Limites e Derivadas Respostas Parte 2

Prévia do material em texto

2013 
Diva Marília Flemming 
Universidade do Sul de Santa Catarina 
17/06/2013 
RESPOSTAS DAS ATIVIDADES DE AUTOAVALIAÇÃO 
Profa. Diva Marília Flemming 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE UMA OU MAIS VARIÁVEIS: 
ATIVIDADES DE AUTOAVALIAÇÃO 
(Parte 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 O presente documento contém as atividades de autoavaliação do livro Limites e Continuidade de Funções de uma ou mais variáveis. 
 
 
 Palhoça 2013 
Sumário 
CAPÍTULO 3: LIMITES DE FUNÇÕES 39 
SEÇÃO 1: LIMITES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 39 
1.1.2 ATIVIDADES DE AUTOAVALIAÇÃO 39 
1.3 ATIVIDADES DE AUTOAVALIAÇÃO 42 
1.4.3 ATIVIDADES DE AUTOAVALIAÇÃO 46 
1.5.2 ATIVIDADES DE AUTOAVALIAÇÃO 49 
1.5.5 ATIVIDADES DE AUTOAVALIAÇÃO 50 
SEÇÃO 2: LIMITES DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 51 
2.4 ATIVIDADES DE AUTOAVALIAÇÃO 51 
2.5.2 ATIVIDADES DE AUTOAVALIAÇÃO 54 
CAPÍTULO 4: CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 56 
SEÇÃO 1: CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 56 
1.5 ATIVIDADES DE AUTOAVALIAÇÃO 56 
SEÇÃO 2: CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 62 
2.4 ATIVIDADES DE AUTOAVALIAÇÃO 62 
 
 
Capítulo 3: Limites de funções Seção 1: Limites de funções de uma variável 
1.1.2 Atividades de autoavaliação 
 
(1) Calcule os seguintes limites, usando uma tabela de valores. Na tabela devem constar 
pelo menos 6 valores para x. Se necessário, escolha valores para a tendência tanto pela 
direita como pela esquerda. 
 
(a) )573(lim 2
0
xx
x
−−
→
 
(b) )73(lim
1
+−
−→
x
x
 
(c) 
1
1lim
2
1 −
−
→ x
x
x
 
(d) )273(lim 2 +−
+∞→
xx
x
 
(e) )273(lim 2 +−
−∞→
xx
x
 
Respostas: 
 
x y 
3)573(lim 2
0
=−−
→
xx
x
 
0,01 2,9295 
0,001 2,992995 
0,0001 2,999299950 
-0,01 3,0695 
-0,001 3,006995 
-0,0001 3,000699949 
 
 
 
 
 
(b) 
x y 
10)73(lim
1
=+−
−→
x
x
 
-1,5 11,5 
-1,2 10,6 
-1,1 10,3 
-0,9 9,7 
-0,8 9,4 
-0,5 8,5 
 
(c) 
x y 
2
1
1lim
2
1
=
−
−
→ x
x
x
 
0,9 1,9 
0,99 1,99 
0,999 1,999 
1,001 2,001 
1,01 2,01 
1,1 2,1 
 
(d) 
x y 
+∞=+−
+∞→
)273(lim 2 xx
x
 
100 41093,2 × 
1000 610993002,2 × 
10000 81099930002,2 × 
100000 1010999993,2 × 
1000000 121099999,2 × 
 
(g) 
x y 
+∞=+−
−∞→
)273(lim 2 xx
x
 
-100 4100702,3 × 
-1000 610007002,3 × 
-10000 81000070002,3 × 
-100000 101000007,3 × 
-1000000 1210000007,3 × 
 
 
(2) Analise o gráfico de 
x
xf 1)( = apresentado na Figura 3.4 e calcule: 
(a) 
xx
1lim
0+→
 (b) 
xx
1lim
0−→
 (c) 
xx
1lim
+∞→
 (d) 
xx
1lim
−∞→
 
 
Figura 3.4 – Gráfico da função 
x
xf 1)( = 
 
Respostas: 
(a) +∞=
+→ xx
1lim
0
 (b) −∞=
−→ xx
1lim
0
 (c) 01lim =
+∞→ xx
 (d) 01lim =
−∞→ xx
 
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
 
(3) Considere o gráfico apresentado na Figura 3.5 da seguinte função 





>−
=
<+
=
2 14
26
2 22
)(
2
2
xx
x
xx
xf 
Analisando o gráfico, resolva os seguintes limites: 
(a) )(lim
2
xf
x +→
 (b) )(lim
2
xf
x −→
 (c) )(lim xf
x +∞→
 (d) )(lim xf
x −∞→
 
 
Figura 3.5 – Gráfico da função )(xf 
 
Respostas: 
(a) 10)(lim
2
=
+→
xf
x
 (b) 10)(lim
2
=
−→
xf
x
 
(c) −∞=
+∞→
)(lim xf
x
 (d) +∞=
−∞→
)(lim xf
x
 
 
 
1.3 Atividades de autoavaliação 
 
(1) Calcular os seguintes limites: 
(a) )16(lim 2
3
+−
−→
xx
x
 (f) 
2
65lim
2
2 −
+−
→ x
xx
x
 
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
2
4
6
8
10
12
14
x
y
(b) 
4
16lim
2
4 −
−
→ x
x
x
 (g) )1(lim
0
+
→
x
x
e 
(c) 5
2
0
)5(lim +
→
x
x
 (h) )87(lim
3
1
−
→
x
x
 
(d) )tancos52(lim
0
xxsenx
x
+−
→
 (i) 3 2
3
1lim −
→
x
x
 
(e) 352
2
)3()1(lim −−
→
xx
x
 (j) 
7
5lim
2
5 +
−
→ x
x
x
 
 
Respostas: 
(a) 2811891)3(6)3()16(lim 22
3
=++=+−⋅−−=+−
−→
xx
x
. 
(b) 
4
16lim
2
4 −
−
→ x
x
x
 
Não podemos aplicar diretamente a propriedade 6, pois o limite do denominador vale 
zero, portanto fazemos primeiramente uma fatoração do numerador. 
8)4(lim
4
)4)(4(lim
4
16lim
44
2
4
=+=
−
+−
=
−
−
→→→
x
x
xx
x
x
xxx
. 
 
(c) 5
2
0
)5(lim +
→
x
x
 
Aplicamos aqui a propriedade 8. 
( ) 55 25252
0
5
2
0
255)50()5(lim)5(lim ==+=+=+
→→
xx
xx
. 
 
(d) )cos5sen2(lim
0
tgxxx
x
+−
→
 
Aplicamos a propriedade 3, 10 e 11. 
5015000cos50sen2)cos5sen2(lim
0
−=+⋅−=+−=+−
→
tgtgxxx
x
. 
 
(e) 352
2
)3()1(lim −−
→
xx
x
 
Aplicamos a propriedade do produto e a propriedade 8. 
243)1(243)32()12()3(lim)1(lim)3()1(lim 3523
2
52
2
352
2
−=−⋅=−⋅−=−⋅−=−−
→→→
xxxx
xxx
. 
 
(f) 
2
65lim
2
2 −
+−
→ x
xx
x
 
Aqui não podemos aplicar a propriedade do quociente, já que o limite do denominador é 
zero. Fazemos então uma fatoração do denominador. 
132)3(lim
2
)3)(2(lim
2
65lim
22
2
2
−=−=−=
−
−−
=
−
+−
→→→
x
x
xx
x
xx
xxx
. 
 
(g) )1(lim
0
+
→
x
x
e 
Usamos a propriedade 12. 
2111)1(lim 0
0
=+=+=+
→
ee x
x
. 
 
(h) )87(lim
3
1
−
→
x
x
 
Usamos a propriedade 1. 
3
178
3
17)87(lim
3
1
−=−⋅=−
→
x
x
. 
 
(i) 3 2
3
1lim −
→
x
x
 
Aplicamos a propriedade 8. 
28131lim 33 23 2
3
==−=−
→
x
x
. 
 
(j) 
7
5lim
2
5 +
−
→ x
x
x
 
Basta aplicar a propriedade 6. 
3
5
12
20
75
55
7
5lim
22
5
==
+
−
=
+
−
→ x
x
x
. 
 
 
 
 
 
(2) Escolha aleatoriamente dois itens de (1) para fazer a representação gráfica. Compare 
o resultado obtido em (1) com sua representação gráfica. 
Respostas: 
 
Figura 33 – Gráfico da função 5
2
)5( += xy 
 
Fonte: Elaboração da autora, 2013. 
 
Figura 34 – Gráfico da função )1( += xey 
 
Fonte: Elaboração da autora, 2013. 
 
Figura 35 – Gráfico da função 3 2 1−= xy 
 
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
3
x
y
1.4.3 Atividades de autoavaliação 
(1) Calcule )(lim
3
xf
x→
, para 




>+
≤−
=
313
35
)(
2
xx
xx
xf 
Respostas: 
Para )(lim
3
xf
x→
 existir, é necessário que os limites laterais existam e sejam iguais. 
41613313lim)(lim
33
==+=+=
++ →→
xxf
xx
; 
45953)5(lim)(lim 22
33
=−=−=−=
−− →→
xxf
xx
; 
Logo, )(lim
3
xf
x→
= 4 
 
(2) Seja 




=
≠
=
00
0||
)(
x
x
x
x
xf . 
Calcule )(lim
0
xf
x +→
 , )(lim
0
xf
x −→
 e )(lim
0
xf
x→
 se existirem. 
Respostas: 
Lembre-se que 1|| ==
x
x
x
x , se 0>x e 1|| −=−=
x
x
x
x , se 0<x . Logo: 
11lim)(lim
00
==
++ →→ xx
xf ; 
1)1(lim)(lim
00
−=−=
→→ − xx
xf . 
)(lim
0
xf
x→
 não existe pois os limites laterais são diferentes. 
 
 
(3) Calcule os seguintes limites. 
(a) 
2
8lim
3
2 +
+
−→ x
x
x
 (b) 
3
6lim
2
3 −
−−
→ x
xx
x
 
(c) 
1
21lim
1 −
−+
→ x
x
x
 (d) 
2012
65lim 2
2
2 +−
+−
→ xx
xx
x
 
(e) 
5
312lim
5 −
−−
→ x
x
x
 (f) 
xx
x
9)3(lim
2
0
−+
→
 
(g) 
)5(
158lim
2
5 −
+−
→ xx
xx
x
 (h) 
x
x
x
1)1(lim
4
0
−+
→
 
Respostas: 
(a) 
2
8lim
3
2 +
+
−→ x
x
x
 
.124444)2(2)2()42(lim
2
)42)(2(lim
2
8lim 22
2
2
2
3
2
=++=+−⋅−−=+−=
+
+−+
=
+
+
−→−→−→
xx
x
xxx
x
x
xxx
 
 
(b) 523)2(lim
3
)2)(3(lim
3
6lim
33
2
3
=+=+=
−
+−
=
−
−−
→→→
x
x
xx
x
xx
xxx
. 
 
(c) 
1
21lim
1 −
−+
→ x
x
x
 
=
++−
−+
=
++−
++−+
=
−
−+
→→→ )21)(1(
21lim
)21)(1(
)21)(21(lim
1
21lim
111 xx
x
xx
xx
x
x
xxx
 
 =
++
=
++
=
++−
−
=
→→ 211
1
21
1lim
)21)(1(
1lim
11 xxx
x
xx
 
 
22
1
= . 
 
(d) 
2012
65lim 2
2
2 +−
+−
→ xx
xx
x
 
8
1
102
32
10
3lim
)10)(2(
)3)(2(lim
2012
65lim
222
2
2
=
−
−
=
−
−
=
−−
−−
=
+−
+−
→→→ x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
. 
 
(e) 
5
312lim
5 −
−−
→ x
x
x
 
=
+−−
−−
=
+−−
+−−−
=
−
−−
→→→ )312)(5(
912lim
)312)(5(
)312)(312(lim
5
312lim
555 xx
x
xx
xx
x
x
xxx
 
 =
+−−
−
=
+−−
−
=
→→ )312)(5(
)5(2lim
)312)(5(
102lim
55 xx
x
xx
x
xx
 
 
3
1
6
2
39
2
312
2lim
5
==
+
=
+−
=
→ xx
. 
 
(f) 
x
x
x
9)3(lim
2
0
−+
→
 
.6)6(lim)6(lim6lim996lim9)3(lim
00
2
0
2
0
2
0
=+=
+
=
+
=
−++
=
−+
→→→→→
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
xxxxx
 
 
(g) 
)5(
158lim
2
5 −
+−
→ xx
xx
x
 
5
2
5
353lim
)5(
)3)(5(lim
)5(
158lim
55
2
5
=
−
=
−
=
−
−−
=
−
+−
→→→ x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
. 
 
(h) 
x
x
x
1)1(lim
4
0
−+
→
 
=
+++
=
−++++
=
−+
→→→ x
xxxx
x
xxxx
x
x
xxx
)46¨4(lim11464lim1)1(lim
23
0
234
0
4
0 
 44000)464(lim 23
0
=+++=+++=
→
xxx
x
. 
 
 
(4) O custo em dólares para remover p% dos poluentes da água de um pequeno lago é 
dado por 
p
pC
−
=
100
25000 para 1000 <≤ p , sendo que C é o custo e p é a porcentagem de 
poluentes. 
 
(a) Determine o custo para remover 50% dos poluentes. 
(b) Qual a porcentagem de poluentes que pode ser removida por 100 000 dólares? 
(c) Calcule C
p −→100
lim e analise o significado do resultado obtido. 
 
Respostas: 
 
(a) .25000
50
1250000
50100
5025000)50( dolaresC ==
−
×
= 
 
 
 
(b) 
%.80
125000
10000000
10000000125000
2500010000010000000
25000)100(100000
100
25000100000
100
25000
=
=
=
=−
=−
−
=
−
=
p
p
p
pp
pp
p
p
p
pC
 
 
(c) 
−− →→
=
100100
limlim
pp
C .
100
25000
∞=
− p
p 
Significa que na medida em que o percentual de poluentes aumenta muito vamos ter 
problemas sérios, pois os custos aumentam cada vez mais. 
 
 
1.5.2 Atividades de autoavaliação 
 
Calcule os seguintes limites no infinito: 
a) 
17
63lim
+
−
+∞→ x
x
x
 b) 
723
127lim 23
2
+−+
+−
−∞→ xxx
xx
x
 
c) 
16262
73lim 234
4
+−+−
−
+∞→ xxxx
xx
x
 d) 
13
5lim
2 +−
−
+∞→ xx
x
x
 
 
Respostas: 
a) 
7
3
7
3lim
17
63lim ==
+
−
+∞→+∞→ x
x
x
x
xx
. 
 
b) 00
3
71lim
3
7
3
7lim
723
127lim 3
2
23
2
=⋅===
+−+
+−
−∞→−∞→−∞→ xx
x
xxx
xx
xxx
. 
 
c) 
2
3
2
3lim
2
3lim
16262
73lim 4
4
234
4
===
+−+−
−
+∞→+∞→+∞→ xxx x
x
xxxx
xx . 
 
d) 
.
3
1
003
01
113
51
lim
13
51
lim
13
5
lim
13
5lim
2
2
2
2
22
=
+−
−
=
+−
−
=
=
+−
−
=
+−
−
=
+−
−
+∞→
+∞→+∞→+∞→
xx
x
x
xx
x
x
xx
xx
x
xx
x
x
xxx
 
 
 
1.5.5 Atividades de autoavaliação 
 
Calcule os seguintes limites: 
a) 76lim 2 ++
−∞→
xx
t
 b) 
162
12lim
8 −
−
+→ x
x
x
 
c) 
17
106276lim
234
+
+++−
+∞→ x
xxxx
t
 d) 
6
13lim 2
2
2 −+
++
−→ xx
xx
t
 
e) 
1
22lim 3
2
−
++
−∞→ x
xx
t
 f) 
176
63lim 2
2
+−
−+
+∞→ xx
xx
t
 
 
Respostas: 
a) ( ) +∞=++⋅∞=++=++
−∞→−∞→
)001()761(lim76lim 2
22
xx
xxx
xt
 
b) +∞==−⋅=
−
−
++→ + 0
15
0
182
162
12lim
8 x
x
x
. 
 
c) +∞=+∞⋅===
+
+++−
+∞→+∞→+∞→ 7
6lim
7
6
7
6lim
17
106276lim 3
4234
x
x
x
x
xxxx
xxt
. 
 
d) −∞==
⋅
+⋅+
=
+−
++
=
−+
++
−−→→ −− 0
11
50
1232
)3)(2(
13lim
6
13lim
22
22
2
2 xx
xx
xx
xx
xt
. 
 
e) 01limlim
1
22lim 3
2
3
2
===
−
++
−∞→−∞→−∞→ xx
x
x
xx
xxt
. 
 
f) 
2
1
6
3
6
3lim
6
3lim
176
63lim 2
2
2
2
====
+−
−+
+∞→+∞→+∞→ xxt x
x
xx
xx . 
 
 Seção 2: Limites de funções de duas variáveis 
 
2.4 Atividades de autoavaliação 
(1) Verifique se os pontos ( ) ( )1,2,
2
1,
2
1,2,1 




 − e ( )0,3 são pontos de acumulação de 
( ){ }22 2, xyIRyxB >∈= . 
Respostas: 
 A Figura 36 mostra a região B e os pontos para ajudar da visualização das 
respostas. 
 
Figura 36 – Região B 
 
Fonte: Elaboração da autora, 2013 
 
 De maneira geral, podemos dizer que os pontos BP∈ são de acumulação 
quando 22xy > ou 22xy = e não são de acumulação quando 22xy < . Assim temos: 
 ( )2,1 é ponto de acumulação: ( ) B∉2,1 mas neste ponto 22xy = ; 
 




 −
2
1,
2
1 é ponto de acumulação: B∉




 −
2
1,
2
1 mas neste ponto 22xy = ; 
 ( )1,2 não é ponto de acumulação pois neste ponto 22xy < ; 
-4 -3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
x
y
(1,2)
(2,1)
(3,0)





 −
2
1,
2
1
 ( )0,3 não é ponto de acumulação pois neste ponto 22xy < . 
 
 
(2) Usando a definição dada, mostre que 
( ) ( )
( ) 1223lim
3,2,
=+
→
yx
yx
. 
Respostas: 
Devemos mostrar que para todo 0>ε existe um 0>δ tal que ( ) ε<−12, yxf 
sempre que ( ) ( ) δ<−< 3,2,0 yx . O módulo ( ) ( )3,2, −yx pode ser escrito como 
( ) ( )22 32 −+− yx . Assim, ( ) ( ) δ<−+−< 22 320 yx . 
Agora podemos encontrar δ : 
( )
( ) ( )
.3223
32236263
122312,
−+−≤
−+−=−+−=
−+=−
yx
yxyx
yxyxf
 
 Como ( ) ( )22 322 −+−≤− yxx e ( ) ( )22 323 −+−≤− yxy , podemos 
dizer que 
δδ 233223 +<−+− yx 
δ53223 <−+− yx 
sempre que ( ) ( ) δ<−+−< 22 320 yx . 
Se fizermos 
5
εδ = garantimos que ( ) ( ) δ<−+−< 22 320 yx e então teremos: 
( )
.
5
2
5
3
322212,
ε
εε
=
⋅+⋅<
−+−≤− yxyxf
 
Logo, podemos concluir que 
( ) ( )
( ) 1223lim
3,2,
=+
→
yx
yx
. 
 
(3) Mostre que os limites indicados não existem: 
(a) 22
22
0
0
4lim
yx
yx
y
x +
−
→
→
 (b) 
yx
xy
y
x −
−
→
→ 2
5lim
0
0
 
Respostas: 
(a) 22
22
0
0
4lim
yx
yx
y
x +
−
→
→
 
Caminho 1: ( ) ( )0,0, →yx pelo eixo dos x. Neste caso devemos fazer 0=y e o limite 
passa a ser de uma única variável. 
.1lim
0
04lim 2
2
022
22
0
0
==
+
⋅−
→
=
→ x
x
x
x
x
y
x
 
 
Caminho 2: ( ) ( )0,0, →yx pelo eixo dos y. Neste caso devemos fazer 0=x e o limite 
passa a ser de uma única variável. 
44lim
0
40lim 2
2
022
22
0
0
−=
−
=
+
−
→
→
= y
y
y
y
y
y
x
.Como o resultado do limite foi diferente nos dois caminhos escolhidos, podemos 
concluir que 22
22
0
0
4lim
yx
yx
y
x +
−
→
→
não existe. 
 
(b) 
yx
xy
y
x −
−
→
→ 2
5lim
0
0
 
Caminho 1: ( ) ( )0,0, →yx pelo eixo dos x. Neste caso devemos fazer 0=y e o limite 
passa a ser de uma única variável. 
2
1
2
lim
02
05lim
0
0
0
0
−
=
−
=
−
−⋅
=
→
=
→ x
x
x
x
y
x
y
x
. 
 
Caminho 2: ( ) ( )0,0, →yx pelo eixo dos y. Neste caso devemos fazer 0=x e o limite 
passa a ser de uma única variável. 
55lim
02
05lim
0
0
0
−=
−
=
−⋅
−
→
→
= y
y
y
y
y
y
x
. 
 
Como o resultado do limite foi diferente nos dois caminhos escolhidos, podemos 
concluir que 
yx
xy
y
x −
−
→
→ 2
5lim
0
0
não existe. 
 
2.5.2 Atividades de autoavaliação 
 
(1) Calcule os seguintes limites, mostrando a aplicação das propriedades. 
(a) ( )103lim 2
0
0
++
→
→
xyx
y
x
 (b) 
xy
yx
y
x
33
2
1
lim +
−→
→
 
(c) ( )103
1
1
4lim xyx
y
x
+
→
→
 (d) 
xy
xy
y
x 2
3lim 4
2
1
2 +
→
→
 
Respostas: 
(a) ( ) ( ) 10100030lim103lim 2
0
0
2
0
0
=+⋅⋅+=++
→
→
→
→
y
x
y
x
xyx . 
(b) 
( )
( ) 2
7
2
7
2
81
21
21limlim
33
2
1
33
2
1
=
−
−
=
−
−
=
−⋅
−+
=
+
−→
→
−→
→
y
x
y
x xy
yx . 
(c) ( ) ( ) ( ) ( )10
10
3
1
1
10
3
1
1
103
1
1
51114lim4lim4lim =








⋅+⋅=








+=+
→
→
→
→
→
→
y
x
y
x
y
x
xyxxyx . 
(d) 
65
34
65
316
22
2
1
2
123
lim
2
3lim
2
3lim
2
1
2
1
4
2
1
2
2
1
4
2
1
24
2
1
2
=




 ⋅=


























⋅+





⋅⋅
=
















+
=
+
→
→
→
→
→
→
y
x
y
x
y
x xy
xy
xy
xy . 
 
 
(2) Calcule os seguintes limites que envolvem indeterminações. 
(a) 
xxy
x
y
x 3
22lim 2
0
0 −
−+
→
→
 (b) 32
222
2
0 2
84126lim
xyxy
xyxyxyx
y
x −
++−
→
→
. 
Respostas: 
(a) 
0
0
3
22lim 2
0
0
=
−
−+
→
→ xxy
x
y
x
 
Para resolver esta indeterminação 
0
0 , vamos multiplicar numerador e denominador 
pelo conjugado da expressão que possui as raízes quadradas: 
.
12
2
26
1
)22)(3(
1lim
)22)(3(
lim
)22)(3(
)22)(22(lim
3
22lim
2
0
02
0
0
2
0
02
0
0
−
=
−
=
++−
=
++−
=
=
++−
++−+
=
−
−+
→
→
→
→
→
→
→
→
xyxyx
x
xxxy
xx
xxy
x
y
x
y
x
y
x
y
x
 
 
 
(b) 
0
0
2
84126lim 32
222
2
0
=
−
−+−
→
→ xyxy
xyxyxyx
y
x
 
Dividindo numerador e denominador por x temos: 
0
0
2
84126lim 32
2
2
0
=
−
−+−
→
→ yy
yyxxy
y
x
 
Como ainda temos uma indeterminação 
0
0 , vamos agora dividir o numerador e o 
denominador por ( )2−y : 
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )( ) .24
8
2
2406lim
46lim
2
462lim
2
84126lim
2
2
0
2
2
02
2
032
2
2
0
−=
−
=
−
⋅+⋅
=
−
+
=
−−
+−
=
−
−+−
→
→
→
→
→
→
→
→
y
x
y
x
y
x
y
x y
yx
yy
yxy
yy
yyxxy
 
 
 
Capítulo 4: Continuidade de funções 
 Seção 1: Continuidade de funções de uma variável 
1.5 Atividades de autoavaliação 
 
(1) Verifique se as seguintes funções são contínuas no ponto indicado. 
(a) 
9
65)( 2
2
−
+−
=
x
xxxf em 3=x ; 
(b) 




=
≠
+−
−
=
36
3
65
9
)( 2
2
x
x
xx
x
xg em 3=x ; 
(c) 12)( 2 +−= xxxh em 1=x ; 
(d) 



<+
≥
=
02
0
)(
2
xx
xx
xf em 0=x . 
Respostas: 
(a) 
9
65)( 2
2
−
+−
=
x
xxxf em 3=x 
Para que f(x) seja contínua em 3=x , é necessário calcular )3(f . Isto não é possível 
pois não existe divisão por zero, logo a função não é contínua em 3=x . 
 
(b) 




=
≠
+−
−
=
36
3
65
9
)( 2
2
x
x
xx
x
xg em 3=x 
6)3( =f 
6
1
6
2
3lim
)2)(3(
)3)(3(lim
65
9lim)(lim
332
2
33
==
−
+
=
−−
+−
=
+−
−
=
→→→→ x
x
xx
xx
xx
xxf
xxxx
 
Como )(lim6)3(
3
xff
x→
== , segue que a função é contínua em 3=x . 
 
(c) 12)( 2 +−= xxxh em 1=x 
0121)1( =+−=f 
0121)12(lim 2
1
=+−=+−
→
xx
x
 
 
Como )(lim0)1(
1
xff
x→
== , segue que a função é contínua em 1=x 
 
(d) 



<+
≥
=
02
0
)(
2
xx
xx
xf em 0=x 
00)0( 2 ==f 
0lim)(lim 2
00
==
++ →→
xxf
xx
 e 2)2(lim)(lim
00
=+=
−− →→
xxf
xx
 
 
O fato de os limites laterais não são iguais caracteriza a descontinuidade da função em 
0=x . 
 
 
(2) Em cada item, encontre uma função f que satisfaça a condição proposta. 
(a) f é contínua em toda parte, exceto no ponto 1=x ; 
(b) f tem limite em 1=x , mas não é contínua naquele ponto; 
(c) f é racional com ponto de descontinuidade em x=4. 
Respostas: 
Aqui muitos exemplos podem ser apresentados. Segue um para cada item: 
(a) 
1
1)(
−
=
x
xf ; 
(b) 




=
≠
−
−
=
1 3
1,
1
1
)(
2
x
x
x
x
xf 
(c) 
4
1)(
−
=
x
xf . 
 
 
(3) Ache o valor de k, para que a função f seja contínua. 



<
≥−
=
3
334
)(
xkx
xx
xf . 
Respostas: 
Para a função ser contínua, devemos ter )(lim)3(
3
xff
x→
= . Mas 9334)3( =−⋅=f . 
Agora 9)34(lim)(lim
33
=−=
++ →→
xxf
xx
 e kkxxf
xx
3lim)(lim
33
==
−− →→
. Assim para satisfazer a 
condição de continuidade devemos ter 
 
93 =k 
3=k 
 
 
(4) Encontre os pontos de descontinuidade das seguintes funções: 
(a) 
4
8)( 2
3
−
−
=
x
xxf ; 
(b) 
||
)(
x
xxg = ; 
(c) 



=
≠+
=
310
31
)(
2
x
xx
xh . 
Respostas: 
(a) 
4
8)( 2
3
−
−
=
x
xxf 
O denominador desta função se anula quando 2−=x e 2=x , logo não existem )2(−f 
e )2(f , e portanto a função é descontinua em 2−=x e 2=x . 
 
(b) 
||
)(
x
xxg = 
É fácil de perceber que não é possível calcular )0(f , pois temos uma divisão por zero, 
logo a função não é contínua em zero. 
 
(c) 



=
≠+
=
310
31
)(
2
x
xx
xh 
Aqui temos que 10)3( =f e 1019)1(lim 2
3
=+=+
→
x
x
, portanto contínua em 3=x . 
Qualquer outro ponto ax = , a função também é contínua, pois 
)(lim1)( 2 xfaaf
ax→
=−= 
Logo esta função não apresenta ponto de descontinuidade. 
 
 
(5) Faça o gráfico da função 







>−
=
<≤−
−<−
=
14
14
11
12
)(
xx
x
xx
xx
xf . Usando o gráfico desta 
função encontre os limites que seguem e discuta a continuidade da função no seu 
domínio: 
(a) )(lim
1
xf
x +−→
 (b) )(lim
1
xf
x −−→
 (c) )(lim
1
xf
x −→
= 
(d) )(lim
1
xf
x +→
 (e) )(lim
1
xf
x −→
 (f) )(lim
1
xf
x→
= 
 
Respostas: 
 O gráfico está apresentado na Figura 37. 
 
Figura 37 – Gráfico da função do exercício (6) 
 
Fonte: Elaboração da autora, 2013 
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
Usando o gráfico temos: 
(a) 1)(lim
1
−=
+−→
xf
x
 (b) 3)(lim
1
=
−−→
xf
x(c) )(lim
1
xf
x −→
 não existe, pois os limites laterais são diferentes 
(d) 3)(lim
1
=
+→
xf
x
 (e) 1)(lim
1
=
−→
xf
x
 
(f) )(lim
1
xf
x→
 não existe pois os limites laterais são diferentes. 
 
Ao analisar a continuidade da função no seu domínio é possível afirmar que a função 
dada é contínua em R-{-1,1}. 
 
(6) Seja |3|3)( xxf −−= . Calcule )(lim
3
xf
x +→
 e )(lim
3
xf
x −→
e discuta a continuidade no 
seu domínio. Faça a representação gráfica. 
 
Respostas: 
Temos que 



>+−
≤−
=−
3,3
3,3
|3|
xx
xx
x 
Assim: 
 ;336)6(lim))3(3(lim)(lim
333
=−=−=+−−=
+++ →→→
xxxf
xxx
 
 3lim))3(3(lim)(lim
333
==−−=
−−− →→→
xxxf
xxx
. 
 
Figura 38 – Gráfico da função do exercício (6) 
 
Fonte: Elaboração da autora, 2013 
 
A função dada é contínua em todo o conjunto dos reais. 
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-1
1
2
3
x
y
 
 
(7) Verifique se as seguintes funções são contínuas no ponto dado. 
(a) 
2
4)( 2
2
−
−
=
x
xxf em 2=a ; 
(b) 




−=−
−≠
+
−
=
24
2
2
4
)(
2
x
x
x
x
xg em 2−=a ; 
(c) 




=
≠
−
−−
=
43
4
4
82
)(
2
x
x
x
xx
xh em 4=a . 
Respostas: 
(a) 
2
4)(
2
−
−
=
x
xxf em 2=a 
Esta função não é contínua em 2=x pois a função não está definida para 2=x , ou 
seja, )2(f não existe (teríamos uma divisão por zero). 
 
 
(b) 




−=−
−≠
+
−
=
2;4
2;
2
4
)(
2
x
x
x
x
xg em 2−=a 
 
4)2( −=−g 
422)2(lim
2
)2)(2(lim
2
4lim)(lim
22
2
22
−=−−=−=
+
+−
=
+
−
=
−→−→−→−→
x
x
xx
x
xxg
xxxx
 
 
Como )(lim4)2(
2
xgg
x −→
=−=− , segue que a função é contínua em 2−=x . 
 
 
(c) 




=
≠
−
−−
=
4,3
4,
4
82
)(
2
x
x
x
xx
xh em 4=a 
3)4( =h 
624)2(lim
4
)2)(4(lim
4
82lim)(lim
44
2
44
=+=+=
−
+−
=
−
−−
=
→→→→
x
x
xx
x
xxxh
xxxx
 
 
Como )(lim)4(
4
xhh
x→
≠ , segue que a função não é contínua em 4=x . 
 
 
(8) Encontre o valor de k para que 



>−
≤+
=
3;1
3;1
)( 2 xkx
xkx
xf seja contínua. 
Respostas: 
Para a função ser contínua, devemos ter )(lim)3(
3
xff
x→
= . Temos que 13)3( += kf . 
Agora, 
19)1(lim)(lim 2
33
−=−=
++ →→
kkxxf
xx
 
e 
13)1(lim)(lim
33
+=+=
−− →→
kkxxf
xx
 
Portanto devemos ter que: 
1319 +=− kk 
26 =k 
3
1
=k 
 
 Seção 2: Continuidade de funções de duas variáveis 
2.4 Atividades de autoavaliação 
 
(1) Verifique se as funções são contínuas nos pontos indicados: 
(a) ( )





=
≠
+=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;2
, 24
2
yx
yx
yx
yx
yxf no ponto ( )0,0 
(b) ( ) ( ) ( )( ) ( )0,0,
0,0,
;
;
3
, 22
=
≠




+
+
=
yx
yx
yx
yx
yxf no ponto ( )0,0 
Respostas: 
(a) ( )





=
≠
+=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;2
, 24
2
yx
yx
yx
yx
yxf no ponto ( )0,0 
 Vamos analisar se 
( ) ( )
( ) ( )0,0,lim
0,0,
fyxf
yx
=
→
. Temos que ( ) 00,0 =f e para 
calcular o limite 
( ) ( ) 24
2
0,0,
2lim
yx
yx
yx +→
 podemos escolher diferentes caminhos. 
Caminho 1: ( ) ( )0,0, →yx pelo eixo dos x. 
0
0
02lim 24
2
0
0
=
+
⋅
=
→ x
x
y
x
. 
Caminho 2: ( ) ( )0,0, →yx pelo eixo dos y. 
0
0
02lim 24
2
0
0
=
+
⋅
→
= y
y
y
x
. 
Caminho 3: ( ) ( )0,0, →yx pelos pontos da reta xy = . 
0
1
2lim2lim 2024
2
0
=
+
=
+
⋅
=
→
=
→ x
x
xx
xx
xy
x
xy
x
. 
Caminho 4: ( ) ( )0,0, →yx pelos pontos da reta yx = . 
( )
( )
1
2
2lim2lim
2
lim 2
2
0
22
2
0
24
2
0
==
+
=
+
⋅
→
=
→
=
→
= y
y
yy
y
yy
yy
y
yx
y
yx
y
yx
. 
Sendo assim, o fato do limite não existir implica na afirmação de que a função ( )yxf , 
não é contínua no ponto ( )0,0 . 
 
 
(b) ( ) ( ) ( )( ) ( )0,0,
0,0,
;
;
3
, 22
=
≠




+
⋅
=
yx
yx
yx
yx
yxf no ponto ( )0,0 
 Vamos analisar se 
( ) ( )
( ) ( )0,0,lim
0,0,
fyxf
yx
=
→
. Temos que ( ) 30,0 =f e para 
calcular o limite 
( ) ( ) 220,0,
lim
yx
xy
yx +→
 podemos escolher diferentes caminhos. 
Caminho 1: ( ) ( )0,0, →yx pelo eixo dos x. 
0
0
0lim 22
0
0
=
+
⋅
=
→ x
x
y
x
. 
Caminho 2: ( ) ( )0,0, →yx pelo eixo dos y. 
0
0
0lim 22
0
0
=
+
⋅
→
= y
y
y
x
. 
Caminho 3: ( ) ( )0,0, →yx pelos pontos da reta xy = . 
.
2
1
2
lim 2
2
220
==
+
⋅
=
→ x
x
xx
xx
xy
x
 
Como obtemos resultados diferentes nos caminhos escolhidos, temos que o limite não 
existe e assim a função ( )yxf , não é contínua no ponto ( )0,0 . 
 
 
(2) Analise a continuidade da função ( )22ln yxz += . 
Respostas: 
A função ( )22ln yxz += é a composta das funções: 
( )
( ) 22,
ln
yxyxgu
uuf
+==
=
 
A função ( )yxg , é contínua em 2R , pois é uma função polinomial. A função ( )uf é 
contínua para todos os valores de seu domínio, ou seja, em *+R . 
Como ( ) 0, >yxg para qualquer ( ) 2, Ryx ∈ , temos que para qualquer ( ) 200 , Ryx ∈ , g é 
contínua em ( )00 , yx e f é contínua em ( )00 , yxg . Assim, podemos dizer que 
( )22ln yxz += é contínua em 2R ou no seu domínio. 
 
 
(3) Dê um exemplo de uma função de duas variáveis que seja contínua em todos os 
pontos de seu domínio. 
Respostas: 
Podemos ter uma infinidade de exemplos, qualquer função do tipo polinomial é 
contínua em todos os pontos do seu domínio. 
	Capítulo 3: Limites de funções
	Seção 1: Limites de funções de uma variável
	1.1.2 Atividades de autoavaliação
	1.3 Atividades de autoavaliação
	1.4.3 Atividades de autoavaliação
	1.5.2 Atividades de autoavaliação
	1.5.5 Atividades de autoavaliação
	Seção 2: Limites de funções de duas variáveis
	2.4 Atividades de autoavaliação
	2.5.2 Atividades de autoavaliação
	Capítulo 4: Continuidade de funções
	Seção 1: Continuidade de funções de uma variável
	1.5 Atividades de autoavaliação
	Seção 2: Continuidade de funções de duas variáveis
	2.4 Atividades de autoavaliação