c) Quais das séries terão apenas os termos de ordem ímpar? Brevemente, por quê?
3) Considere a função f (x), periódica de período 2 tal que
f (x) =
{
sin (πx) , se − 12 ≤ x ≤
1
2
0, se 12 < x <
3
2
Sua série de Fourier é
S (x) =
1
2
sin (πx)− 4
π
∞∑
k=1
(−1)k k
4k2 − 1 sin (2kπx)
[10] a) Esboce o gráfico da função S (x) no intervalo [−2, 2], destacando seus pontos notáveis.
[20] c) Encontre a série de Fourier da função g (x), periódica de período 2 tal que
g (x) =
{
cos (πx) , se − 12 ≤ x ≤
1
2
0, se 12 < x <
3
2
4) [16] a) Encontre a série de Fourier complexa de f (x) = cos4 x.
[12] b) Sem fazer integração alguma, calcule I =
∫ π
0 cos
8 x dx.
Boa Sorte!
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