LOGARITMOS_E_TRIGONOMETRIA

Prévia do material em texto

QUESTÕES DE FIXAÇÃO 
 
Questão 1 
Uma máquina foi comprada por uma empresa pelo valor de R$ 20.000,00. O setor 
contábil da empresa verificou que a depreciação dessa máquina é da ordem de 10% 
ao ano. Assim, a função exponencial que representa o valor da máquina em milhares 
de reais em função do tempo T em anos é dada por: 
TV 20 0,9 
 
Com o intuito de realizar um planejamento, a empresa decide reescrever a função 
TV 20 0,9 
 de forma que o tempo T esteja em função do valor da máquina, pois 
assim a empresa poderá estimar o tempo necessário para que máquina atinja 
determinado valor. A nova formulação é dada por: 
0,9
V
T Log
20
 
  
 
 
Foram apresentados aos gestores dessa empresa cinco gráficos para descrever essa 
nova formulação, em que o tempo de depreciação T está em função do valor da 
máquina V. Entretanto, apenas um desses gráficos foi montado corretamente. Os 
gráficos apresentados foram: 
 
 
 
 
 
 
O gráfico que pode indicar o comportamento da função 
0,9
V
T Log
20
 
  
 
, com tempo 
de depreciação em função do valor da máquina é: 
a) Gráfico I. 
b) Gráfico II. 
c) Gráfico III. 
d) Gráfico IV. 
e) Gráfico V. 
 
Questão 2 
Um pesquisador chegou à conclusão de que a concentração Q de oxigênio em mg/l 
(miligramas por litro de oxigênio dissolvido) em uma amostra de água de um rio 
contaminado por rejeitos de uma mineradora é dada pela fórmula: 
xQ 4,5 0,95 
 
Em que x representa o tempo em horas. Para determinar quanto tempo resta para que 
a concentração de oxigênio atinja o nível crítico de 2,25 mg/l, o pesquisador precisa 
encontrar a solução da seguinte equação: 
x2,25 4,5 0,95 
 
Que pode ser simplificada da seguinte forma: 
 
x x2,25 0,95 0,5 0,95
4,5
  
 
Para a determinação da solução da equação, o pesquisador irá utilizar uma 
calculadora que tem disponível apenas o cálculo do logaritmo na base dez. 
Assim, a solução de 
x0,5 0,95
 representada através do logaritmo na base dez é: 
a) 
Log 0,5
Log x
 
b) 
Log 0,95
Log x
 
c) 
Log 0,95
Log 0,5
 
d) 
Log 0,5
Log 0,95
 
e) 
Log x
Log 0,5
 
 
Questão 3 
A função D(x) a seguir fornece uma aproximação para a duração do dia em horas em 
uma determinada cidade do Brasil (entende-se como duração do dia a diferença em 
horas entre o horário do pôr do sol e o horário do nascer do sol): 
π
D(x) 12 1,6 cos (x 10)
180
 
     
 
 
em que x representa o dia do ano variando de 1 até 365. Assim, x = 1 representa 1º de 
janeiro e x = 365 representa o dia 31 de dezembro. Considere essa função apenas para 
anos que não são bissextos. 
A duração do dia 19/02/2015, ou seja, o tempo em horas em que o sol ficou 
“aparente” é: 
a) 14 horas. 
b) 13,4 horas. 
c) 12,8 horas. 
 
d) 12 horas. 
e) 11,4 horas. 
 
Questão 4 
Pedro está construindo mais um cômodo na parte superior de sua casa. Para 
transportar o material de construção, ele precisa dimensionar uma rampa de madeira 
(uma tábua) de modo a subir a uma altura de 3,2 metros, com uma inclinação de 53º 
com a horizontal. A figura a seguir ilustra a situação: 
 
Fonte: elaborado pelo autor 
Sabe-se que para aproximação 
sen(53º) 0,8
, 
cos(53º) 0,6
 e 
tg(53º) 1,33
 
O comprimento mínimo da tábua a ser colocada como rampa é: 
a) 8 m. 
b) 7 m. 
c) 6 m. 
d) 5 m. 
e) 4 m. 
 
Questão 5 
Uma pessoa no ponto A vê um prédio, construído em um terreno plano, sob um ângulo 
de 60°. Afastando-se mais 20 metros do prédio, até o ponto B, ela passará a vê-lo sob 
 
um ângulo de 45°. A figura a seguir ilustra os dois ângulos em que a pessoa visualiza o 
prédio. 
 
Fonte: elaborado pelo autor 
Por simplificação, desconsidere altura da pessoa e adote 
3 1,732
. 
A altura aproximada do prédio é: 
a) 47,32 m. 
b) 51,48 m. 
c) 55,75 m. 
d) 60,14 m. 
e) 66,22 m. 
 
Questão 6 
A fórmula que descreve o número de bactérias E. coli em uma amostra coletada por 
um cientista é dada por: 
xN 2
 
Em que N representa a quantidade de bactérias após x períodos de 20 minutos. O 
cientista precisa determinar o tempo transcorrido para que amostra contenha 5.000 
bactérias, ou seja, necessita resolver a seguinte equação: 
x5000 2
 
A solução da equação representada por meio do logaritmo é: 
 
a) 
2Log x
 
b) 
5000Log x
 
c) 
2Log 5000
 
d) 
20Log 2
 
e) 
5000Log 2
 
 
Questão 7 
A temperatura T, em graus Celsius (ºC), de uma câmara de armazenamento de 
produtos perecíveis, durante um dia completo, das 0 horas às 24 horas, é dada 
aproximadamente pela função: 
π
T(x) 15 8 sen x
12
 
     
 
, 
0 x 24 
 
Em que x é dado em horas. Nesse problema, por simplificação, adote 
3 1,7.
 
A temperatura da câmara às 4 horas é: 
a) -7,4 °C. 
b) -8,2 °C. 
c) -9,5 ºC. 
d) -10,2 ºC. 
e) -12,4 ºC. 
 
Questão 8 
Um oceanógrafo, através de várias análises, constatou que em determinada época do 
ano, em certa cidade litorânea, a altura da água do mar (pelo efeito da maré) em uma 
faixa litorânea da cidade é dada pela função 
π
h(x) 3 2 cos x
5
 
    
 
 
 
em que x representa o número de horas decorridas a partir da zero hora de 
determinado dia e h(x) é dado em metros. 
O tempo em horas para a maré completar um ciclo nessa faixa litorânea, ou seja, o 
período da função h(x) é: 
a) 24 horas. 
b) 20 horas. 
c) 15 horas. 
d) 10 horas. 
e) 5 horas. 
 
Questão 9 
A temperatura T, em graus Celsius (ºC), de um sistema de refrigeração industrial 
durante um dia completo, da 0 hora às 24 horas, é dada aproximadamente pela 
formulação: 
π
T(x) 3 4 cos x
12
 
     
 
, 
0 x 24 
 
em que x é dado em horas. 
A temperatura às 16 horas é: 
a) 1 °C. 
b) -1 °C. 
c) -2 ºC. 
d) -5 ºC. 
e) -7 ºC. 
 
Questão 10 
Um tanque de armazenamento de um produto químico utilizado como matéria-prima 
em uma empresa tem o volume representado por uma função trigonométrica (seno 
ou cosseno). Assim, o ciclo do volume do tanque é composto por redução e 
 
preenchimento. O gráfico a seguir mostra o volume do tanque em milhares de litros 
variando em função do número de horas t. 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Considere que t = 0 representa o início do ciclo do volume do tanque, de forma que 
nesse instante o volume é máximo. 
 
Questão 11 
A fórmula fornece o 
0,4xP(x) 50000 2 
 número de habitantes em uma cidade em 
função do tempo x em anos. O instante x = 0 representa o ano de início do estudo, de 
forma que o número de habitantes nesse instante (x = 0) é dado por: 
 
0,4x 0P(0) 50000 2 50000 2 50000 1 50000      
 
 
Ou seja, 50.000 habitantes. 
Dado que 
Log2 0,3
, o tempo em anos para que cidade tenha 250.000 habitantes é: 
a) 70 
b) 
70
2
 
 
c) 
70
1,2
 
d) 
7
12
 
e) 
70
12
 
 
Questão 12 
Patrícia é aluna do segundo ano e uma das tarefas passadas pela sua professora para 
serem feitas durante o período do recesso era construir os gráficos das principais 
funções trigonométricas. Patrícia executou muito bem a tarefa que lhe foi proposta, 
com exceção de um dos gráficos. Ela se equivocou na hora de construir o gráfico da 
função 
y sen(x)
, e construiu o gráfico representado na figura a seguir. 
 
Após analisar os gráficos que Patrícia havia construído, sua professora identificou que 
ao invés da aluna construir o gráfico da função 
y sen(x)
,como foi pedido, ela 
construiu o gráfico da função: 
A) 
y 2sen(x)
 
B) 
y 3sen(x)
 
C) 
x
y sen
2
 
  
 
 
D) 
x
y sen
3
 
  
 
 
E) 
 y sen 2x
 
 
 
Questão 13 
Um mecânico precisa determinar o comprimento da corrente que está em contato 
com a coroa. Ele sabe que o ângulo do arco que está em contato é de 144° e o raio da 
coroa mede 5 cm. 
 
Fonte: Adaptado de <https://pixabay.com/pt/photos/download/bicycle-chain-
161241_1280.png>. 
Acesso em: 22 jun. 2017. 
 
Para simplificação dos cálculos, adote 
π 3,14.
 
O comprimento de um arco de circunferência de 144°, cujo raio é 5 cm é: 
a) 6,25 cm. 
b) 9,75 cm. 
c) 10,42 cm. 
d) 12,56 cm. 
e) 15,45 cm. 
 
Questão 14 
O teodolito é um instrumento de precisão utilizado para medir ângulos horizontais e 
verticais. 
 
 
 
 
Fonte: <https://pixabay.com/pt/photos/download/surveyor-24498_1280.png>. 
Acesso: 27 jun. 2017. 
Esse equipamento é muito utilizado por agrimensores, engenheiros e arquitetos. 
 
É através desse equipamento que uma pessoa pode determinar a altura de um objeto 
quando não é possível medi-lo como, por exemplo, uma encosta. 
Para ilustrar essa situação, considere que um alpinista deseja determinar a altura de 
uma encosta que ele vai escalar. Para isso, ele afasta-se horizontalmente 20 metros 
do pé da encosta e visualiza o topo (utilizando o teodolito) sob um ângulo 69º. 
Sabe-se que para aproximação: 
sen(69º) 0,93
, 
cos(69º) 0,36
 e 
tg(69º) 2,61
. 
A altura aproximada da encosta é: 
a) 52,2 m. 
b) 55,5 m. 
c) 61,2 m. 
d) 73,4 m. 
e) 80,1 m. 
 
 
 
 
Questão 15 
A aquicultura é uma ciência que se ocupa do tratamento do ambiente aquático para a 
criação de peixes, mariscos e outros animais. Assim, um profissional da área de 
aquicultura deve, por exemplo, monitorar o processo de aeração (oxigenação da água) 
para que os animais possam sobreviver de forma saudável. Em uma situação de 
aeração de um tanque de peixes, a fórmula que fornece o nível de concentração de 
oxigênio é dada por: 
x
0Q Q 1,23 
 
Em que Q representa a concentração de oxigênio em mg/l após x horas do início do 
processo de aeração, e Q0 representa a concentração de oxigênio no início da aeração. 
Sabe-se que nesse tanque a máquina para aeração é acionada quando a concentração 
de oxigênio atinge o nível de 3 mg/l, e é desligada quando o nível atinge 12 mg/l. 
Sabendo que 
Log4 0,6
 e 
Log 1,23 0,09
, então o período de funcionamento em 
horas da máquina de aeração durante um ciclo (ou seja, acionando quando a 
concentração é de 3 mg/l e desligando quando a concentração é de 12 mg/l) é de 
aproximadamente: 
a) 6,7 horas. 
b) 7,7 horas. 
c) 8,7 horas. 
d) 9,7 horas. 
e) 10,7 horas. 
 
Questão 16 
Um cientista, após estudos sobre o comportamento de um determinado tipo de 
partícula, chegou a uma importante fórmula sobre a distância percorrida por essa 
partícula no espaço. 
3
4
1
S Log x Log 2
x
 
   
 
 
 
A fórmula está em função da variável x, que no contexto do cientista representa a 
velocidade da partícula. 
A fórmula simplificada da distância percorrida pela partícula é: 
a) 
7S Log (x 100) 
 
b) 
-1S Log (100 x ) 
 
c) 
S Log7x 2 
 
d) 
-1S Logx 2 
 
e) 
S Logx 2 
 
 
Questão 17 
Um engenheiro mecânico precisa determinar o resultado de tg(37º), porém ele não 
tem à disposição nenhum equipamento eletrônico ou tabela para realizar esse cálculo. 
A única informação conhecida é que sec(37º) =1,25. 
A partir das relações fundamentais da trigonometria, tg(37º) é: 
a) 1,33. 
b) 0,80. 
c) 0,75. 
d) 0,60. 
e) 0,55. 
 
Questão 18 
Um garoto vai saltar de uma rampa que tem uma inclinação de 30º e comprimento de 
base igual a 2,6 m, conforme figura a seguir. 
 
 
Fonte: <https://pixabay.com/pt/photos/download/boarder-151135_1280.png>. 
Acesso em: 27 jun. 2017. 
Para saltar em segurança, ele precisa saber a altura x da rampa. Assim, as informações 
que ele tem disponíveis para esse cálculo são: 
1
sen(30º)
2

, 
o 3cos(30 )
2

 e 
o 3tg(30 )
3

. 
Adotando 
3 1,732
, a altura aproximada da rampa, em metros, é: 
a) 1,6 m. 
b) 1,5 m. 
c) 1,4 m. 
d) 1,3 m. 
e) 1,2 m. 
 
Questão 19 
Um físico, após vários cálculos, chegou à conclusão de que a quantidade de energia, 
em Joules, que uma partícula gasta para descrever um determinado movimento é 
2a m v
E
4
 

 
em que m representa a massa em quilogramas, v a velocidade em m/s, e a é a 
constante a ser determinada, que corresponde a: 
 
 
cos(210º) sen(300º)
a
sen(120º)

 
 
O valor da constante a é: 
a) 6. 
b) 5. 
c) 4. 
d) 3. 
e) 2. 
 
Questão 20 
Na física, o trabalho é a quantidade de energia necessária para que o corpo se 
desloque a uma determinada distância a partir de uma dada força. O trabalho 

dado 
em joules tem a seguinte fórmula: 
F d cos(θ)   
 
Em que F é a força, que é dada em Newton, d é o deslocamento, em metros, do corpo 
e 
θ
 é o ângulo formado pela força e o deslocamento. A figura ilustra o trabalho 
realizado por uma força F para o deslocamento de um bloco do ponto A ao ponto B. 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Observe que se 
cos(θ)
 pode ser um valor negativo, daí o trabalho também é um valor 
negativo. 
Considerando F = 40 N, d = 20 m e 
oθ 135
, o trabalho 

 é: 
a) 
400 3 J.
 
b) 
400 2 J.
 
 
c) 
800 3 J.
 
d) 
800 2 J.
 
e) 
400 2 J.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTA COMENTADA 
 
Questão 1 
Resposta correta: 
Alternativa E. 
Resolução comentada 
Primeiramente, observe que a função por meio da qual se deseja determinar o gráfico 
é 
0,9
V
T Log
20
 
  
 
. Isso significa que o gráfico deverá ser decrescente, já que a base é 
b = 0,9 (menor que 1). Assim, os gráficos I e II podem ser eliminados. 
Além disso, quando V = 18 o tempo correspondente à depreciação é: 
0,9 0,9 0,9
V 18
T Log T Log T Log 0,9 1
20 20
   
        
   
 
Então, é formada a coordenada (18,1). Assim, o gráfico IV também pode ser eliminado, 
já que a curva neste gráfico passa pela coordenada (18, 1,2). 
Por fim, quando V = 20 o tempo correspondente à depreciação é: 
0,9 0,9 0,9
V 20
T Log T Log T Log 1 0
20 20
   
        
   
 
Então, é formada a coordenada (20,0). Assim, o gráfico III também pode ser eliminado, 
haja vista que a curva neste gráfico não passa por essa coordenada. 
Portanto, o gráfico V pode indicar o comportamento da função 
0,9
V
T Log
20
 
  
 
. 
 
Questão 2 
Resposta correta: 
Alternativa D. 
 
Resolução comentada 
Pela definição de logaritmo tem-se 
x
bLog a x a b  
. Então, 
0,5 0,95x
, com a = 
0,5 e b= 0,95, é representado por 
0,95Log 0,5.
 
A fórmula para mudança de base é dada por 
c
b
c
Log a
Log a
Log b

. Então, como c = 10 (a 
base desejada é dez), tem-se: 

 100,95
10
Pode se
suprimir a
a base 10
Log 0,5 Log 0,5
Log 0,5
Log 0,95 Log 0,95
 
Portanto, a solução da equação 
x0,5 0,95
 representada através do logaritmo na 
base dez é 
Log 0,5
Log 0,95
. 
 
Questão 3 
Resposta correta: 
Alternativa C. 
Resolução comentada 
Primeiramente, é preciso determinar o valor x correspondentea 19/02/2015. Para 
isso, perceba que o mês de janeiro possui 31 dias, assim 19/02/2015 corresponde a x 
=31 +19 =50, ou seja, quinquagésimo dia do ano. Substituindo x = 50, tem-se: 
π π
D(50) 12 1,6 cos (50 10) D(50) 12 1,6 cos 60
180 180
   
             
   
 
Simplifica ndo o argumento da função seno60 πD(50) 12 1,6 cos π D(50) 12 1,6 cos
180 3
   
           
   
 
Como 
π
3
 corresponde a 60º, então 
π 1
cos 0,5
3 2
 
  
 
. Daí: 
 
 
π
D(50) 12 1,6 cos D(50) 12 1,6 0,5
3
 
        
 
 
D(50) 12 0,8 12,8 horas  
 
Portanto, a duração do dia 19/02/2015 a partir da função D(X) é de 12,8 horas. 
 
Questão 4 
Resposta correta: 
Alternativa E 
Resolução comentada 
Nesse caso, como são conhecidos o cateto oposto 3,2 m (altura da casa) e deseja-se 
determinar o comprimento x da hipotenusa (rampa), pode-se utilizar a relação 
trigonométrica seno, já que esta envolve essas duas medidas. Então: 
C.O 3,2
sen(53º) sen(53º)
Hip x
   
 
3,2 3,2
0,8 x x 4 m
x 0,8
    
 
Portanto, o comprimento mínimo de tábua a ser utilizada como rampa é 4 metros. 
 
Questão 5 
Resposta correta: 
Alternativa A. 
Resolução comentada 
Inicialmente, para resolver esse problema considere apenas o triângulo retângulo 
formado pelo ângulo de 45º, tomando-se a medida do cateto adjacente pela 
incógnita y. 
 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Pode-se escrever o cateto oposto (representado por x) em função do cateto adjacente 
utilizando a relação trigonométrica tangente, já que esta envolve os dois catetos, 
assim: 
tg(45º) 1
C.O x
tg(45º) tg(45º)
C.A y

   
 
x
1 y x
y
   
 
Confirmando então que as duas medidas x e y são iguais. Repare que o cálculo anterior 
poderia ser evitado percebendo que o triângulo retângulo com ângulo agudo igual a 
45º trata-se de um triângulo isósceles, ou seja, os dois catetos têm medidas 
congruentes. 
Como a medida x = y, pode-se escrever a distância do ponto A até a base do prédio 
como 
x – 20. Assim, considerando-se apenas o triângulo retângulo formado pelo ângulo de 
60º, tem-se: 
 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor 
Observe que no triângulo retângulo com ângulo de 60º o cateto adjacente tem 
medida igual a x – 20 e o cateto oposto, medida igual a x. Assim, utilizando a relação 
trigonométrica tangente, tem-se: 
tg(60º) 3
C.O x
tg(60º) tg(60º)
C.A x 20

   

 
x
3
x 20
 

 
Utilizando a aproximação 
3 1,732
 
x
1,732 1,732 (x 20) x
x-20
 
      
1,732x 34,64 x 1,732x x 34,64    
 
 
34,64
0,732x 34,64 x 47,32 m
0,732
    
 
Portanto, a altura aproximada do prédio é 47,32 metros. 
 
 
 
Questão 6 
Resposta correta: 
Alternativa C. 
Resolução comentada 
Pela definição de logaritmo tem-se 
x
bLog a x a b  
. Então, na equação 
x5000 2
, em que a = 5.000 e b = 2, a representação através do logaritmo é dada 
por 
2Log 5000 x
. 
 
Questão 7 
Resposta correta: 
Alternativa B. 
Resolução comentada 
Deve-se calcular a temperatura quando x = 4, ou seja, determinar T(4). Assim, 
Simplificandoπ 4 πT(4) 15 8 sen 4 T(4) 15 8 sen π T(4) 15 8 sen
12 12 3
     
                   
     
 
Tabela 1
π 3 1,7
T(4) 15 8 sen T(4) 15 8 T(4) 15 8
3 2 2
 
                
 
 
T(4) 15 6,8 T(4) 8,2ºC    
 
Portanto, a temperatura da câmara às 4 horas é -8,2 ºC. 
 
Questão 8 
Resposta correta: 
Alternativa D 
 
Resolução comentada 
Para determinar o período da função 
π
h(x) 3 2 cos x
5
 
    
 
deve-se determinar a 
constante 
ω
que se trata do coeficiente da variável que está no argumento da função 
trigonométrica. Assim, 
π
ω
5

. 
O período da função seno é dado por 
2π
T
ω

, então: 
2π 5
T T 2π T 2 5 10 horas.
π π
5
       
 
Portanto, o tempo em horas para a maré completar um ciclo é 10 horas. 
 
Questão 9 
Resposta correta: 
Alternativa D. 
Resolução comentada 
Deve-se calcular a temperatura quando x = 16, ou seja, determinar T(16). Assim, 
π 16
T(16) 3 4 cos 16 T(16) 3 4 cos π
12 12
   
             
   
 
4
T(16) 3 4 cos π
3
 
     
 
 
Em graus, 
4
π
3
 equivale a 240º. Dessa forma, deve-se determinar o resultado de 
 cos 240º
. Perceba que 240º é um ângulo que pertence ao terceiro quadrante 
(180°<240°<270°), assim, utilizando a fórmula da redução do terceiro ao primeiro 
quadrante, tem-se: 
 
 
          cosα cos(α 180 ) cos240 cos(240 180º)
 
      cos240 cos60º cos240 0,5
 
Com isso, sabendo que 
o4cos π cos(240 ) 0,5
3
 
   
 
, tem-se: 
4
T(16) 3 4 cos π T(16) 3 4 ( 0,5)
3
 
           
 
 
      T(16) 3 2 T(16) 5ºC
 
Portanto, a temperatura às 16 horas é -5ºC. 
 
Questão 10 
Resposta correta: 
Alternativa E. 
Resolução comentada 
A amplitude representa a metade da variação total da função e o período representa 
o tempo necessário para completar um ciclo. O gráfico a seguir ilustra essas duas 
medidas: 
 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Assim, a amplitude é 60 mil litros e o período é 24 horas. 
 
Questão 11 
Resposta correta: 
Alternativa E. 
Resolução comentada 
O problema solicita o tempo em anos necessário para que a cidade tenha 250.000 
habitantes. Como a fórmula do número de habitantes é dada por 
0,4xP(x) 50000 2 
, 
deve-se determinar x tal que: 
0,4x250000 50000 2 
 
Simplificando a equação, tem-se: 
0,4x 0,4x 0,4x250000250000 50000 2 2 5 2
50000
     
 
 
 
Assim, a equação a ser resolvida é 
0,45 2 x
. Pela definição de logaritmo, essa equação 
pode ser representada por: 
2Log 5 0,4x
 
Como o enunciado fornece 
Log 2 0,3
, é possível transformar 
2Log 5
 na base dez. 
Então: 
2
Log5
Log 5
Log2

 
Para determinar o resultado de 
Log5
Log2
 é necessário encontrar o valor de 
Log5
. Para 
isso pode ser utilizado o seguinte artifício: 
Log(2 5) Log2 Log5 Log10 Log2 Log5      
 
Log 10 1 Log 2 0,3
 1 0,3 Log5
 
  
 
Assim, 
Log 5 1 0,3 0,7  
. Como 
2
Log 5
Log 5
Log 2

, então: 
2
0,7 7
Log 5
0,3 3
 
 
Deste modo, como 
2Log 5 0,4x
, então 
7 7 7 70
0,4x x
3 0,4 3 1,2 12
    

 . 
 Portanto, após 
70
12
 anos a cidade terá 250.000 habitantes. 
 
Questão 12 
Resposta correta: 
Alternativa A. 
Resolução comentada 
 
Pelo gráfico percebe-se que quando 
π
x
2

, y = 2, e quando 
x π
, y = 0. Logo, 
percebe-se que 
y 2sen(x)
. 
y 3sen(x)
está errada, pois para 
π
x
2

, 
π
y 3 sen 2
2
 
   
 
. 
x
y sen
2
 
  
 
 está errada, pois para 
π
x
2

, 
π
y sen 2
4
 
  
 
. 
x
y sen
3
 
  
 
 está errada, pois para 
π
x
2

, 
π
y sen 2
6
 
  
 
. 
 y sen 2x
 está errada, pois para 
π
x
2

, 
 y sen π 2 
. 
 
Questão 13 
Resposta correta: 
Alternativa D. 
Resolução comentada 
Para determinar o comprimento do arco, primeiramente deve-se converter 144° para 
radianos, assim: 
180 π
144x


 
Realizando a multiplicação “cruzada”, tem-se: 
Simplificandopor36144 4180x 144π x π x π radianos
180 5
     
Dessa forma, para determinar o comprimento do arco deve-se multiplicar o raio pelo 
ângulo em radianos, obtendo-se: 
4
C 5 π C 4 π
5
    
 
 
C 4 π C 4 3,14 12,56 cm     
 
Portanto, o comprimento do arco é 12,56 cm. 
 
Questão 10 
Resposta correta: 
Alternativa A. 
Resolução comentada 
Para resolver esse problema, considere o triângulo a seguir, que representa a situação 
proposta: 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Portanto, como desejamos determinar a medida da altura da encosta (que 
representa o cateto oposto a 
α 69º
), podemos utilizar a relação trigonométrica 
tangente, já que esta envolve os dois catetos. Desse modo: 
C.O x
tg(69º) tg(69º)
C.A 20
   
 
x
2,61 2,61 20 x
20
     
 
x 52,2 m 
 
Portanto, a altura da encosta é 52,2 m. 
 
 
Questão 14 
Resposta correta: 
Alternativa A. 
Resolução comentada 
Como são fornecidos Q0 = 3 mg/l e Q = 12 mg/l, deve-se resolver a seguinte equação 
exponencial: 
x x
0Q Q 1,23 12 3 1,23    
 
Que simplificadamente é dada por: 
x x12 1, 23 4 1, 23
3
  
 
Pela definição de logaritmo, 
x4 1,23
 é equivalente a 
1,23Log 4 x
. Como o 
enunciado forneceu os resultados de 
Log4 0,6 e Log1,23 0,09 
 (os dois na base 
10), deve-se então fazer a mudança de base de 
1,23Log 4
. Assim: 
1,23
Log4
Log 4
Log1,23

 
Deste modo, 
Log4 0,6
x 6,7
Log1,23 0,09
  
 . 
Portanto, o período de funcionamento da máquina de aeração é de 
aproximadamente de 6,7 horas. 
 
Questão 15 
Resposta correta: 
Alternativa A. 
Resolução comentada 
Reescrevendo a fórmula utilizando as propriedades de logaritmos, tem-se: 
 
 
3 4
4
1
S Logx Log 2 S 3 Logx Logx 2
x
          
 
 
4Logx 4 Logx 2 Log100
S 3 Logx ( 4)Logx Log100
   
     
 
S 3 Logx 4 Logx Log100      
 
3Log x 4Log x
S 7 Log x Log100

  
 
 
77Log x Log x
7 7S Logx Log100 S Logx Log100

       
7S Log(x 100) 
 
Portanto, a fórmula simplificada da distância percorrida pela partícula é 
7S Log(x 100) 
. 
 
Questão 16 
Resposta correta: 
Alternativa C. 
Resolução comentada 
Inicialmente, como é fornecido sec(37º) = 1,25 e sabendo-se que 
1
sec(α)
cos(α)

, 
então: 
1
cos(37º) 0,8
1,25
  
 
 
 
 
Assim, como 
cos(37º) 0,8
, pode-se então utilizar a identidade trigonométrica 
fundamental 
2 2sen (α) cos (α) 1 
 para determinar o valor 
sen(37º)
. Desse modo: 
2 2 2 2sen (37º) cos (37º) 1 sen (37º) 0,8 1      
 
2 2sen (37º) 0,64 1 sen (37º) 1 0,64    
 
2sen (37º) 0,36 sen(37º) 0,36 0,6    
 
Sabendo-se que 
osen(37 ) 0,6
 e 
ocos(37 ) 0,8
, o resultado 
otg(37 )
 é obtido pela 
relação 
sen(α)
tg(α)
cos(α)

 da seguinte forma: 
sen(37º) 0,6
tg(37º) tg(37º) 0,75
cos(37º) 0,8
   
 
Portanto, 
tg(37º) 0,75
. 
 
Questão 17 
Resposta correta: 
Alternativa B. 
Resolução comentada 
A rampa representa um triângulo retângulo em que são fornecidos a medida do 
ângulo (
oα 30
) e a medida do cateto adjacente a esse ângulo, que é 2,6 m. 
Portanto, como deseja-se determinar a medida da altura da rampa (que representa o 
cateto oposto a 
oα 30
), pode-se utilizar a relação trigonométrica tangente, já que 
esta envolve os dois catetos. Desse modo: 
C.O x
tg(30º) tg(30º)
C.A 2,6
   
 
3 x
2,6 3 3x
3 2,6
     
 
 
2,6 3
x
3

 
 
Utilizando a aproximação 
3 1,732
, então: 
2,6 1,732
x 1,5 m
3

 
 
Portanto, a altura aproximada da rampa é 1,5 m. 
 
Questão 19 
Resposta correta: 
Alternativa E. 
Resolução comentada 
 Para determinar o valor da constante a, deve-se determinar o valor de 
sen(120º)
, 
cos(210º)
e 
sen(300º)
. Utilizando o processo de redução ao primeiro quadrante, tem-
se que: 
-120° pertence ao segundo quadrante (90°<120°<180°), então: 
sen(α) sen(180 α) sen(120 ) sen(180 120 )       
 
3
sen(120 ) sen(60 ) 
2
    
 
- 210° pertence ao terceiro quadrante (180°<210°<270°), então: 
cos(α) cos(α 180) cos(210 ) cos(210 180 )         
 
3
cos(210 ) cos(30 ) cos(210 )
2
        
 
- 300° pertence ao quarto quadrante (270°<300°<360°), então: 
sen(α) sen(360 α) sen(300 ) sen(360º 300º)        
 
 
3
sen(300 ) sen(60 ) sen(300 ) 
2
       
 
Substituindo o resultado na fórmula da constante a, então: 
3 3
cos(210º) sen(300º) 2 2a a
sen(120º) 3
2
 
  
      
 
 
 
 
2 3 3
2 1a a
3 3
2 2
   
   
       
   
   
   
 
3 2
a a ( 2) 2
1 3
 
          
 
 
Portanto, o valor da constante a é 2. 
 
Questão 20 
Resposta correta: 
Alternativa B. 
Resolução comentada 
Primeiramente para calcular o trabalho 

 deve-se determinar o valor de 
cos(135º)
 
(pois 
oθ 135
). Como 135° pertence ao segundo quadrante (90°<135°<180°), pode-
se utilizar a fórmula da redução ao primeiro quadrante dada por: 
cos(α) cos(180º α) cos(135º) cos(180º 135º)       
 
2
cos(135º) cos(45 ) cos(135º)
2
      
 
Assim, o trabalho 

é calculado da seguinte forma: 
 
2
40 20 cos(135 ) 40 20
2
             
 
 
800 2
400 2 J
2
      
 
Portanto, o resultado do trabalho é 
400 2 J  
.