Prova 2 de ÁLGEBRA 1 2022 UnB

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01/2022 Segunda Prova de Álgebra 1 Graduação
Universidade de Braśılia, Departamento de Matemática
Álgebra 1 - Turma 3
Professor Alex Carrazedo Dantas
27 de setembro de 2022
Nome: Matŕıcula:
Questão 1. Faça o que se pede.
a) (1, 0 ponto) Decomponha o número 100 em duas parcelas positivas de tal modo que uma
seja múltipla de 7 e a outra seja múltipla de 11;
b) (1, 0 ponto) Determine o algarismo das unidades de 7(7
100);
c) (1, 0 ponto) Determine todos os (x, y) ∈ Z/24Z tais que 4̄x+ 21y = 23 e 2̄x+ 4̄y = 12.
Questão 2. Faça o que se pede.
a) (1, 0 ponto) Mostre que o conjunto das funções {f1, f2, f3, f4} de R2 em R2, dadas por
f1(x, y) = (x, y), f2(x, y) = (−x, y), f3(x, y) = (x,−y), f4(x, y) = (−x,−y) para todo (x, y) ∈
R2, munido da operação de composição é um grupo abeliano não ćıclico;
b) (1, 0 ponto) Mostre que um grupo finito (G, ∗) de ordem par tem um elemento de ordem 2;
c) (1, 0 ponto) Seja (G, ∗) um grupo de ordem pn, onde p é primo e n é um inteiro maior ou
igual a 1. Mostre que todo elemento de G tem ordem uma potência de p menor ou igual a pn
(Use o Teorema de Lagrange).
Questão 3. Faça o que se pede.
a) (1, 0 ponto) Mostre que um domı́nio de integridade finito é corpo;
b) (1, 0 ponto) Considere o corpo (K,+, .), onde K = {a + bi | a, b ∈ Z/3Z, i2 = 2̄} com
operações (a + bi)+(x + yi) = (a + x) + (b + y)i e (a + bi).(x + yi) = (ax + 2̄by) + (ay + bx)i,
para todos a+ bi, x+ yi ∈ K. Mostre que (K \ {0̄}, .) é um grupo ćıclico.
Questão 4. a) (1, 0 ponto) Verifique que Q[
√
5] = {a+ b
√
5 | a, b ∈ Q} é um subanel diviśıvel
de (R,+, .) e conclua que Q[
√
5] é corpo;
b) (1, 0 ponto) Mostre que as ráızes do poĺınômio p(x) = x2 + x− 1 ∈ R[x] estão em Q[
√
5].