Aula-3-Mecânica-dos-fluidos

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Mecânica dos fluidos
Renata Velasques Menezes
Engenharias
EQUAÇÃO DE 
CONSERVAÇÃ
O DA MASSA
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
• Descarga de uma grandeza N
Os processos de transferência tratados em Mecânica dos Fluidos
ocorrem, principalmente, em escoamentos de fluidos;
Necessário quantificar as grandezas envolvidas em seu movimento.
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Descarga através do estudo de uma grandeza N qualquer
transportada em um escoamento e esta é uma grandeza
extensiva que tem sua correspondente grandeza intensiva n.
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
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EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
• Descarga de uma grandeza extensiva N
• Define-se a descarga de N como a relação entre 
a quantidade da grandeza física N que atravessa 
uma superfície de referência e o tempo gasto 
para atravessá-la: 
𝑫𝑵 =
𝒅𝑵
𝒅𝒕
5
A equação representa o 
transporte de uma grandeza N 
pelo escoamento de um fluido 
através de uma superfície 
denominada superfície de 
controle ou de referência e 
dela pode-se obter uma 
equação para o cálculo da 
descarga da grandeza N por 
meio da área A do 
escoamento e da velocidade V 
do fluido. 
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
• Sistema 
Porção de matéria (fluido) isolada do
exterior e fechada por um contorno
imaginário ou real.
A massa do sistema é fixa (se
conserva).
Suas fronteiras (separação com a
vizinhança (exterior)) podem ser fixas
ou móveis
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Exemplo de sistema. 
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
• Volume de controle 
Trata-se de um volume arbitrário, fixo no espaço, de paredes imaginárias,
que permite a passagem, através de sua superfície externa (superfície de
controle), da massa, da quantidade de movimento, da energia e demais
quantidades associadas ao escoamento.
7Exemplo de volume de controle
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
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EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
• Descarga da vazão em fluxo de massa
Descarga de massa “dm” ou simplesmente descarga M é definida como a
quantidade de massa que atravessa a superfície de controle na unidade de
tempo.
 𝑴 =
𝒅𝒎
𝒅𝒕
=
𝒌𝒈
𝒔
 𝑴 = 
𝑨
𝛒𝐯𝐝𝐀
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(Kg/m³) * (m/s) * (m²)
(Kg/m³)*(m³/s)= Kg/s
 𝐌 = 𝛒 ∗ 𝐯 ∗ 𝐀 𝐌 = 𝛒 𝐝𝐞𝐧𝐬𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞 𝐚𝐛𝐬𝐨𝐥𝐮𝐭𝐚
𝐯 𝐯𝐞𝐥𝐨𝐜𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞
𝐀 (á𝐫𝐞𝐚)
dmVC/dt é a taxa de variação da massa dentro das fronteiras do volume de controle
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
• Descarga de uma grandeza extensiva N
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A grandeza N e a velocidade V 
variam em função do espaço, logo, 
o problema deve ser tratado de 
forma diferencial, adotando-se um 
elemento de fluido com um 
volume de área dA e comprimento
dx, com massa específica ρ que no 
instante t localiza-se no limite da 
região à esquerda da superfície de 
referência. 
Fluido atravessando uma superfície com velocidade V
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
• Descarga da vazão em fluxo de massa
Descarga de massa “dm” ou simplesmente descarga M é definida como a
quantidade de massa que atravessa a superfície de controle na unidade de
tempo.
 𝑴 =
𝒅𝒎
𝒅𝒕
=
𝒌𝒈
𝒔
 𝑴 = 
𝑨
𝝆𝑽𝒅𝑨
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EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
• Descarga da vazão em fluxo de volume
Vazão volumétrica ( 𝑄) é definida como a relação entre o volume de fluido
que atravessa uma superfície e o tempo gasto para atravessá-la.
 𝑸 =
𝒅𝒗𝒐𝒍
𝒅𝒕
=
𝒎𝟑
𝒔
 𝑸 = 
𝑨
𝑽𝒏𝒅𝑨
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m/s *m² = m³/s
M = p v A
Q = v A
 𝑴 = 𝑸 ∗ 𝝆
 𝑸 =
 𝑴
𝝆
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
• Fluxo
Fluxo é a quantidade de uma grandeza que atravessa uma superfície por
unidade de tempo e área e pode ser escrita como:
 𝑴 =
𝒅𝑴
𝒅𝒕
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EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
• Campo de Velocidades 
Em um fluido cada partícula ou molécula 
tem ou pode ter velocidades diferentes.
A velocidade é uma grandeza vetorial, logo 
tem módulo ou magnitude, direção e 
sentido. 
Sua representação se dá por três 
componentes, uma para cada eixo 
coordenado. 
Pode-se representar a velocidade em um 
ponto ou em uma partícula do fluido pela 
equação:
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 𝑽 = 𝑽𝒙𝒆𝒙 + 𝑽𝒚𝒆𝒚 + 𝑽𝒛𝒆𝒛
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
• Linhas de Corrente
 As linhas de corrente são as linhas
que se mantêm tangentes, a cada
instante t, em todos os pontos, às
velocidades v das partículas e não
podem serem atravessadas por
partículas do fluido (não podem
cortar-se).
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EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
• Tubos de Corrente
Admitindo o campo de velocidade v
contínuo, pode-se considerar um tubo de
corrente (figura imaginária) como um
conjunto constituído de linhas de corrente.
Os tubos de corrente não podem serem
atravessados por partículas de fluido (as
suas paredes podem ser consideradas
impermeáveis).
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Linhas e Tubos de Corrente As linhas de corrente 
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
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EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
• Escoamento de um Líquido em um Tubo
Utiliza-se o conceito de velocidade média expresso por:
𝑽𝒎 =
 𝑸
𝑨
= 𝒎/𝒔
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(m³/s) /m² = m/s
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
• Princípio da Conservação de Massa
• O escoamento de um fluido é determinado por meio de seu volume de
controle, caracterizando o método de Euler.
• O desenvolvimento do chamado princípio ou equação da continuidade é
utilizado para demonstrar o conceito de volume de controle - VC.
• A equação da continuidade é estabelecida quando se considera que o
escoamento atravessa um determinado VC, por uma área de entrada AE
e sai por uma área de saída AS.
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EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
Princípio da Conservação de Massa ou Equação da continuidade
𝒎𝒆𝒏𝒕𝑽𝑪
∆𝒕
−
𝒎𝒔𝒂𝒊𝑽𝑪
∆𝒕
=
∆𝒎𝑽𝑪
∆𝒕
= 𝟎
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A massa que atravessa uma superfície dividida pelo tempo é a descarga de massa. 
*VC= volume de controle
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
Princípio da Conservação de Massa 
 
𝒔𝒂í𝒅𝒂
𝛒𝐯𝐀 − 
𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂
𝛒𝐯𝐀 = 𝟎 (𝑲𝒈/𝑺)
 
𝒔𝒂í𝒅𝒂
 𝑴 − 
𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂
 𝑴 = 𝟎 (𝑲𝒈/𝑺)
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EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
• Princípio da Conservação de Massa
Para escoamento incompressível (densidade constante), ρ1 = ρ2
 
𝑠𝑎í𝑑𝑎
vA = 
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
vA (𝑚3/𝑠)
 
𝑠𝑎í𝑑𝑎
 𝑄 = 
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
 𝑄 (𝑚3/𝑠)
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𝝆𝑽𝑨 = 𝝆𝑽𝑨
𝐯𝐀 = 𝐯 𝐀
𝐌𝟏 = 𝐌𝟐
𝛒𝐯𝑨𝟏 = 𝛒𝐯𝑨𝟐
𝐯 ∗ 𝟐 ∗ 𝑨𝟐 = 𝐯𝑨𝟐
𝐯𝟐 = 𝐯
𝑨𝟏 = 𝟐 ∗ 𝑨𝟐
𝛒𝐯𝐀 = 𝛒𝐯 𝐀
Q𝟏 = 𝐐𝟐
𝐯𝐀𝟐/𝐀 = 𝐯
Análise e resolva
Exemplo 1
• Uma mangueira de jardim
conectada a um bocal é usada para
encher um balde de 10 galões, o
diâmetro interno da mangueira é
de 20 cm e se reduz a 8 cm na saída
do bocal.
• Se são necessários 50 s para encher
o balde com água, determine as
vazões em volume e em massa da
água através da mangueira e a
velocidade média da água na saída
do bocal.
• (1gal = 3,7854 L)
1 galão = 3,7854 L 
logo 10 gal = 37,854 L/50 s
37,854 L/50 s
25
20 cm 8 cm
37,854 L
50 s
Exemplo 1
1 gal = 3,7854 L logo, 10 gal = 37,854 L
1 L = 0,001 m³ logo, 37,854 L = 0,037854 m³
D1 =0,2 m
D2 = 0,08 m
𝞓T = 50 s
p = 1000kg/m³
Q/A = v
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Q = 0,037854 m³ / 50 s = 7,571. 10-4 m³/s
M = (1000 kg/m³) * (7,571. 10-4 m³/s) = 0,7571 kg/s
A = (π.d²)/4 = (π * 0,08²)/4 = 5,027.10-3 m²
Q = v*A= m³/s
7,571. 10-4 m³/s = V * 5,027.10-3 m² = m³/s
Q = v * A vol/t
M = ρ * v * A
M = ρ * Q
Exemplo 1
27
Q = 0,037854 m³ / 50 s = 7,571. 10-4 m³/s
M = (1000 kg/m³) * (7,571. 10-4 m³/s) = 0,7571 kg/s
A = (π.d²)/4= (π * 0,08²)/4 = 5,027.10-3 m²
v = Q/ A = m/s
(7,571. 10-4 m³/s) / (5,027.10-3 m²) = V (m/s)
V= 0,151 m/s
Exemplo 2
• Um fluido escoa a 2 m/s em um tubo de área transversal igual a 200 
mm². Qual é a velocidade desse fluido ao sair pelo outro lado do 
tubo, cuja área é de 100 mm²? 
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Exemplo 2
• Um fluido escoa a 2 
m/s em um tubo de 
área transversal igual a 
200 mm².
• Qual é a velocidade 
desse fluido ao sair 
pelo outro lado do 
tubo, cuja área é de 
100 mm²?
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𝒔𝒂í𝒅𝒂
𝝆𝒗𝑨 − 
𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂
𝝆𝒗𝑨 = 𝟎 (𝑲𝒈/𝑺)
 
𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝑣𝐴 = 
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑣𝐴 (𝑚3/𝑠)
Exemplo 2
• Um fluido escoa a 2 m/s em 
um tubo de área transversal 
igual a 200 mm².
• Qual é a velocidade desse 
fluido ao sairpelo outro lado 
do tubo, cuja área é de 100 
mm²?
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𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝑣𝐴 = 
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑣𝐴 (𝑚3/𝑆)
2 m/s* (0,0002 m²) = V* 0,0001m²
[2 m/s * (0,0002 m²)] / 0,0001m²= V
4 m/s = V
Exemplo 3
• Para a tubulação mostrada na figura, calcule a vazão em massa e em volume
e determine a velocidade na seção (2) sabendo-se que A1 = 10 cm² e A2 = 5
cm². Dados: ρ = 1000 kg/m³ e v1 = 1 m/s.
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Exemplo 3
• Para a tubulação 
mostrada na figura, 
calcule a vazão em 
massa e em volume e 
determine a 
velocidade na seção 
(2) sabendo-se que A1 
= 10cm² e A2 = 5cm². 
Dados: ρ = 1000kg/m³ 
e v1 = 1m/s.
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1 m/s* (0,001 m²) = V* 0,0005 m²
[1 m/s* (0,001 m²)] / 0,0005 m² = V
2 m/s = V2
Q1= Q2
M = (1000 kg/m³) *(0,001 m³) = 1 kg/s
M = (1000 kg/m³) *(1 m/s) *(0,001 m²) = 1 kg/s
Q = 1 m/s *(0,001 m²) = 0,001 m³/s
Exemplo 4
• Um tubo despeja água em um reservatório com uma vazão de 20 l/s e um 
outro tubo despeja um líquido de massa específica igual a 800 kg/m³ com uma 
vazão de 10 l/s. A mistura formada é descarregada por um tubo de área igual a 
30 cm². Determinar a massa específica da mistura no tubo de descarga e 
calcule também qual é a velocidade de saída. 
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𝐬𝐚í𝐝𝐚
 𝐌 − 
𝐞𝐧𝐭𝐫𝐚𝐝𝐚
 𝐌 = 𝟎 (𝐊𝐠/𝐒)
Exemplo 4
• Um tubo despeja água em um 
reservatório com uma vazão de 
20 l/s e um outro tubo despeja 
um líquido de massa específica 
igual a 800kg/m³ com uma 
vazão de 10 l/s. A mistura 
formada é descarregada por 
um tubo da área igual a 30 cm². 
Determinar a massa específica 
da mistura no tubo de 
descarga e calcule também 
qual é a velocidade de saída. 
Q
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Q1 = 20 L/s = 0,02 m³/s
1L/s = 0,001 m³/s
ρágua = 1000 kg/m³
Q2 = 10 L/s = 0,01 m³/s
ρ = 800 kg/m³
Q = V * A
M = ρ * V * A
M= p*v*A
M1+M2 = M3
(0,02*1000) + (0,01*800) =( p *0,03)
20 +8 = p *0,03
28/0,03 = p
933,33 Kg/m³
Q1+Q2 = Q3
(0,02)+ (0,01) = 0,03 m³/s
Q3= V*A
0,03 m³/s = v * A
0,03 m³/s = v * 0,003 m²
V = 0,03/0,003 = 10 m/s
Exemplo 4
• Um tubo despeja água em 
um reservatório com uma 
vazão de 20 l/s e um outro 
tubo despeja um líquido de 
massa específica igual a 
800kg/m³ com uma vazão 
de 10 l/s. A mistura formada 
é descarregada por um tubo 
da área igual a 30cm². 
Determinar a massa 
específica da mistura no 
tubo de descarga e calcule 
também qual é a velocidade 
de saída. 
Q
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Q = V * A
M = ρ * V * A
M= p*v*A
28= p* 10 *0,003
ρ = 933,33 kg/m³
M1+M2 = M3
(0,02*1000)+ (0,01*800) = 28 Kg/s
Exemplo 4
• Um tubo despeja água em 
um reservatório com uma 
vazão de 20 l/s e um outro 
tubo despeja um líquido de 
massa específica igual a 
800kg/m³ com uma vazão 
de 10 l/s. A mistura formada 
é descarregada por um tubo 
da área igual a 30cm². 
Determinar a massa 
específica da mistura no 
tubo de descarga e calcule 
também qual é a velocidade 
de saída. 
Q
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Q1 = 20 L/s = 0,02 m³/s
1L/s = 0,001 m³/s
ρ = 1000 kg/m³
Q1 + Q2 = Q3
0,02 + 0,01 = 0,03 m³/s
Q2 = 10 L/s = 0,01 m³/s
ρ = 800 kg/m³
 𝑀𝑒 = 𝑀𝑠
(p*V*A)água +(p*V*A)líq. = (p* V* A) mistura
(p*Q)água +(p*Q)líq. = (p* Q) mistura
Q = V * A
M = ρ * V * A
Exemplo 4
• Um tubo despeja água em 
um reservatório com uma 
vazão de 20 l/s e um outro 
tubo despeja um líquido de 
massa específica igual a 
800kg/m³ com uma vazão 
de 10 l/s. A mistura formada 
é descarregada por um tubo 
da área igual a 30cm². 
Determinar a massa 
específica da mistura no 
tubo de descarga e calcule 
também qual é a velocidade 
de saída. 
Q
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Q1 = 20 L/s = 0,02 m³/s
1L/s = 0,001 m³/s
ρ = 1000 kg/m³
Q1 + Q2 = Q3
0,02 + 0,01 = 0,03 m³/s
Q2 = 10 L/s = 0,01 m³/s
ρ = 800 kg/m³
 𝑀𝑒 = 𝑀𝑠
(1000 * 0,02) + (800 * 0,01) = ρ * 10 *m/s * 0,003 m²
(20 kg/s)+(8 kg/s) = ρ * 0,03 m³/s
(28 kg/s) / (0,03 m³/s) = ρ
933,3 kg/m³ = ρ
Obrigado
Capítulo 3: 
CENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluídos –
Fundamentos e Aplicações. 3ª ed. São Paulo: Mcgraw Hill –
Artmed, 2015.
Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580554915/
pageid/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580554915/pageid/0