AULA 8 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS - PARTE 4

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
DISCRETAS E SEUS PRINCIPAIS 
MODELOS – PARTE 4
1
4. Modelo Hipergeométrico
Suponha uma população finita de N elementos, dividida em duas classes. Uma
classe com M (M<N) elementos (sucessos) e a outra com N-M elementos
(fracasso). Por exemplo, no caso particular de N peças produzidas, podem ser
consideradas as classes: M artigos defeituosos e (N-M) artigos não
defeituosos.
Uma amostra aleatória de tamanho n (n<N) é sorteada sem reposição é
sorteada dessa população. A v.a. X definida como, o número de elementos com
a característica de interesse (sucesso) na amostra de tamanho n. A função de
probabilidade da v.a. X, é dada por:








=












−
−






=
cc
Mnx
n
N
xn
MN
x
M
xfX
.,0
),min(,0,
)(

Notação, X~H(N,M, n), para indicar que v.a. X tem distribuição
Hipergeométrica parâmetros N, M e n.
N
M
p
N
nN
pnpXVarnpXE =
−
−
−== com ),
1
)(1()( ,)(
2
Observação: Se X~H(N,M,n) e n/N< 0,10. Então X~B(n, M/N).
Exemplo. Foram colocados em uma caixa 100 peças, 40 dos quais foram
fabricados pela indústria B e as outras pela indústria A. Foram sorteadas
aleatoriamente, sem reposição, 8 peças, qual é a probabilidade de que 4
sejam da indústria A?
Seja X: número de peças da industria A na amostra. Então X~H(100,40,8).
Utilizando a Binomial, temos que a probabilidade de sucesso é peça da
fábrica A é p = 60/100 = 0,6 e n = 8, então, X~B(8, 60/100). Solucionamos da
seguinte forma:
( ) ( ) .2322,04,06,0
4
8
)4(
44
=





==XP
3
Exemplo 3.
Em um Departamento de inspeção de recebimento, lotes de eixo de bomba são
recebidos periodicamente. Os lotes contêm 100 unidades, e o seguinte plano de
amostragem de aceitação é usado. Seleciona-se uma amostra aleatória de 10
unidades sem reposição. O lote é aceito se a amostra tiver, no máximo, um
defeituoso. Suponha que um lote seja recebido e que 5% é defeituoso. Qual é
probabilidade que seja aceito o lote?
X: Número de defeituosos na amostra
 X~H(100,95,10)
4
5. Modelo Poisson
Na prática muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de
eventos discretos em um intervalo contínuo (unidade de medida)
Exemplo:
1. Número de consultas a uma base de dados em um minuto.
2. Número de casos de Dengue por kilometro quadrado no estado de
SP
3. Número de machas (falhas) por metro quadrado no esmaltado de uma
geladeira.
4. Número de chamadas que chegam a uma central telefônica de uma empresa
num intervalo de tempo (digamos das 8,0 a.m. às 12,0 a.m.).
5. Número de autos que chegam ao Campus entre 7,0 a.m. a 10,0 a.m.
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Onde: k: número de eventos discretos em t unidades de medida,
: média de eventos discretos em uma unidade de medida,
Uma variável discreta X tem distribuição de Poisson com parâmetro  se sua
função de probabilidade é dada por:
Distribuição de uma v.a. Poisson
6
0 40 80
0
.0
0
0
.1
5
x
P
(X
=
x
)
P(4)
0 40 80
0
.0
0
0
.0
8
x
P
(X
=
x
)
P(10)
0 40 80
0
.0
0
0
.0
6
x
P
(X
=
x
)
P(20)
0 40 80
0
.0
0
0
.0
4
x
P
(X
=
x
)
P(50)
7
Exemplo 4. Suponha que a central telefônica de uma empresa de grande porte
recebe em média 3 chamadas cada 4 minutos.
a) Qual é a probabilidade que a central recepcione 2 ou menos chamadas em um
intervalo de 2 minutos?
Se X: número de chamadas que recebe a central telefônica da empresa
em 2 minutos, então, necessitamos utilizar uma regra de três simples para
determinar o novo valor do parâmetro x
.Assim, temos que x = 1,5 chamadas
em 2 minutos. Portanto,
8
a) Qual é a probabilidade que a central recepcione mais de 2 chamadas em um
intervalo de 2 minutos?
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UM FÁBRICA DE PNEUS VERIFICOU QUE AO TESTAR SEUS PNEUS NAS
PISTAS, HAVIA EM MÉDIA UM ESTOURO A CADA 5.000 KM.
Seja  = um estouro de pneu a cada 5000 Km.
A DISTRIBUIÇÃO POISSON COMO APROXIMAÇÃO DA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
A distribuição Binomial para x sucessos em n ensaios de Bernoulli é
dada por:
.,,0,)1()( nxpp
x
n
xXP xnx =−





== −
Se =np,  p=/n, substituindo p na função probabilidade temos
x
n
xxnx
n
n
xn
x
nnnnx
n
xXP






−






−





 +
−





−





−=





−











==
−



1
1
!
1
1
2
1
1
11)( 
!
)(,
x
e
xXPtemosnFazendo
x  −
==→
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Exemplo 5. A probabilidade de um rebite particular na superfície da asa de
uma aeronave seja defeituosa é 0,001. Há 4000 rebites na asa. Qual é a
probabilidade de que seja instalados não mais de seis rebites defeituosos?
Se X: número de rebites defeituosos na asa da aeronave. Então,
X~B(400,0,001)
( ) ( ) =





=
=
−
6
0
400
.8894,0999,0001,0
4000
)6(
x
xx
x
XP
Usando a aproximação de Poisson, =4000(0,001)=4 X~P(4)

=
−
==
6
0
4
.889,0
!
4
)6(
x
x
x
e
XP
A DISTRIBUIÇÃO POISSON COMO APROXIMAÇÃO DA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
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Teorema: Se 
n
XX ,,
1
 são variáveis aleatórias independentes, com 
distribuição de Poisson com parâmetros, 
n
 ,,
1
 , respectivamente, 
então a variável aleatória, 
n
XXY +=
1
 
tem distribuição de Poisson com parâmetro, 
n
 +=
1
. 
Exemplo 6. Em uma fábrica foram registradas em três semanas a média de
acidentes: 2,5 na primeira semana, 2 na segunda semana e 1,5 na terceira
semana. Suponha que o número de acidentes por semana segue um processo de
Poisson. Qual é a probabilidade de que haja 4 acidentes nas três semanas?
Seja a variável aleatória, 
i
X : número de acidentes na i-ésima 
semana, i=1,2,3. )(~
ii
PX  , então, a v.a. , 321 XXXY ++= tem distribuição 
de Poisson com parâmetro, 65,125,2 =++= .(y~P(6)) 
1339,0
!4
6
)4(
46
===
−e
YP
A DISTRIBUIÇÃO POISSON COMO APROXIMAÇÃO DA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
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