AULA 4 - INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE - PARTE 3

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Exercícios de Probabilidade
Numa classe existem 5 alunos do 4º ano, 4 do 2º e 3 do 3º ano. Qual a
probabilidade de serem sorteados 2 alunos do 2º ano, 3 do 4º e 2 do 3º
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Exercícios de Probabilidade
Num evento científico temos 15 físicos e 11 matemáticos. Três deles serão
escolhidos aleatoriamente para participar de uma mesa redonda.
a) Qual a chance que sejam todos físicos?
3
Exercícios de Probabilidade
A probabilidade de um aluno X resolver um problema de Probabilidade é 3/5 e a do
aluno Y é 4/7. Qual é a probabilidade de que o problema seja resolvido
Exercícios de Probabilidade
Uma urna contém 5 bolas pretas, três vermelhas e duas brancas. Forram extraídas
3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de terem sido duas bolas pretas e uma
vermelha?
S = {5 bolas pretas; 3 bolas vermelhas; 2 bolas brancas} → indica um total de 10 bolas.
Exercícios de Probabilidade
S = {5 bolas pretas; 3 bolas vermelhas; 2 bolas brancas} → indica um total de 10 bolas.
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8
Seja o evento: E = circuito funcionar.
P(1  2) = P(1) * P(2) = p*p = p2
P(3  4) = P(3) * P(4) = p*p = p2
P(1  2 3 4) = P(1) * P(2) * P(3) * P(4) = p*p*p*p = p4
P(E) = P(1  2) + P(3  4) - P(1  2 3 4) = 
p2 + p2 – p4 = 2p2 – p4
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Um sistema funciona a partir de uma combinação de relés. A probabilidade de 
cada relé funcionar é “p”. Qual a probabilidade do sistema funcionar ? 
P(E) = p2 + p + p2 – p3 – p4 – p3 + p5
P(E) = p + 2p2 – 2p3 – p4 + p5
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Definição:
Probabilidade condicional de um evento é a
probabilidade obtida com a informação
adicional de que algum outro evento ocorreu.
P(B|A) representa a probabilidade condicional
da ocorrência do evento B, dado que o evento
A já ocorreu.
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 A probabilidade de ocorrência simultânea de 
dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, 
é igual ao produto da probabilidade de um 
deles pela probabilidade condicional do outro, 
dado o primeiro.
P(A/B)=
P(AB)
P(B)
P(B/A)=
P(AB)
P(A)
P(B)P(A/B)B)P(A =
P(A)P(B/A)B)P(A =
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Se A e B são independentes então:
P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)
P(AB) = P(A) x P(B/A) = P(A) x P(B)
P(AB) = P(B) x P(A/B) = P(B) x P(A)
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Dois ou mais eventos são independentes
quando a ocorrência de um dos eventos não
influencia a probabilidade de ocorrência dos
outros.
Caso dois eventos A e B sejam independentes
então a probabilidade de A ocorrer dado que B
ocorreu é igual à própria probabilidade de
ocorrência de A, e a probabilidade de B ocorrer
dado que B ocorreu é igual à própria
probabilidade de ocorrência de B. Se A e B são
independentes então:
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1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
15
 A = {(x1,x2) | x1 + x2 = 10}
 B = {(x1,x2) | x1 > x2} onde x1 é o resultado do
dado 1 e x2 é o resultado do dado 2.
 Calcular P(A), P(B), P(A/B) e P(B/A)
12
5
36
15)(
)( ===
NCT
BNCF
BP
12
1
36
3)(
)( ===
NCT
ANCF
AP
15
1
)(
)(
)/( =

=
BNCF
BANCF
BAP
16
ou
ou
 Considere a situação promocional de 
oficiais dos Estados Unidos.
Homens Mulheres Total
Promovidos 288 36 324
Não Promovidos 672 204 876
Total 960 240 1200
Status de Promoção dos Oficiais de Polícia
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H evento em que um oficial seja um homem
M evento em que um oficial seja uma mulher
P evento em que um oficial é promovido
N evento em que um oficial não é promovido
Tabela de Probabilidade Associada
P(HP)= 288/1200 =0,24
P(HN)= 672/1200 =0,56
P(MP)= 36/1200 =0,03
P(MN)= 204/1200 =0,17
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Homens Mulheres Total
Promovidos 288 36 324
Não 
Promovidos
672 204 876
Total 960 240 1200
 Qual a probabilidade P(P/H) e P(M/N) ?
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 Seja E: lançar um dado, e o evento A={sair o 
número 3}. Então P(A) = 1/6;
 Considere o evento B={sair um número impar}. 
Então P(A/B) é igual a 1/3;
 Formalmente: Dado dois eventos A e B, denota-se
NCF = número de casos favoráveis
NCT = número de casos total
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)/(
BNCF
BANCF
NTC
BNCF
NTC
BANCF
BP
BAP
BAP

=

=

=
20
21
22
23
 Em um lote de 12 peças, 4 são
defeituosas, 2 peças são retiradas um após
a outra sem reposição. Qual a
probabilidade de que ambas são sejam
boas?
 A={a primeira é boa}, B={a segunda é boa} 
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14
11
7
12
8
P(A)P(B/A)B)A( ===P
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 Sendo ={1,2,3,4} um espaço amostral equiprovável e A={1,2}; B={1,3}; C={1,4}
três eventos de S. Verificar se os eventos A, B e C são independentes.
PARTA DO PRINCÍPIO PARA VERIFICAR SE EVENTOS SÃO INDEPENDENTES, POR EXEMPLO, DADOS TRÊS EVENTOS F, G e H.
Considerando dois evento P(G ∩ H) = P(G)*P(H) são independentes ou considerando três eventos que: P(F∩GH) = P(F)*P(G)*P(H).
 Solução:
◦ P(A)=1/2; P(B)=1/2; P(AB)=1/4; logo, P(AB)=1/2  1/2 =1/4.
Como P(AB)=P(A)*P(B) =1/4, então A e B são independentes.
◦ P(A)=1/2; P(C)=1/2; P(AC)=1/4; logo, P(AC)=1/2  1/2 =1/4.
Como P(AC)=P(A)*P(C) =1/4, então A e C são independentes.
◦ P(B)=1/2; P(C)=1/2; P(BC)=1/4; logo, P(BC)=1/2  1/2 =1/4.
Como P(BC)=P(B)*P(C) =1/4, então B e C são independentes.
◦ No entanto,
◦ P(A)=1/2; P(B)=1/2; P(C)=1/2; P(ABC)=1/4. Como
P(ABC)=1/4  P(A)*P(B)*P(C)=1/8, logo A, B e C não sãoindependentes.
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 Sejam A1,...,An um conjunto de eventos 
mutuamente disjuntos de um espaço 
amostral , isto é,  =A1A2 ..., An. Seja 
B um evento de , então para cada i
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27
28
29
30
31
P(Alunos do sexo masculino) = 0,6
P(Alunos do sexo feminino) = 1 - P(Alunos do sexo masculino) = 0,4
P (Alunos com mais de 1,80m /Sexo masculino) = 0,05
P (Alunos com mais de 1,80m /Sexo feminino) = 0,02
32
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
PROBABILIDADE CONDICIONAL...
10 min e 10s
https://youtu.be/Q5ARnioHBcw
VIDEOS DE ANÁLISE COMBNATÓRIA E DE PROBABILIDADE.pptx
33
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
PROBABILIDADE CONDICIONAL E 
TEOREMA DE BAYES...
13 min e 45s
https://youtu.be/7XbCB2p7w7Y
VIDEOS DE ANÁLISE COMBNATÓRIA E DE PROBABILIDADE.pptx