AP3-ALII-2020-2-aluno

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX3 – 2020/2 – Álgebra Linear II – 10/12 (16h) a 12/12 (16h)
Código da disciplina EAD 01014
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Questão 1 (1,0 pontos) Determine os valores de a, b, c ∈ R para que seja autoadjunto o operador
L : R3 −→ R3 definido por
L(x, y, z) =
(
30x+ (a− b)y + (4c)z, 5cx+ 10y + (3c)z, 8x+ (a+ b)y + 20z
)
.
Questão 2 (3,0 pontos) Seja A =
[
4 −10
−10 25
]
.
a) [1,3 pts] Determine uma base do R2 formada por autovetores de A, indicando os autovalores.
b) [1,7 pts] Usando os cálculos do item anterior, identifique a cônica dada pela forma matricial abaixo, obtendo uma
equação reduzida à forma canônica por meio de uma rotação.
(x, y)
[
4 −10
−10 25
] [
x
y
]
+ (15
√
29 , 6
√
29)
[
x
y
]
− 58 = 0.
Questão 3 (2,0 pontos) Determine a matriz C que representa, na base canônica do R2, a transformação linear
obtida pela rotação R de π6 radianos no sentido anti-horário seguida de uma reflexão P em relação ao eixo x e seguida
de um dilatação D de 4.
Questão 4 (2,0 pontos) Seja A ∈M3(R) com autovalores λ1 = 3 e λ2 = −1 tal que
E(λ1 = 31) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ 2y + 7z = 0, y + 5z = 0 e 2x+ 3y + 9z = 0} e
E(λ2 = 37) = {(x, y, z) ∈ R3 ; y − 2z = 0}.
a) [1,5 pts] Determine bases para os autoespaços e dê as multiplicidades geométricas dos seus autovalores.
b) [0,5 pt] A é diagonalizável? Justifique a sua resposta.
Questão 5 (2,0 pontos) Seja T : R2 −→ R2 a reflexão com respeito à reta √10x− y = 0.
a) [0,6 pt] Dê exemplo de uma base do R2 formada por autovetores de T , indicando os respectivos autovalores.
b) [1,4 pts] Determine uma matriz inverśıvel P que diagonaliza T , sua correspondente matriz diagonal D e determine
a matriz A que representa T na base canônica do R2.