Lista_4_EstruturasAlgebricas (1)

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Ana Paula Rodrigues Pereira Silva

28/09/2022

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Álgebra Comutativa

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UNINTER - Centro Universitário Internacional
Escola Superior de Educação
Curso de Licenciatura em Matemática
Professor Marcos Teixeira Alves
Lista 2 de Exerćıcios - Estruturas Algébricas
Exerćıcio 1. Quando um anel (A,+, ·) é chamado domı́nio de integridade? Os anéis numéricos
(Z,+, ·), (Q,+, ·) e (R,+, ·) com as operações usuais de adição + e multiplicação · são domı́nios
de integridade? Justifique sua resposta.
Exerćıcio 2. Na Lista 1, mostramos que (Z, ∗,4) é um anel, onde as operações ∗ e 4 são
definidas por
a ∗ b = a + b e a4b = 0 para todos a, b ∈ Z.
Este anel possui divisores de zero? Justifique sua reposta.
Exerćıcio 3. O anel das matrizes M2(R) possui divisores de zero? Justifique sua resposta.
Exerćıcio 4. Verifique se o anel das funções F(R,R) é um domı́nio de integridade.
Exerćıcio 5. Na Lista 1, mostramos que (Q, ∗,4) é um anel, onde as operações ∗ e 4 são
definidas por
a ∗ b = a + b− 1 e a4b = a + b− ab.
Mostre agora que (Q, ∗,4) é um domı́nio de integridade.
Exerćıcio 6. Seja A = {e, a} um conjunto com dois elementos com as operações + e · definidas
pelas tabelas abaixo:
+ e a
e e a
a a e
· e a
e e e
a e a
Já sabemos que (A,+, ·) é um anel (Lista 1). Verifique agora que (A,+, ·) é um domı́nio de
integridade.
Exerćıcio 7. Considere o anel (R, ∗,4), em que a ∗ b = a + b − 3 e a4b = a + b − ab
3
para
todos a, b ∈ R. Mostre que (R, ∗,4) é um domı́nio de integridade.
Exerćıcio 8. Quando um anel (K,+, ·) é chamado corpo? Os anéis numéricos (Z,+, ·), (Q,+, ·)
e (R,+, ·) possuem a estrutura de corpo? Justifique sua resposta.
Exerćıcio 9. Sabemos que se o anel K é corpo, então K é um domı́nio de integridade. Com
base nesse fato, mostre que os anéis M2(R) e F(R,R) não possuem a estrutura de corpo.
Exerćıcio 10. O anel apresentado no Exerćıcio 5 é corpo? Justifique sua resposta.
Exerćıcio 11. O anel apresentado no Exerćıcio 6 é corpo? Justifique sua resposta.
Exerćıcio 12. Mostre que anel apresentado no Exerćıcio 7 é corpo.
1
Exerćıcio 13. Considere o produto cartesiano R2 = R × R = {(a, b); a, b ∈ R}. Neste
conjunto, defina as operações:
(a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b)4(c, d) = (ac− bd, ad + bc).
Prove que (R× R, ∗,4) é um anel comutativo com unidade.
Exerćıcio 14. O anel do Exerćıcio 13 é corpo? Justifique sua resposta.
Exerćıcio 15. Seja A um anel que possui um elemento x tal que x2 = x e x não é divisor de
zero. Verifique que A tem unidade e 1A = x.
Bons estudos
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