Lista de revisão para a Prova 1 ÁLGEBRA 1 UnB 2021

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UNB

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Fábio Leitão

03/10/2022

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Álgebra

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01/2021 Lista de Revisão - Prova 1 Álgebra I - Turma B
Universidade de Braśılia, Departamento de Matemática
Álgebra Linear II - Curso de Verão
Professor Alex Carrazedo Dantas
07 de janeiro de 2021
Questão 1. Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto U . Mostre que:
a) A ∩ (A ∪B) = A;
b) A ∪ (A ∩B) = A;
c) se A ∩B = ∅ e A ∪B = U , então B = Ac e A = Bc;
d) se A ∩B = ∅, então B ⊂ Ac e A ⊂ Bc;
e) B ⊂ A se, e somente se, Ac ⊂ Bc;
f) (A−B) ∩ (A− C) = A− (B ∪B);
g) (A− C) ∩ (B − C) = (A ∩B)− C;
h) (A ∪B)−B = A se, e somente se, A ∩B = ∅;
i) se A∆B = (A−B) ∪ (B − A), então A∆∅ = A, A∆A = ∅ e A∆B = B∆A.
Questão 2. Sejam A, B e C conjuntos finitos. Mostre que
|A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |A ∩B| − |A ∩ C| − |B ∩ C|+ |A ∩B ∩ C|.
Questão 3. Mostre que a proposição p → (p + q) é uma tautologia, onde + é o conectivo ou.
É posśıvel justificar essa tautologia sem usar tabela verdade?
Questão 4. Sejam A e B conjuntos infinitos enumeráveis. Mostre que A ∪ B e A × B são
enumeráveis.
Questão 5. Sejam A1, ..., An conjuntos infinitos enumeráveis. Use indução para mostrar que
A1 × ...× An é enumerável.
Questão 6. Seja a > 0 um natural. Defina recursivamente a n-ésima potência de a por
i) a0 = 1 e ii) as(n) = a.an. Mostre que a n-ésima potência de a está bem definida. Mostre que
an.am = an+m, (an)m = an.m e (a.b)n = anbn.
Questão 7. Considere a função f : N→ N dada por f(0) = 1, f(1) = 0 e f(n) = k onde n > 1
e k é o maior natural tal que 2k divide n. A função f tem inversa à direita? E à esquerda? Em
caso positivo, determine uma inversa à direita ou à esquerda!
Questão 8. Defina a relação ≤ sobre Q por a ≤ b se, e somente se, existe k ∈ N tal que
b = a + k. Mostre que ≤ é uma relação de ordem. Essa relação é total?
Questão 9. Considere a relação de ordem usual em Z. Sejam a ≤ b dois naturais. Defina
b − a = k, onde k ∈ Z é tal que b = a + k. Defina sobre Z × Z a relacão (a, b)R(x, y) se, e
somente se, a−x = b−y. A relação R é de equivalência? Em caso positivo, determine as classes
de equivalência dessa relação.
Questão 10. Use o Algoritmo de Euclides para calcular x e y em Z tais que mdc(105,−90) =
105x + (−90)y